专题09 直线中的对称与新定义问题（压轴题6大类型专项训练）高二数学压轴题专项训练系列（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

1/10专题09直线中的对称与新定义问题目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"1-2"\h\u典例详解 1类型一、点关于点对称 1类型二、点关于直线对称 2类型三、直线关于点对称 3类型四、直线关于直线对称 4类型五、入射、反射光线背景下的对称问题 4类型六、直线中的新定义问题 6压轴专练 7类型一、点关于点对称1、思路：该点是两对称点连线段的中点．2、方法：利用中点坐标公式平面内点关于对称点坐标为，平面内点，关于点对称．一、单选题1．（23-24高二上·江苏宿迁·开学考试）已知点与关于坐标原点对称，则等于（

）A．5 B．1 C． D．2．已知不同的两点与关于点对称，则（

）A． B．14 C． D．5二、填空题3．点P关于点M对称的点的坐标为．类型二、点关于直线对称1、思路：轴（直线）是对称点连线段的中垂线．2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点，则（2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为．一、单选题1．（23-24高二上·吉林长春·期中）关于直线的对称点为（

）A． B． C． D．2．（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点关于直线的对称点为，设直线经过点，则当点到直线的距离最大时，直线的方程为（

）A． B．C． D．二、填空题4．（25-26高二上·全国·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，则折痕所在直线的方程是.5．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为类型三、直线关于点对称1、思路：两直线平行2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）．法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）．一、单选题1．（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（

）A． B． C． D．（1，0）2．与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（

）A． B． C． D．二、解答题3．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知直线经过直线和的交点，且与直线垂直，若直线与直线关于点对称，求直线的方程.4．直线过点，点到直线的距离为，直线与直线关于点对称.(1)求直线的方程；(2)记原点为，直线上有一动点，则当最小时，求点的坐标.类型四、直线关于直线对称1、当与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线第一步：联立算出交点；第二步：在上任找一点（非交点），求出关于直线对称的点；第三步：利用两点式写出方程．2、当与l平行时：对称直线与已知直线平行．两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得．一、单选题1．（24-25高二上·重庆渝中·期末）与直线关于x轴对称的直线的方程为（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题3．已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为．4．（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线l与直线的夹角平分线为，则直线l的方程为.5．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为.类型五、入射、反射光线背景下的对称问题一、单选题1．（24-25高二上·河北保定·期中）一条光线从点射出，经过直线反射后与轴相交于点，则入射光线所在直线的方程为（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）已知从点发出的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好过点，则反射光线所在的直线方程为（

）A． B．C． D．3．（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知直线，从点射出的光线经直线反射后经过点，则光线从到的路程为（

）A．2 B．3 C．5 D．65．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若，则的值为（

）A． B．C． D．6．（24-25高二上·吉林长春·期中）如图，在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（

）A． B．C． D．类型六、直线中的新定义问题一、填空题1．（24-25高二下·上海奉贤·期末）若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则.2．（24-25高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”．①若，则；②原点与直线上任意一点之间的折线距离的最小值为．3．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”.已知点为直线上一点，为直线上一点，则的最小值为，的最小值为.4．（24-25高二上·上海·阶段练习）定义：点到直线（不全为零）的有向距离为.设点到直线l的有向距离为.已知两定点与，到直线l的有向距离之差的绝对值等于，且在直线l的同侧，则平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形面积为.二、解答题5．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系中，给定直线：与直线：，定义点到这两条直线的“折线距离”为或.其中表示点P到直线的距离，是点关于直线的镜像点（即过点作直线的垂线，垂足即为点），表示点到直线的距离.(1)求点到直线与直线的“折线距离”；(2)若动点满足，，且点到直线与直线的“折线距离”，证明：动点在某定直线上，并求出该定直线的方程.6．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术，主要应用距离测试样本之间的相似度.在平面直角坐标系中，，定义两种距离：欧几里得距离；曼哈顿距离.(1)求满足的点的轨迹所围成的图形面积；(2)在中，求证：；(3)已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.一、单选题1．（24-25高二上·广西北海·期中）一束光线从点射出，经轴反射后经过点，则该束光线从点到点的路径长为（

）A．4 B．5 C．6 D．2．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（

）A．2 B．6 C． D．3．（23-24高二上·天津·期中）与直线关于轴对称的直线的方程为（

）A． B．C． D．4．（24-25高二上·甘肃·期末）在平面直角坐标系xOy中，记第一象限内的动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．85．在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题：①已知点，直线，则；②定点、，动点满足则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（

）A．命题①成立，命题②不成立 B．命题①不成立，命题②成立C．命题①②都成立 D．命题①②都不成立二、多选题6．（23-24高二上·山东济南·阶段练习）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（

）A． B．C． D．7．（24-25高二下·山西长治·期中）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在平面直角坐标系中有两点，，其“曼哈顿距离”．下列结论正确的是（

）A．若，，则B．若，，且，则C．若点，点Q是直线上的动点，则的最小值为3D．若点，点Q是曲线上的动点，则的最小值为2三、填空题8．（24-25高二上·上海·课堂例题）一条光线沿经过点且斜率为的直线射到x轴上后反射，则反射光线所在的直线方程为．9．（24-25高二上·江苏扬州·期末）点关于直线的对称点坐标为．10．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程.（用一般式方程表示）.11．（24-25高二上·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是.12．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知点，点在轴上，则的最小值为.13．在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则的长度为.14．（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知实数，，且满足成立，则的最小值与最大值的和是.四、解答题15．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求：(1)点关于直线的对称点的坐标；(2)直线关于直线对称的直线方程；(3)直线关于点对称的直线方程．1