专题13 双曲线重点题型全归纳（压轴题7大类型专项训练）高二数学压轴题专项训练系列（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

1/10专题13双曲线重点题型全归纳目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"1-2"\h\u典例详解 1类型一、双曲线的轨迹方程 1类型二、双曲线中的焦点三角形 3类型三、双曲线中的距离最值问题 4类型四、双曲线的渐近线 5类型五、求双曲线的离心率 6类型六、求双曲线离心率的范围 7类型七、双曲线的标准方程及参数问题 9压轴专练 11类型一、双曲线的轨迹方程1、定义：在平面内与两个定点、的距离之差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点、称为焦点；两焦点的距离叫做双曲线的焦距，表示为．2、注意（1）若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；（2）若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；（3）若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；（4）若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线．1．（24-25高二上·江苏·期中）方程的化简结果为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（

）的方程上.A． B．C．或 D．3．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知，，直线相交于点，且直线与直线的斜率之积为1，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知圆，，点在圆上运动，设线段的垂直平分线和直线的交点为，则点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（

）A． B．C． D．6．已知、为直线上的两个定点，，为上的动点．在平面直角坐标系中，、，以为圆心，为半径作圆；以为圆心，为半径作圆，则两圆公共点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．类型二、双曲线中的焦点三角形双曲线的焦点三角形求双曲线中的焦点三角形面积的方法（1）=1\*GB3①根据双曲线的定义求出；=2\*GB3②利用余弦定理表示出、、之间满足的关系式；=3\*GB3③通过配方，利用整体的思想求出的值；=4\*GB3④利用公式求得面积．（2）利用公式求得面积；（3）若双曲线中焦点三角形的顶角，则面积，结论适用于选择或填空题．1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（

）A．14 B．12 C．10 D．82．（24-25高二上·吉林·期末）已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足，则的面积是（

）A．1 B． C．3 D．3．已知双曲线的左､右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线在第一､三象限的交点分别为，则的周长为（

）A． B．8 C． D．4．（2025高二·全国·专题练习）已知双曲线的右焦点为，为其左支上任意一点，点，则周长的最小值为．5．（25-26高二上·全国·课堂例题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且，则的周长为，面积为.6．双曲线的左、右焦点分别为，，是上一点，内切圆半径为1，则.类型三、双曲线中的距离最值问题与，（为双曲线上一点，，为双曲线的焦点）的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解．1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（

）A．11 B．9 C． D．52．设点为双曲线右支上的动点，为该双曲线的右焦点，已知点，则的最小值为（

）A． B． C． D．3．已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．10 D．144．（23-24高二上·山东潍坊·月考）已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为.5．已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是.6．（25-26高二上·重庆·月考）点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线与直线的交点为B，则的最小值为.类型四、双曲线的渐近线双曲线渐近线求法（1）根据双曲线的标准方程求它的渐近线的方法中，最简单实用的就是把双曲线的标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了双曲线的渐近线方程．（2）依据条件求出，再结合焦点的位置求出渐近线方程的斜率，从而确定渐近线方程．（3）由于渐近线的斜率和离心率一样都是一个比值，所以可依据条件提供的信息建立关于的等式，进而求出渐近线的斜率，从而得解．1．若双曲线：上的某点到两个焦点的距离之差为4，则双曲线的渐近线的方程为（

）A． B． C． D．2．已知双曲线C：的渐近线方程为，点在C上，则C的焦距为（

）A． B． C． D．3．已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝（

）A．1 B． C．－4 D．1或－44．（24-25高二下·河北邯郸·期末）已知双曲线（）的两条渐近线的夹角的正切值为，则该双曲线的离心率为（

）A． B．2 C． D．35．（25-26高二上·全国·单元测试）与双曲线有公共渐近线，且过点的双曲线的实轴长为．6．（25-26高二上·全国·期末）若等轴双曲线C：的焦距为4，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为．7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）若双曲线的右支上一点到右焦点的距离最短为，则双曲线为的渐近线方程为．8．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点.若（为坐标原点），且点到直线的距离为，则该双曲线的两条渐近线的夹角为.9．设，分别为双曲线的左、右焦点，过且斜率为的直线与的右支交于点，与的左支交于点，点满足，，则双曲线的渐近线方程为．类型五、求双曲线的离心率求双曲线离心率的常用方法（1）利用求：若可求得，则直接利用得解；（2）利用求：若已知，则直接利用得解；（3）利用方程求：若得到的是关于的齐次式方程，即（为常数，且），则转化为关于的方程求解．1．（24-25高二上·广西贵港·期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2．（25-26高二上·河南南阳·月考）已知双曲线C的焦点在y轴上，其渐近线方程为，则C的离心率为（

）A． B． C．2 D．3．（24-25高二下·云南昆明·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是上一点，且，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．4．已知双曲线C：（，）的左焦点为，右顶点为，过作垂直于轴的直线与两渐近线分别交于点，，若为等边三角形，则的离心率为（

）A．2 B． C． D．5．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．6．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，且则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．7．已知，为双曲线C：的左、右焦点，过作直线l与双曲线的右支交于A，B两点，且，，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．8．已知双曲线（，）的左，右焦点分别为，，过的直线与其右支交于，两点，若，，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．4类型六、求双曲线离心率的范围1、不等式法求离心率范围（1）利用双曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解；（2）利用双曲线的性质，如:双曲线渐近线的斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等(等式组)求解；（3）利用题目条件中的不等关系，建立不等式（组）求解；（4）利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不等式建立不等关系进行求解；2、函数法求离心率的范围（1）根据题干条件，如双曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他单变量函数关系式；（2）结合双曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域；（3）利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围．3、坐标法求离心率的范围：根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可．1．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．2．已知双曲线.若直线与没有公共点，则的离心率的范围为（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·浙江·期中）设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，，且双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·山东淄博·月考）已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若，设且，则双曲线离心率的取值范围是（）A． B． C． D．6．（23-24高二上·安徽·月考）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过C上一点M向y轴作垂线交另一支于N点，若，且，则C的离心率为．7．（25-26高二上·全国·单元测试）已知是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是．类型七、双曲线的标准方程及参数问题1、待定系数法求双曲线标准方程2、由双曲线标准方程求参数范围（1）对于方程，当时表示双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线.（2）对于方程，当时表示双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线；当时表示焦点在轴上的双曲线.（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。1．（24-25高二上·四川内江·期末）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）焦点在y轴上的双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且虚半轴长为2，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．3．以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·河南·期中）“”是“方程表示双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知双曲线经过点，则其标准方程为（

）A． B．C． D．或6．（24-25高二上·福建福州·期中）已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（

）A． B．C． D．7．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（

）A． B．C． D．8．（24-25高二上·天津·月考）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为的等边三角形(为原点)，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．1．（24-25高二上·广西钦州·月考）若离心率为的双曲线与椭圆的焦点相同，则双曲线的方程是（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·全国·课后作业）相距1600m的两个哨所，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是，在哨所听到的爆炸声的时间比在哨所听到时迟．若以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（

）A． B．C． D．3．（24-25高二上·北京怀柔·期末）“”是“方程表示焦点在轴上的双曲线”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（24-25高二下·重庆·期末）已知双曲线两条渐近线的夹角为60°，则（

）A． B． C． D．或5．（25-26高二上·河南·期中）双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．6．已知抛物线的焦点是双曲线的一个顶点，为与的交点，，则的渐近线方程为（

）A． B． C． D．7．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（

）A． B．C． D．8．（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（

）A． B．C． D．9．已知，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则的最小值为（

）A． B． C． D．10．设F1，F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上的一点，且，则的面积等于（

）A．24 B．15 C．12 D．3011．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过点和的直线与双曲线在第一象限交于点P，若的面积是的3倍，则C的渐近线斜率为（

）A． B．C． D．12．已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，若，，则的离心率为（

）A． B． C． D．13．（24-25高二上·湖北·月考）双曲线（，）的左、右焦点分别为，.是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为5的直角三角形，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．14．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）设为双曲线的左右焦点，为坐标原点，为的一条渐近线上一点，且，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．15．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（

）A．18 B．10 C．9 D．616．（24-25高二下·河南周口·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与双曲线交于第一象限的点，延长至使得，若的面积为，则的值为（

）A． B． C． D．17．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知双曲线C：分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.连接交双曲线C左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是（

）A． B