专题07 （最.新模考好题）空间向量与立体几何必刷题型（10大题型76题）（原卷版）高二数学压轴题专项训练系列（人教A版2019选择性必修第一册）

1/10专题07空间向量与立体几何必刷题型（10大题型76题）题型01题型01空间中的向量共面问题一、单选题1．（24-25高二下·上海·月考）已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（24-25高二下·甘肃白银·期中）在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（

）A． B．1 C．2 D．33．（24-25高二下·福建厦门·月考）已知向量，，，若、、共面，则等于（

）A． B． C． D．4．（25-26高二上·全国·单元测试）对于空间任一点和不共线的三点，有，则“”是“四点共面”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（

）A． B． C． D．6．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知三棱锥的体积为是空间中一点，，则三棱锥的体积是（

）A．5 B．4 C．3 D．2题型02题型02空间向量的线性运算及参数问题一、单选题1．（24-25高二下·江苏南京·期末）在三棱锥中，，，，且，，则等于（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·北京·期中）如图，在长方体中，为的中点，.记，，，则等于（

）A． B．C． D．3．（24-25高二上·湖北·期中）如图，在正四棱台中，.直线与平面EFG交于点，则（

）A． B． C． D．二、填空题4．（25-26高二上·全国·课后作业）在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为．5．（24-25高二上·河北邯郸·月考）已知、、三个空间向量，若与共线，则的值为．6．（2025高二·全国·专题练习）已知点和点，则靠近点的三等分点的坐标为．7．（25-26高二上·全国·单元测试）设向量不共面，已知，，，若三点共线，则．8．（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为．题型03题型03空间向量的数量积运算及其应用（含模长、夹角、投影向量）一、单选题1．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（

）A．2 B． C． D．2．（24-25高二下·江苏盐城·月考）在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（）A． B． C． D．3．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．4．（24-25高二上·湖北·期末）已知八面体由正四棱锥与正四棱锥构成（如图），若，，点分别为的中点，则（

）A．0 B．2 C． D．5．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知长方体中，，，向量，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题6．（24-25高二下·湖北·期末）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（

）A．长为B．异面直线与所成角的余弦值为C．D．7．（2025高二·全国·专题练习）已知正四面体的棱长为，空间内任一点满足，则下列关于的结论正确的是（

）A．最小值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为三、填空题8．（23-24高二上·福建福州·期末）已知为单位向量.，若，则在上的投影向量的坐标为.9．（24-25高二下·上海闵行·期末）、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则．10．（24-25高二上·天津·期中）已知向量，，且，夹角为钝角，则m的取值范围为；11．（2025高二·全国·专题练习）在菱形中，，线段，的中点分别为，．现将沿对角线翻折，则异面直线与所成角的取值范围为．12．（24-25高二上·河北张家口·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，若，则的取值范围是．四、解答题13．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在棱长为1的正方体中，点是侧面上的一个动点（包含边界）．(1)若，求的最小值；(2)若，求与夹角的最大值．题型04题型04距离问题一、单选题1．（25-26高二上·全国·单元测试）已知，，，，，则直线到平面的距离为（

）A． B． C． D．2．（2025·河南安阳·一模）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．3．（24-25高二下·甘肃平凉·期中）正四棱锥中，为顶点在底面内的正投影，为侧棱的中点，且，则异面直线与的距离为（

）A． B． C． D．4．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为（

）

A． B． C． D．二、多选题5．（23-24高二上·四川成都·月考）已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（

）A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面的距离为C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为三、填空题6．（25-26高二上·全国·课后作业）在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且，则直线到的距离为．四、解答题7．（25-26高二·全国·假期作业）如图，在正三棱柱中，，分别为的中点．线段上是否存在点，使得？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，说明理由．题型05题型05线线角问题一、单选题1．（24-25高二下·安徽·月考）如图，已知在长方体中，，点E在棱上，且，则直线与直线所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知在直三棱柱中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．（24-25高二下·湖北·月考）在四面体中，，，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（

）A． B．C． D．-4．《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（

）A． B．4 C．2 D．35．（24-25高二下·福建宁德·期中）如图，在四棱台中，底面ABCD是菱形，平面，直线AC与直线所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．6．在正四棱台中，，，且该正四棱台的体积为28，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．二、填空题7．（24-25高二下·河南商丘·开学考试）在底面边长为2的正三棱柱中，异面直线与所成角的余弦值为，则该正三棱柱的体积为．题型06题型06线面角问题一、单选题1．（24-25高二下·河南漯河·期末）在四棱锥中，平面平面，为正三角形，为梯形，，，，，，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．2．（2025高二·全国·专题练习）如图，在正方体中，为线段的中点，设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·广西河池·月考）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，E为棱的中点，则到平面的夹角余弦值为（

）A． B． C． D．二、解答题4．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）如图，四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，是线段PC上的一点．(1)求证：平面平面PAC；(2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为，求CG的长．5．（2025·河南·二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，，，，点M为棱PD上一点，，O为AC的中点.(1)证明：平面平面MAC.(2)已知，，点N在棱BC上，且，若直线PN与平面MAC所成角的正弦值为，求的值.题型07题型07二面角（平面与平面所成角）问题一、解答题1．（24-25高二上·广东汕头·期末）如图，在三棱锥中，，，为正三角形，为的中点，．

(1)求证：平面平面；(2)若为的中点，求平面与平面的夹角．2．（24-25高二下·河南驻马店·期末）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且，．(1)证明：平面平面；(2)求二面角所成平面角的正弦值．3．（2025·山东烟台·一模）如图，点在以为直径的半圆的圆周上，，且平面，(1)求证：；(2)当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为？4．（24-25高二下·云南曲靖·月考）如图1在矩形中，为的中点，将沿折起，使得平面平面，如图2.(1)求证：平面；(2)若点是线段上的一动点，且，当二面角的正弦值为时，求的值.5．（24-25高二上·福建泉州·期中）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是的中点，点在棱上，且.

(1)若平面平面，证明：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值.题型08题型08折叠问题一、解答题1．（23-24高二上·江西景德镇·期末）某校一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形的三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）．(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；(2)若二面角的平面角为，求平面与平面夹角的余弦值．2．（24-25高二下·广西南宁·期末）如图所示，五边形是正六边形的一部分，将沿着对角线翻折到的位置，使平面平面，已知点分别为，的中点．(1)求证：平面；(2)求平面与平面所成二面角的正弦值．3．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）如图，矩形ABCD中，，，E为AD的三等分点靠近D点，将沿着BE折起，使得点在底面的射影O落在BD上，Q为线段上的动点．(1)求证：平面平面；(2)若，当Q到平面的距离为时，求的值．4．（24-25高二上·贵州·期中）如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点．现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点．(1)求证：；(2)若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由；(3)在（2）的条件下，求点到平面的距离．5．（24-25高二下·海南海口·期末）如图1，正方形的边长为2，如图2，将正方形沿着对角线翻折，O为原正方形的中心．(1)证明：平面；(2)翻折至四面体的体积最大时．（ⅰ）求异面直线与所成角的大小；（ⅱ）求与平面所成的角的正弦值．题型09题型09探索性问题一、解答题1．（2025高二·全国·专题练习）如图，四边形为正方形，平面，，，．

(1)求与平面所成角的正弦值；(2)在棱上是否存在一点，使得平面平面说明理由．2．（24-25高二下·福建·期中）如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点．(1)求证：平面；(2)若，①求平面与平面所成角的余弦值；②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．3．（2025高二·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，．(1)求与平面所成角的余弦值；(2)是线段上的动点，若线段上存在点（不包含端点），使得异面直线与成30°角，求线段长的取值范围．4．（23-24高二上·吉林长春·期中）如图甲，在矩形中，，为线段的中点，沿直线折起，使得，点为的中点，连接、，如图乙．(1)求证：平面；(2)线段上是否存在一点、使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由：若存在，求出点的位置．5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，等腰梯形是由三个边长为2的等边三角形拼成，现将沿翻折至，使得，如图2所示.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)试问在内是否存在一点，使得平面？若存在，求的长度；若不存在，请说明理由.6．（2025·江西鹰潭·二模）如图1，等腰梯形是由三个全等的等边三角形拼成，现将沿BC翻折至，使得，如图2所示．(1)求证：；(2)在直线上是否存在点，使得直线BM与平面APD所成角的余弦值为？若存在，求出的值：若不存在，说明理由．题型10题型10建系艰难问题一、解答题1．（2024·四川德阳·模拟预测）如图，在三棱锥中，二面角的大小为，，为棱的中点.(1)①②③④从上述四个条件中，选出一个能证明的选项，并证明；(2)设，点为上一点，是否存在点使得二面角的余弦值等于？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由.2．（24-25高二下·河南南阳·期末）如图，在三棱锥中，为半圆的直径，是弧上异于的点.点在直线上，平面，其中为的中点.(1