2025-2026学年江苏省无锡市梁溪区江南中学九年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2025-2026学年江苏省无锡市梁溪区江南中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x2+y＝0 B． C．2x＝6 D．x2﹣2＝02．（3分）已知⊙O的半径为4cm，点C到圆心O的距离为6cm，则（）A．点C在圆外 B．点C在圆内 C．点C在圆上 D．点C无法确定3．（3分）若m是一元二次方程x2+2x﹣2025＝0的一个根，则m2+2m的值是（）A．2024 B．﹣2025 C．2025 D．40504．（3分）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．9：15．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，，DE交AC于点F的值是（）A． B． C．1 D．6．（3分）近年来，我国人工智能核心产业规模快速增长．2023年某地区人工智能核心产业规模为50亿元，2025年达到72亿元．设该地区这两年人工智能核心产业规模的年平均增长率为x（）A．50（1+x）＝72 B．50（1+x）2＝72 C．50（1+2x）＝72 D．50（1+x2）＝727．（3分）如图，用直角曲尺检查半圆形的工件是否合格，运用到的道理是（）A．同弧所对的圆周角相等 B．直径是圆中最大的弦 C．90°圆周角所对的弦是直径 D．圆上各点到圆心的距离相等8．（3分）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为64°（）A．58° B．60° C．62° D．64°9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，平面上有一点P，连接AP，BP，在AP绕点A的旋转过程中，则CG的最大值是（）A．3 B．4 C． D．210．（3分）如图，正方形ABCD中，E、F分别为边AD、DC上的点，过F作FH⊥BE，交AB于G，若AB＝9，AE＝3；②DH＝BH+FH；③；．其中结论正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.其中第18题第一空1分，第二空2分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（3分）若，则＝．12．（3分）将一元二次方程4x2﹣1＝5x化成一般形式后，常数项为﹣1，则一次项系数是．13．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝80°．14．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0的两根分别为m，n，则m+n的值是．15．（3分）三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2﹣10x+24＝0的根，则该三角形的周长为．16．（3分）如图，△BCD内接于⊙O，点B是，CD是⊙O的直径．若∠ABC＝30°，AC＝5．17．（3分）我们把满足下面条件的△ABC称为“黄金三角形”：①△ABC是等腰三角形；②在三角形的某条边上存在不与顶点重合的点P，使得P与P所在边的对角顶点连线把△ABC分成两个不全等的等腰三角形．在△ABC中，AB＝AC，∠A为钝角．若△ABC为“黄金三角形”．18．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝10，点D，AB边上，AE＝，连接DE，将△ADE沿DE翻折，连接CE，CF．若△CEF的面积是△BEC面积的2倍．三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（12分）解方程：（1）（x+1）2﹣25＝0；（2）x（x﹣3）＝3（x﹣3）；（3）x2﹣4x﹣5＝0（配方法）；（4）2x2﹣3x﹣1＝0．20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．21．（8分）如图，在△ACD中，DA＝DC，以AB为直径的圆O经过点D，F是直径AB上一点（不与点A，B重合），连接EA，EB．（1）求证：∠C＝∠DEB；（2）若AE＝BE，∠C＝30°，则∠DFB＝°．22．（8分）如图，△ABC在带有网格的平面直角坐标系中的位置．（1）以点O为位似中心，在y轴右侧作出△ABC的位似图形△A1B1C1，使得放大后的△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1；（2）若点P在△ABC内部，且坐标为（a，b），写出按（1）1的坐标；（3）直接写出△ABC的外接圆圆心坐标．23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，且∠D＝∠CAE．（1）求证：△ABD∽△ECA；（2）若AC＝6，CE＝4，求BD的长度．24．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如：方程x2﹣4x+3＝0的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．（1）方程x2﹣3x+2＝0（填“是”或“否”）“三倍根方程”；（2）若关于x的方程x2+bx+c＝0是“三倍根方程”，其中有一个根是1，试求b与c的值；（3）若x2﹣（m+n）x+mn＝0是关于x的“三倍根方程”，则代数式．25．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于F，以BC，CD为邻边作平行四边形BCDE，AB与CE的交点为G，BF＝6．（1）求⊙O的半径；（2）求CE的长．26．（10分）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售：一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，均以某一固定价格销售．一次性销售利润y（元）与一次性销售量x（千克）（1）当一次性销售800千克时，利润为多少元？（2）当一次性销售多少千克时利润为22100元？27．（10分）如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，，CD＝12，DA＝6．∠A＝90°，且DM＝2．将线段MA绕点M顺时针旋转n°（0＜n≤180）到MA′，设点P在该折线上运动的路径长为x（x＞0），连接A′P．（1）连接BD．①求∠CBD的度数；②求出当n＝180时，x的值；（2）当0＜x≤8时，点A′到直线AB的距离为．（用含x的式子表示）28．（10分）如图，在Rt△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），以CD为直角边在CD的右侧构造Rt△CDE，∠DCE＝90°，．（1）如图1，当m＝1时，BE与AD之间的位置关系是，数量关系是；（2）如图2，当m≠1时，猜想BE与AD之间的位置关系和数量关系；（3）在（1）的条件下，点F与点C关于DE对称，EF，BF，设AD＝x，四边形CDFE的面积为S．①直接写出S关于x的表达式；（不用写x的取值范围）②当BF＝2时，AD的长度为．

2025-2026学年江苏省无锡市梁溪区江南中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DACCBBCAAB一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．（3分）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x2+y＝0 B． C．2x＝6 D．x2﹣2＝0【解答】解：根据一元二次方程的定义逐项分析判断如下：A：含有两个未知数x和y，不符合一元二次方程的定义；B：含有分式，不是整式方程；C：未知数的最高次数为1，不符合一元二次方程的定义；D：只含未知数x，最高次数为4，符合定义；故选：D．2．（3分）已知⊙O的半径为4cm，点C到圆心O的距离为6cm，则（）A．点C在圆外 B．点C在圆内 C．点C在圆上 D．点C无法确定【解答】解：∵⊙O的半径为4cm，点C到圆心O的距离为6cm，∴点C在圆外．故选：A．3．（3分）若m是一元二次方程x2+2x﹣2025＝0的一个根，则m2+2m的值是（）A．2024 B．﹣2025 C．2025 D．4050【解答】解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣2025＝6的一个根，∴m2+2m﹣2025＝6，∴m2+2m＝2025．故选：C．4．（3分）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．9：1【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：3，∴△ABC与△DEF的面积比为7：9，故选：C．5．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，，DE交AC于点F的值是（）A． B． C．1 D．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，，∴AD＝BC，AD∥BC，，∴△ADF∽△CEF，∴，∴，∴．故选：B．6．（3分）近年来，我国人工智能核心产业规模快速增长．2023年某地区人工智能核心产业规模为50亿元，2025年达到72亿元．设该地区这两年人工智能核心产业规模的年平均增长率为x（）A．50（1+x）＝72 B．50（1+x）2＝72 C．50（1+2x）＝72 D．50（1+x2）＝72【解答】解：由题意可得：50（1+x）2＝72．故选：B．7．（3分）如图，用直角曲尺检查半圆形的工件是否合格，运用到的道理是（）A．同弧所对的圆周角相等 B．直径是圆中最大的弦 C．90°圆周角所对的弦是直径 D．圆上各点到圆心的距离相等【解答】解：直角曲尺检查半圆形的工件是否合格，运用到的道理是：90°圆周角所对的弦是直径．故选：C．8．（3分）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为64°（）A．58° B．60° C．62° D．64°【解答】解：∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，且∠ACB＝90°，∴点A、B、C、D在同一圆上设圆心为点O，连接OD．∵∠AOD＝64°，∴∠ACD＝∠AOD＝32°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣32°＝58°．故选：A．9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，平面上有一点P，连接AP，BP，在AP绕点A的旋转过程中，则CG的最大值是（）A．3 B．4 C． D．2【解答】解：取AB的中点H，连接GH，∵∠ACB＝90°，AC＝3，∴AB＝．∵点G为BP中点，点H为AB中点，∴GH为△ABP的中位线，∴GH＝，则点G在以点H为圆心，为半径的圆上，连接CH，∴CH＝，则CG的最大值为：．故选：A．10．（3分）如图，正方形ABCD中，E、F分别为边AD、DC上的点，过F作FH⊥BE，交AB于G，若AB＝9，AE＝3；②DH＝BH+FH；③；．其中结论正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝9，DC∥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝BC，∵FH⊥BE，∴∠EHG＝90°，∴∠A+∠EHG＝180°，∴A、E、H、G四点共圆，∴∠BGF＝∠AEB，在△EAB和△FCB中，，∴△EAB≌△FCB（SAS），∴∠CFB＝∠AEB，∵∠BGF＝∠AEB，∴∠BGF＝∠CFB，∴结论①正确，符合题意；如图1，DC∥AB，使EQ＝FH，∴∠FGB＝∠DFH，∵∠AEB＝∠DEQ，∠FGB＝∠AEB，∴∠DFH＝∠DEQ，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∵CF＝AE，∴DF＝DE，在△DFH和△DEQ中，，∴△DFH≌△DEQ（SAS），∴∠QDE＝∠FDH，DQ＝DH，∵∠ADC＝90°，∴∠QDH＝∠QDE+∠EDH＝∠FDH+∠EDH＝∠ADC＝90°，∴△DQH是等腰直角三角形，由勾股定理得：，即，∴结论②正确，符合题意；如图2，AD＝CD＝5，连接EF，∴DE＝DF＝6，∴．在直角三角形BCF中，由勾股定理得：，∴．设BH＝x，则，由勾股定理得：FH2＝EF8﹣EH2＝BF2﹣BH4，∴．，解得：，∴，∴结论③错误，不符合题意；∵HM⊥AB，∴，∴，解得：．∴．故．∴结论④正确，符合题意，综上所述，正确的结论为①②④．故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.其中第18题第一空1分，第二空2分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（3分）若，则＝．【解答】解：设a＝3k，b＝2k，∴，故答案为：．12．（3分）将一元二次方程4x2﹣1＝5x化成一般形式后，常数项为﹣1，则一次项系数是﹣5．【解答】解：将方程转化为一般形式可得：4x2﹣3x﹣1＝0；∴一次项系数为：﹣6．故答案为：﹣5．13．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝80°100°．【解答】解：根据圆的内接四边形对角互补可得：∠A+∠C＝180°，又∠A＝80°，故∠C＝100°，故答案为：100°．14．（3分）已知一元二次方程x2﹣6x﹣2＝0的两根分别为m，n，则m+n的值是6．【解答】解：由根与系数的关系，两根之和 ，故答案为：6．15．（3分）三角形两边的长分别是2和3，第三边的长是方程x2﹣10x+24＝0的根，则该三角形的周长为9．【解答】解：由方程x2﹣10x+24＝0，得：解得x＝4或x＝6，当第三边是6时，7+3＜6，应舍去；当第三边是8时，三角形的周长为2+4+2＝9．故答案为：9．16．（3分）如图，△BCD内接于⊙O，点B是，CD是⊙O的直径．若∠ABC＝30°，AC＝55．【解答】解：如图，CD是⊙O的直径，连接AD，∴∠DBC＝∠DAC＝90°，∠ADC＝∠ABC＝30°，∴CD＝2AC＝2×7＝10，∵点B是的中点，∴＝，∴BC＝BD＝CD＝6，故答案为：5．17．（3分）我们把满足下面条件的△ABC称为“黄金三角形”：①△ABC是等腰三角形；②在三角形的某条边上存在不与顶点重合的点P，使得P与P所在边的对角顶点连线把△ABC分成两个不全等的等腰三角形．在△ABC中，AB＝AC，∠A为钝角．若△ABC为“黄金三角形”108°．【解答】解：如图，∵△ABC为“黄金三角形”，∴△ABD和△ADC都为等腰三角形，设∠B＝x，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x，∴∠CAD＝x，∴∠BDA＝∠BAD＝x+x＝2x，∴x+x+2x+x＝180°，解得x＝36°，∴∠BAC＝3x+x＝108°．故答案为：108°．18．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝10，点D，AB边上，AE＝，连接DE，将△ADE沿DE翻折，连接CE，CF．若△CEF的面积是△BEC面积的2倍．【解答】解：∵，∴设AD＝x，，∵△ADE沿DE翻折，得到△FDE，∴DF＝AD＝x，∠ADE＝∠FDE，过E作EH⊥AC于H，设EF与AC相交于M，则∠AHE＝∠ACB＝90°，又∵∠A＝∠A，∴△AHE∽△ACB，∴，∵CB＝8，CA＝10，，∴，∴EH＝x，，则DH＝AH﹣AD＝x＝EH，∴Rt△EHD是等腰直角三角形，∴∠HDE＝∠HED＝45°，则∠ADE＝∠EDF＝135°，∴∠FDM＝135°﹣45°＝90°，在△FDM和△EHM中，，∴△FDM≌△EHM（AAS），∴，，∴，＝25﹣5x，∵△CEF的面积是△BEC的面积的2倍，∴，则3x5﹣40x+100＝0，解得，x2＝10（舍去），则，故答案为：．三、解答题（本大题共10小题，共96分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（12分）解方程：（1）（x+1）2﹣25＝0；（2）x（x﹣3）＝3（x﹣3）；（3）x2﹣4x﹣5＝0（配方法）；（4）2x2﹣3x﹣1＝0．【解答】解：（1）原方程移项可得：（x+1）2＝25，x+5＝±5，x1＝2，x2＝﹣6；（2）原方程移项可得：x（x﹣6）﹣3（x﹣3）＝8，（x﹣3）2＝2，x1＝x2＝2；（3）原方程移项可得：x2﹣4x＝4，x2﹣4x+8＝5+4，（x﹣5）2＝9，x﹣2＝±3，x1＝7，x2＝﹣1；（4）∵a＝8，b＝﹣3，∴b2﹣6ac＝（﹣3）2﹣2×2×（﹣1）＝17，∴，＝，即：．20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此时方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣8＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）6﹣4×1×（m﹣7）＞0，解得m＜2；（2）∵m为正整数，由（1）知m＜7，∴m＝1，∴原方程可化为x2﹣7x＝0，即x（x﹣2）＝6，∴x＝0或x﹣2＝5，∴x1＝0，x7＝2．21．（8分）如图，在△ACD中，DA＝DC，以AB为直径的圆O经过点D，F是直径AB上一点（不与点A，B重合），连接EA，EB．（1）求证：∠C＝∠DEB；（2）若AE＝BE，∠C＝30°，则∠DFB＝75°．【解答】（1）证明：∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，又∵∠DAC＝∠DEB，∴∠C＝∠DEB；（2）解：如图，AE＝BE，连接OE，∴OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∴，∵∠DAC＝∠C＝30°，∴∠DFB＝∠DAC+∠ADE＝30°+45°＝75°．故答案为：75．22．（8分）如图，△ABC在带有网格的平面直角坐标系中的位置．（1）以点O为位似中心，在y轴右侧作出△ABC的位似图形△A1B1C1，使得放大后的△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1；（2）若点P在△ABC内部，且坐标为（a，b），写出按（1）1的坐标（2a，2b）；（3）直接写出△ABC的外接圆圆心坐标（4，4）．【解答】解：（1）△ABC的位似图形△A1B1C4，如图即为所求；（2）由题意得，点P1的坐标为（2a，3b）．故答案为：（2a，2b）；（3）△ABC的外接圆圆心坐标为（3，4）如图，分别作线段AB，相交于点M，则点M即为所求，由图可得，点M的坐标为（4．故答案为：（8，4）．23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，且∠D＝∠CAE．（1）求证：△ABD∽△ECA；（2）若AC＝6，CE＝4，求BD的长度．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠D＝∠CAE．∴△ABD∽△ECA；（2）解：∵AB＝AC，AC＝6，∴AB＝AC＝6，∵△ABD∽△ECA，∴，∴，∴BD＝8．24．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如：方程x2﹣4x+3＝0的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．（1）方程x2﹣3x+2＝0否（填“是”或“否”）“三倍根方程”；（2）若关于x的方程x2+bx+c＝0是“三倍根方程”，其中有一个根是1，试求b与c的值；（3）若x2﹣（m+n）x+mn＝0是关于x的“三倍根方程”，则代数式．【解答】解：（1）原方程因式分解得：（x﹣2）（x﹣1）＝5，解得：x1＝2，x3＝1，根据“三倍根方程”的定义，∴方程x2﹣2x+2＝0不是“三倍根方程”；故答案为：否．（2）∵方程x6+bx+c＝0是“三倍根方程”，其中有一个根是1，∴另一根为：8或，当x5＝1，x2＝5时，，，∴b＝﹣4，c＝4；当x1＝1，时，，，∴，．（3）设x2﹣（m+n）x+mn＝4的根为t和3t，∴t+3t＝m+n，t×7t＝mn，∴m+n＝4t，mn＝3t4，∴．故答案为：．25．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于F，以BC，CD为邻边作平行四边形BCDE，AB与CE的交点为G，BF＝6．（1）求⊙O的半径；（2）求CE的长．【解答】解：（1）设圆的半径是r，∴OF＝BF﹣OB﹣6﹣r，∵直径BA⊥CD，∴DF＝CD＝＝2，∵OD8＝OF2+FD2，∴r8＝（6﹣r）2+，∴r＝6，∴⊙O的半径是5；（2）∵四边形BCDE是平行四边形，∴BE＝CD＝4，BE∥CD，∵直径AB⊥CD，∴CF＝CD，∴CF：BE＝6：2，∵BE∥CF，∴△CFG∽△EBG，∴FG：BG＝CF：BE＝CG：EG＝1：8，∴FG＝BF＝，CE＝3CG，∴BG＝8﹣2＝4，∴CG＝＝2，∴CE＝3CG＝6．26．（10分）某公司的化工产品成本为30元/千克．销售部门规定：一次性销售1000千克以内时，以50元/千克的价格销售：一次性销售不低于1000千克时，每增加1千克降价0.01元．考虑到降价对利润的影响，均以某一固定价格销售．一次性销售利润y（元）与一次性销售量x（千克）（1）当一次性销售800千克时，利润为多少元？（2）当一次性销售多少千克时利润为22100元？【解答】解：（1）由条件可知当x＝800时，y＝800×（50﹣30）＝16000，∴当一次性销售800千克时，利润为16000元；（2）当一次性销售量在1000～1750千克之间时，销售价格为50﹣30﹣0.01（x﹣1000）＝﹣0.01x+30，∴y＝x（﹣4.01x+30）＝﹣0.01（x﹣1500）2+22500，当利润为22100时，﹣3.01（x﹣1500）2+22500＝22100，∴x1＝1700，x6＝1300；当一次性销售不低于1750千克，均已某一固定价格销售，设此时函数解析式为y＝kx，当x＝1750时，y＝﹣0.01×（1750﹣1500）2+22500＝21875，∴B（1750，21875），把点B代入解析式得：21875＝1750k，∴k＝12.5，∴当一次性销售不低于1750千克时一次函数解析式为y＝12.5x，当y＝22100时，则22100＝12.5x，解得：x＝1768；综上所述：当一次性销售为1300或1700或1768千克时利润为22100元．27．（10分）如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，，CD＝12，DA＝6．∠A＝90°，且DM＝2．将线段MA绕点M顺时针旋转n°（0＜n≤180）到MA′，设点P在该折线上运动的路径长为x（x＞0），连接A′P．（1）连接BD．①求∠CBD的度数；②求出当n＝180时，x的值；（2）当0＜x≤8时，点A′到直线AB的距离为．（用含x的式子表示）【解答】解：（1）①四边形ABCD中，AB＝8，∠A＝90°，∴△ABD是直角三角形，由勾股定理得：，∵，CD＝12，∵，CD3＝122＝144，∴BC2+BD4＝CD2，∴△BCD是直角三角形，∠CBD＝90°；②如图2，将线段MA绕点M顺时针旋转n°（5＜n≤180）到MA′，PM平分∠A′MA，∴∠PMA＝90°，∴PM∥AB，∴△DNM∽△DBA，∴，∵DM＝2，DA＝6，∴，解得：，，∴，∵∠PBN＝∠NMD＝90°，∠PNB＝∠DNM，∴△PBN∽△DMN，∴，∴，解得：PB＝5，∴