北师大版选择性必修第一册6263离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的均值与方差作业

§2~§3离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的均值与方差综

合拔高练

五年高考练

考点离散型随机变量的均值与方差

1.（2020全国/〃理,3,5分,*）在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为小分出出且

4

£〃尸1,则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）

t=i

A.pi=p4=0.l,^=pj=0.4

B.p尸夕尸0.4,R=R=0.1

C.pi—Pi—0.2,R=R=0.3

D.PFA-0.3,A-A-0.2

2.（2019北京，17,13分,*：）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支

付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况，从全

校学生中随机抽取了100人，发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用

A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

支付金额（元）支付方式(0,1000](1000,2000]大于2000

仅使用A18人9人3人

仅使用B10人14人1人

（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率；

（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额

大于1000元的人数，求才的分布列和数学期望；

（3）已知上个月样本学生的支时方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3

人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中

本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.

3.(2019课标全国/,21,12分,")为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新

药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于

两只白鼠，随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.

当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的

药更有效.为了方便描述问题，约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠

未治愈，则甲药得1分，乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则乙药

得1分，甲药得T分;若都治愈或都未治愈，则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记

为Q和£,一轮试验中甲药的得分记为尤

⑴求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，”(户予1,…,8)表示“甲药的累计得分为？.时，最

终认为甲药比乙药更有效”的概率，则A=0,除3pFapi\+bp：+cp<i=32,…，7),其中

的?假设4:0.5,£=0.8.

(i)证明：{"+「"}(i=0,1,2,…，7)为等比数列;

(ii)求A,并根据R的值解释这种试验方案的合理性.

三年模拟练

应用实践

1.(2020重庆巴蜀中学高二下月考,的已知A学校有15位数学老师,其中9位男老师,6位女

老师,学校有10位数学老师,其中3位男老师,7位女老师,为了实现师资均衡,现从A学校任

意抽取一位数学老师到3学校,然后从〃学校随机抽取一位数学老师到市里上公开课,则两次

都抽到男老帅的概率是()

AA.—9BD.—12C「.—4Dn.—3

55551150

2.(2020浙江温州高二月考,*)己知随机变量f的分布列如下(0<a<1):

02/14

012

Pb-aba

则（）

A.Ef有最小值§B.Ef有最大值|

C.Df有最小值0D.Df有最大值;

3.（2020浙江宁波北仑中学高二月考,*）一个塑料箱子中装有20个大小相同的乒乓球，其中

标有数字0的有10个,标有数字n的有〃个（/7=1,2,3,4）.现从该塑料箱子中任取一球,其中I

表示所取球的标号.若〃=a¥6（a>0）,£〃二1,〃〃=11,则a+炉（）

A.0B.1C.2D.3

4.（2020山东淄博桓台一中高二下期中,*：）己知随机变量t的分布列如下：

X-101

111

P

236

且六己心3"六三,贝IJ年_______.?

3

5.（妙）某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕,然后以每个120元的价格出售,如果当天卖不完,

剩下的这种蛋糕将作为餐厨垃圾处理.

（1）若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,求当天的利润y（单位:元）关于当天的需求量〃（单位：

个,〃£N）的函数解析式；

⑵烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量（单位:个），整理得下表：

日需求量n14151617181920

频数10201616151310

才表示当天的利润（单位:元），以频率作为概率.

①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,求乃的分布列，数学期望与方差；

②若烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑,你认为应加工16个

还是17个这种蛋糕?请说明理由.

6.(2020山东济宁一中高三下质量检测,*)某班级体育课进行一次定点投篮测试，规定每人最

多投3次,每次投篮的结果相互独立.在A处每投进一球得3分,在8处每投进一球得2分,否

则得0分.将学生得分逐次累加并用才表示,如果才的值不低于3就判定为通过测试,立即停止

投篮,否则继续投篮,直到投完三次为止.现有两种投篮方案:方案1,先在处投一球，以后都

在处投;方案都在“处投篮.已知甲同学在A处投篮的命中率为在处投篮的命中率为

82,48

4

5,

(1)若甲同学选择方案1,求他测试结束后所得总分才的分布列和数学期望；

(2)你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大?说明理由.

7.(2020河北沧州一中高二下月考,")依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数

据所绘制的频率分布直方图如图甲所示;依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的条形图

如图乙所示.

图乙

⑴以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率;

04/14

(2)在8月份，该河流域某企业若没受1、2级灾害影响，则利润为500万元;若受1级灾害影响,

则万损100万兀;若受2级灾害影响，则万损1000万兀.

现此企业有如下三种应对方案：

方案防控等级费用(单位:万元)

方案一无措施0

方案二防控1级灾害40

方案三防控2级灾害100

试问，如仅从利润考虑,该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.

迁移创新

8.(2020江西瑞金四校高三第三次联考,")2020年新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难，

面对新冠肺炎，早发现、早报告、早隔离、早诊断、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之

一.某社区对55位居民是否患有新冠肺炎进行筛查,先到社区医务室进行咽拭子核酸检测，检

测结果呈阳性者，再到医院做进一步检查，己知这55位居民随机一人其咽拭子核酸检测结果

呈阳性的概率为2%,且每个人的咽拭子核酸检测是否呈阳性相互独立.

(1)假设患新冠肺炎的概率是0.3%,且患病者咽拭子核酸检测呈阳性的概率为98瓶设这55位

居民中有位的咽拭了核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；

(2)假设咽拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量,具体操作如下:将55位居民分成

若干组,先取每组居民的咽拭子核酸混在一起进行检测,若结果显示阴性，则可认为本组居民

没有患病，不必再检测；若结果显示阳性,则认为本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检

测，现有两个分组检测方案：

方案一:将55位居民分成11组,每组5人；

方案二:将55位居民分成5组,每组11人.

试分析哪一个方案的工作量更少.

（参考数据：0.985=0.904,0.98“=0.801）

答案全解全析

五年高考练

44

1.B根据均值肝£%”,方差法X（x］式）%以及方差与标准差的关系，得各选项对应样本

i=ii=i

的标准差如下表.

选项均值EX方差加标准差

A2.50.6570.65

B2.51.85A/1.85

C2.51.05Vl.05

D2.51.4511.45

由此可知选项B对应样本的标准差最大，故选B.

2.解析（1）由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人,仅使用B的学生有10+14+1=25

人,A,B两种支付方式都不使月的学生有5人.

故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.

所以从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率为

40八.

—=0.4.

100

（2）¥的可能取值为0,1,2.

记事件。为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于100（）元”,

事件〃为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”.

由题设知，事件C,〃相互独立,且尸（。二全（）.4,P（〃）二嘿二0.6.

所以P（六2）二〃（切二，（。P⑦=0.24,

户（庐1）=2（。方

二P（OP（D）+P©PUJ）

06/14

=0.4X（1-0.6）+（l-0.4）X0.6=0.52,

P（养0）=P（CD）=P（C）P（方）=0.24.

所以了的分布列为

X012

P0.240.520.24

故｛的数学期望让0X0.24+1X0.52十2X0.24=1.

⑶记事件后为'从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”.

假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，

则由上个月的样本数据得P出击会.

C304060

答案示例1:可以认为有变化.

理由如下：

比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大

于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化.

答案示例2:无法确定有没有变化.

理由如下：

事件后是随机事件,W0比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有

变化.

3.解析（1）1的可能取值为

P（A1）=（i）B,

〃（后0）=。£+（1一4）（1一（）,

P（乒1）=a（1-£）.

所以X的分布列为

X-101

a£+（l-°）（1-£

P（i）£〃（1-£）

）

（2）（i）证明:由⑴得a=0.4,b=0.5,c=0.1.

因此R=0.4/%+0.5R+0.IR+I,

故0.1（p/+-p/）=o.4（p-pt-i）,

B|Jpypk4（p7-p；-i）.

又P\~p）=p\w0,

所以山「加（户0,1,2,…,7）是公比为4,首项为口的等比数列.

_48-1,

（ii）由（i）可得自=/^一。+。_外_・・・+0_自+自二（/^_。）+（。_&）+・・・+（。―外）二一^。.

3

由于R=l,故夕尸石彳，

所以PF（R—R）+（RTR）+（PJ-/?I）+（PCA）=—JPi=­/•

0表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为

0.8时,认为甲药更有效的概率为夕产三七0.0039,此时得出错误结论的概率非常小，说明这种

试验方案合理.

三年模拟练

1.B设“从A学校抽取的数学老师是男老师”为事件M”从8学校抽取的数学老师是男老

师”为事件事

则由题意可知夕（粉二髭，

XOO

〃（礼协TL二土，

10+111

则两次都抽到男老师的概率尸（，网二人助户（川助4x

OXJ.

故选B.

2.D由题意知，b~a^b^ap2b=\,即ZF1.

则£<=0X（b-a）+b^2a

08/14

=2呜呜》

所以没有最值.

22

Z?<=(0-2a-1)(Zra)+(l-2a-1)b^-(2~2a~0a

2

=-4a2+2>4-4(0-：)+泉

4

由0＜水[可知,当所^时,Dg有最大值,为:.

故诜D.

3.A3的可能取值为0,1,2,3,4,

则汽加0）q,PCM）技,

P（42）J,P（后3）二,

1020

P（庐力4，

所以才的分布列为

所以X一+1X—+2X—+3X—+4X—=1.5,

22010205

Z^(0-1.5)2X-+(1-1.5)2X-+(2-L5)2X-+(3-1.5)2X-+(4-L5)2X-=2.75,因为

22010205

〃招科6(a>0),所以En=aEX+Kl.5求加1,Dn=器2.75才=11,又因为a>0,所以于2,Zr-2,所

以/ZFO.故选A.

4.答案4

解析•・・阱-1X-+0xi+lX工-；片a/3,

2363

・・・£片己册3二三,

3

即，打+3二三,解得年4.

33

5.解析（1）由题意,当nG[0,16）,且时,利润产解0尸960;

当nG[16,+8),且时，利润片(120-60)X16=960.

综上，当天的利润y关于当天的需求量〃的函数解析式为

(120n-960,ne[0,16)

i960,ne[16,+8),

(2)①由(1)可得,

当/7=14时，利润当120414-960=720;

当炉15时,利润^120X15-960=840;

当〃216时，利润庐960,

结合题中表格可得1的分布列为

X720840960

P0.10.20.7

所以^720X0.1+840X0.2+960X0,7=912;

隧(720-912)2X0.1+(840-912)2X0.2+(960-912)2X0.7=6336.

②若加工17个这种蛋糕，

当炉14时，利润片120X14-60X17=660;

当炉15时，利润^=120X15-60X17=780;

当/7=16时，利润当120X16-60X17=900;

当〃217时,利润是(120-60)X17=1020.

故小的分布列为

6607809001020

P0.10.20.160.54

则^660X0.1+780X0.2+900X0.16+1020X0.54=916.8>912,

所以从数学期望来看,一天加工17个这种蛋糕的利润高于一天加工16个这种蛋糕的利润，故

应加工17个这种蛋糕.

6.解析(1)设甲同学在A处投中为事件A,在3处第i次投中为事件&g,2),

10/14

则户（冷qpgw

45

X的可能取值为0,2,3,4,

?

，（乒0）=P（而了2）二，（彳），（瓦）・/（F2）=-X-Xi--,

P（庐2）（彳〃瓦）+尸（南1ft）-X-xi+-xix

45545525

一（庐3）=P（4）=i,

4

夕（炉4）=PJB,B话X：X白黄，

45525

故/的分布列为

X0234

36112

P

10025425

才的数学期望£^0X—+2X-+3xi+4X—=—=3.15.

10025425100

⑵设甲同学选择方案1通过测试的概率为人选择方案2通过测试的概率为为

则由⑴得放P(是3)+2(右4)

3=0.896,

125

•:P>P、,

，甲同学选择方案2通过测试的可能性更大.

7.解析(1)依据题图甲，记该河流8月份“水位小于40米”为事件4,“水位在40米至50

米之间”为事件人“水位大于50米”为事件4,

则户(4)=(0.02+0.05+0.06)X5=0.65,

2(4)=(0.04+0.02)X5=0.30,

PU)=0.01X5=0.05.

记该河流8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件凡“水位在40米至50米之间且

发生1级灾害”为事件&“水位大于50米且发生1级灾害”为事件反

则P(m=0.10,P⑻小.20,P⑻9.60.

记“该河流在8月份发生1级灾害”为事件氏则

P(B)=P(45)+P(4a)+尸(4加力(4)P⑻+P(4)P⑻+P⑷P⑻

=0.65X0.10+0.30X0.20+0.05X0.60=0.155.

故估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为0.155.

(2)以企业利润为随机变量，

若选择方案一，贝I利润才的可能取值为500,-100,-1000,由⑴知

PQ；=500)=0.65X0.90+0.30X0.75+0.05X0=0.81,

■%二TOO)=0.155,

1000)=0.65X0+0.30X0.05+0.05X0.40=0.035.

故％的分布列为

X500-100-1000

P0.810.1550.035

则该企业在8月份的利润期望a=500X0.81+(-100)X0.155+(-1000)X