2025年高考数学解析几何真题

2025年高考数学解析几何真题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______第Ⅰ卷（选择题）1.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为，则a与b的比值为()A.2B.√2C.√3D.32.直线y=x+m与双曲线x²-y²=1的左支交于A,B两点，则|AB|的值为()A.2√(m²-1)B.2√(m²+1)C.√(m²-1)D.√(m²+1)3.抛物线y²=8x的焦点到其准线的距离是()A.2B.4C.8D.164.点P(x₀,y₀)在曲线y²=4x上运动，则点P到直线x-y=0的距离d的最小值为()A.√2/2B.√2C.2√2D.4√25.已知F₁,F₂是椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的两个焦点，P是C上一点，且|PF₁|=2|PF₂|，则椭圆C的离心率e的取值范围是()A.(0,1/2)B.(1/2,1)C.(0,√2/2)D.(√2/2,1)6.双曲线C:x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±(b/a)x，若C经过点(2,1)，则a²与b²的关系式为()A.a²=2b²B.2a²=b²C.a²+b²=5D.a²-b²=5第Ⅱ卷（非选择题）7.填空题：(1)双曲线x²/9-y²/16=1的焦点坐标是________。(2)抛物线y=x²的焦点到准线的距离是________。(3)已知点A(1,2)和点B(3,0)，则线段AB的垂直平分线方程是________。(4)椭圆C:x²/25+y²/16=1上一点P到左准线的距离是4，则点P到右焦点的距离是________。8.已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率为√3/2，其右焦点F与抛物线y²=8x的焦点重合。(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F的直线l交椭圆C于A,B两点（不与坐标轴重合），且线段AB的中点M在直线y=x上，求直线l的方程。9.已知双曲线C:x²/4-y²/9=1的右焦点为F，点P在C上，且点P到直线x=10的距离等于点P到F的距离的2倍。(1)求点P的坐标；(2)设点A(1,0)，求|PA|+|PF|的最小值。10.设F₁,F₂分别是椭圆C:x²/9+y²/8=1的左、右焦点，点P在C上运动，直线PF₁与抛物线y²=8x交于A,B两点（点A在x轴上方，点B在x轴下方）。(1)求证：|PF₁|是定值；(2)求△AF₂B面积S的最大值。---试卷答案1.B2.D3.B4.A5.B6.A7.(1)(-5,0),(5,0)(2)1/2(3)x+y-3=0(4)108.(1)x²/16+y²/12=1(2)x-2y-2=09.(1)(4,3)或(4,-3)(2)610.(1)证明见解析(2)8√2---解析1.椭圆C:x²/a²+y²/b²=1的离心率e=c/a=√(a²-b²)/a。由e=1/√2，得√(a²-b²)/a=1/√2，即a²-b²=a²/2，所以a²/2b²=1，即a/b=√2。故选B。2.将直线y=x+m代入双曲线x²-y²=1，得x²-(x+m)²=1，即x²-(x²+2mx+m²)=1，整理得-2mx-m²=1，即2mx+m²+1=0。由于直线与双曲线左支相交，该二次方程有负根。设根为x₁，则x₁=-(m²+1)/(2m)。由弦长公式|AB|=2√(a²+b²-c²)对于x²/a²-y²/b²=1变为|AB|=2√(a²+b²)=2√(1+1)=2√2。故选D。3.抛物线y²=2px的焦点为(p/2,0)，准线方程为x=-p/2。焦点到准线的距离为p/2-(-p/2)=p。将p=8代入，距离为8。故选C。4.点P(x₀,y₀)在y²=4x上，则y₀²=4x₀，x₀=y₀²/4。点P到直线x-y=0的距离d=|x₀-y₀|/√(1²+(-1)²)=|x₀-y₀|/√2=|y₀²/4-y₀|/√2=|y₀(y₀/4-1)|/√2。令f(y₀)=y₀(y₀/4-1)，求其最小值。f(y₀)=y₀²/4-y₀。对称轴y₀=-(-1)/(2*(1/4))=2。f(2)=2²/4-2=1-2=-1。最小值为-1。d的最小值为|-1|/√2=√2/2。故选A。5.椭圆C:x²/a²+y²/b²=1的焦点F₁(-c,0),F₂(c,0)，离心率e=c/a。由|PF₁|=2|PF₂|，得√((x₀+c)²+y₀²)=2√((x₀-c)²+y₀²)。平方后得(x₀+c)²+y₀²=4((x₀-c)²+y₀²)。展开整理得x₀²+2cx₀+c²+y₀²=4(x₀²-2cx₀+c²+y₀²)，即6cx₀+3c²+3y₀²=0。由点P在椭圆上，x₀²/a²+y₀²/b²=1，代入得6cx₀+3c²+3b²(x₀²/a²+y₀²/b²)=3c²+3b²=0，即c²/a²+b²/a²=1，即(c/a)²+(b/a)²=1=e²+(b/a)²。由于a>b>0，b/a>0，所以e²+(b/a)²>e²。因此e<1。又由|PF₁|+|PF₂|=2a，得|PF₁|=2|PF₂|意味着|PF₁|<2a，即c<a。所以0<e=c/a<1。同时，|PF₁|=2|PF₂|意味着|PF₁|+|PF₂|=3|PF₂|<2a，即3c<2a，e=c/a<2/3。综上，1/2<e<1。故选B。6.双曲线C:x²/a²-y²/b²=1的渐近线方程为y=±(b/a)x。由题意，渐近线方程为y=±(1/a)x。将点(2,1)代入双曲线方程，得4/a²-1/b²=1。由于b²/a²=1/a²，代入得4/a²-1/(1/a²)=1，即4/a²-a²=1。整理得a⁴-4a²+4=0，即(a²-2)²=0，所以a²=2。故a²=2，b²=1/a²=1/2。关系式为a²=2b²。故选A。7.(1)双曲线x²/9-y²/16=1的a²=9,b²=16。c²=a²+b²=9+16=25，c=√25=5。焦点坐标为(-c,0),(c,0)，即(-5,0),(5,0)。(2)抛物线y=x²的焦点为(h+p/2,k)=(0+p/2,0)=(p/2,0)。准线方程为x=h-p/2=0-p/2=-p/2。焦点到准线的距离为p/2-(-p/2)=p。将p=4代入，距离为4/2=2。但通常y²=2px中p代表焦准距，若写成标准形式x²=4py，则p=1/2。焦点(1/2,0)，准线x=-1/2，距离为1/2-(-1/2)=1。这里题目是y=x²，若视p=1/2，则距离为1/2。若题目意图是标准形式x²=4py(即y²=4x)，则距离为1/2。按y=x²，焦准距为1/2。题目给的答案是1/2。此处按y=x²，p=1/2。距离为1/2。(3)线段AB的中点M坐标为((1+3)/2,(2+0)/2)=(2,1)。直线AB的斜率k=(0-2)/(3-1)=-2/2=-1。垂直平分线的斜率为-1/(-1)=1。垂直平分线过点(2,1)，方程为y-1=1(x-2)，即y-1=x-2，整理得x-y-1=0。题目答案为x+y-3=0，此处按计算结果应为x-y-1=0。(4)椭圆C:x²/25+y²/16=1的a²=25,b²=16。c²=a²-b²=25-16=9，c=√9=3。右焦点F坐标为(c,0)=(3,0)。右准线方程为x=a²/c=25/3。点P到右准线的距离为|x_P-25/3|。点P到右焦点F(3,0)的距离为√((x_P-3)²+y_P²)。由题意，前者等于后者的2倍，即|x_P-25/3|=2√((x_P-3)²+y_P²)。设P在椭圆上，x_P²/25+y_P²/16=1，即y_P²=16(1-x_P²/25)=16(25-x_P²)/25=16(25/25-x_P²/25)=16(1-x_P²/25)。代入距离关系式得|x_P-25/3|=2√((x_P-3)²+16(1-x_P²/25))。此方程解出x_P后代入求距离。为简化，考虑极端情况，若P在长轴顶点(±5,0)。当P(5,0)时，|5-25/3|=|15/3-25/3|=|-10/3|=10/3。右焦点F(3,0)的坐标。右准线x=25/3。点P(5,0)到右准线的距离|5-25/3|=10/3。点P(5,0)到右焦点F(3,0)的距离√((5-3)²+0²)=√4=2。10/3≠2*2，不满足。当P(-5,0)时，|-5-25/3|=|-15/3-25/3|=|-40/3|=40/3。点P(-5,0)到右焦点F(3,0)的距离√((-5-3)²+0²)=√64=8。40/3≠2*8，不满足。题目答案为10，不符合计算。题目答案为10可能是P(5,0)到右焦点距离√((5-3)²+0²)=2，然后2*2=4，题目给的是10，不合理。可能是P(5,0)到准线距离10/3，然后2*5=10。若P(5,0)，到准线距离10/3，到F(3,0)距离2。若P(-5,0)，到准线距离40/3，到F(3,0)距离8。都不满足。题目答案10可能是笔误或特定解法，此处按计算结果应为10/3。题目答案为10。8.(1)椭圆C:x²/a²+y²/b²=1的离心率e=c/a。由e=√3/2，得c=(√3/2)a。抛物线y²=8x的焦点为(p/2,0)，其中p=8，所以焦点为(4,0)。由题意，椭圆的右焦点F与抛物线的焦点重合，即c=4。代入c=(√3/2)a，得(√3/2)a=4，解得a=8/(√3)=8√3/3。由b²=a²-c²，得b²=(8√3/3)²-4²=64*3/9-16=192/9-144/9=48/9=16/3。椭圆C的标准方程为x²/(8√3/3)²+y²/(16/3)=1，即x²/(64/3)+y²/(16/3)=1，即3x²/64+3y²/16=1，即x²/16+y²/12=1。(2)椭圆C:x²/16+y²/12=1的右焦点F坐标为(c,0)，其中c²=a²-b²=16-12=4，c=2。所以F(2,0)。设直线l过点F(2,0)，斜率为k，方程为y=k(x-2)。设直线l与椭圆交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)。将y=k(x-2)代入椭圆方程x²/16+(k(x-2))²/12=1，得x²/16+k²(x-2)²/12=1，得3x²+4k²(x-2)²=48，得3x²+4k²(x²-4x+4)=48，得(3+4k²)x²-16k²x+16k²-48=0。这是关于x的一元二次方程。设其根为x₁,x₂。线段AB的中点M坐标为((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)。由韦达定理，x₁+x₂=-(-16k²)/(3+4k²)=16k²/(3+4k²)，y₁+y₂=k(x₁-2)+k(x₂-2)=k(x₁+x₂-4)=k(16k²/(3+4k²)-4)=k(16k²-4(3+4k²))/(3+4k²)=k(16k²-12-16k²)/(3+4k²)=-12k/(3+4k²)。所以M坐标为(8k²/(3+4k²),-6k/(3+4k²))。由题意，M在直线y=x上，即-6k/(3+4k²)=8k²/(3+4k²)。两边乘以(3+4k²)，得-6k=8k²。整理得8k²+6k=0，即2k(4k+3)=0。解得k=0或k=-3/4。若k=0，直线l方程为y=0，与椭圆交于(±4,0)，中点为(0,0)，在y=x上。若k=-3/4，直线l方程为y=(-3/4)(x-2)，即3x+4y-6=0。直线l的方程为y=0或3x+4y-6=0。9.(1)双曲线C:x²/4-y²/9=1的a²=4,b²=9。c²=a²+b²=4+9=13，c=√13。右焦点F坐标为(c,0)=(√13,0)。准线方程为x=±a²/c=±4/√13=±4√13/13。点P在C上，设P(x₀,y₀)。点P到直线x=10的距离为|x₀-10|。点P到F(√13,0)的距离为√((x₀-√13)²+y₀²)。由题意，前者等于后者的2倍，即|x₀-10|=2√((x₀-√13)²+y₀²)。同时，P在C上，x₀²/4-y₀²/9=1。考虑x₀>0的情况（因为x=10较远，通常在右支）。此时|x₀-10|=10-x₀。方程变为10-x₀=2√((x₀-√13)²+y₀²)。平方两边得(10-x₀)²=4((x₀-√13)²+y₀²)。展开得100-20x₀+x₀²=4(x₀²-2x₀√13+13+y₀²)。整理得100-20x₀+x₀²=4x₀²-8x₀√13+52+4y₀²。移项合并同类项得3x₀²-8x₀√13+48+4y₀²-100=0，即3x₀²-8x₀√13-52+4y₀²=0。将P在C上的条件x₀²/4-y₀²/9=1代入，得3x₀²-8x₀√13-52+4(9(x₀²/4-1))=0。整理得3x₀²-8x₀√13-52+9x₀²-36=0，即12x₀²-8x₀√13-88=0。两边除以4得3x₀²-2x₀√13-22=0。利用求根公式x₀=[-(-2√13)±√((-2√13)²-4*3*(-22))]/(2*3)=[2√13±√(52+264)]/6=[2√13±√316]/6=[2√13±2√79]/6=√13±√79/3。由于x₀>0，取x₀=(√13+√79)/3。此时y₀²=9(x₀²/4-1)=9((√13+√79)/3)²/4-9=9(13+2√(13*79)+79)/36-9=(9*92+18√1027)/36-9=(828+18√1027)/36-9=(828+18√1027-324)/36=(504+18√1027)/36=84+3√1027/6。y₀=±√(84+3√1027)/6。所以点P坐标为((√13+√79)/3,±√(84+3√1027)/6)。考虑x₀<0的情况。此时|x₀-10|=10-x₀。方程变为10-x₀=2√((x₀-√13)²+y₀²)。平方得(10-x₀)²=4((x₀-√13)²+y₀²)。展开整理得3x₀²+8x₀√13-52+4y₀²=0。将P在C上的条件x₀²/4-y₀²/9=1代入，得3x₀²+8x₀√13-52+9x₀²-36=0，即12x₀²+8x₀√13-88=0。两边除以4得3x₀²+2x₀√13-22=0。利用求根公式x₀=[-2√13±√(52+264)]/(2*3)=[-2√13±√316]/6=[-2√13±2√79]/6=-√13±√79/3。由于x₀<0，取x₀=(-√13+√79)/3。此时y₀²=9(x₀²/4-1)=9((-√13+√79)/3)²/4-9=9(13-2√(13*79)+79)/36-9=(9*92-18√1027)/36-9=(828-18√1027)/36-9=(828-18√1027-324)/36=(504-18√1027)/36=84-3√1027/6。y₀=±√(84-3√1027)/6。所以点P坐标为((-√13+√79)/3,±√(84-3√1027)/6)。(2)设P(x₀,y₀)为(4,3)或(4,-3)。点A(1,0)。求|PA|+|PF|的最小值。|PA|=√((4-1)²+(3-0)²)=√(3²+3²)=√18=3√2。|PF|=√((4-√13)²+3²)=√(16-8√13+13+9)=√(38-8√13)。若P(4,3)，|PA|+|PF|=3√2+√(38-8√13)。若P(4,-3)，|PA|+|PF|=3√2+√(38+8√13)。由于√(38-8√13)和√(38+8√13)都大于3√2，最小值发生在P(4,3)或P(4,-3)时。比较3√2+√(38-8√13)和3√2+√(38+8√13)，显然后者更大。所以最小值为3√2+√(38-8√13)。但√(38-8√13)=√((√13-3)²)=|√13-3|=3-√13(因为√13>3)。所以最小值为3√2+(3-√13)=3√2+3-√13。题目答案为6，与计算不符。可能是计算错误或题目条件有误。按计算，最小值为3√2+3-√13。若题目意图是P在右顶点(2,√3)或(2,-√3)，则|PA|=√(1-2)²+(0-√3)²=√1+3=2。|PF|=√(2-√13)²+(√3-0)²=√(4-4√13+13+3)=√(20-4√13)。|PA|+|PF|=2+√(20-4√13)=2+√((2-√13)²)=2+|2-√13|=2+(√13-2)=√13。若P在左顶点(-2,√3)或(-2,-√3)，则|PA|=√((-2)-1)²+(0-√3)²=√9+3=√12=2√3。|PF|=√((-2)-√13)²+(√3-0)²=√(4+4√13+13+3)=√(20+4√13)。|PA|+|PF|=2√3+√(20+4√13)=2√3+√((2+√13)²)=2√3+|2+√13|=2√3+(2+√13)。显然不是6。题目答案6可能对应特定条件或笔误。此处按P(4,3)或P(4,-3)的计算结果3√2+3-√13。若必须给出一个数值，6与计算结果3√2+3-√13(约等于5.196)相近，可能存在简化或近似。若无简化，则答案为3√2+3-√13。10.(1)证明|PF₁|是定值。椭圆C:x²/9+y²/8=1的a²=9,b²=8。c²=a²-b²=9-8=1，c=1。焦点F₁(-1,0),F₂(1,0)。点P在C上，设P(x₀,y₀)。直线PF₁的方程为y=k(x+1)，代入椭圆方程得x²/9+(k(x+1))²/8=1。整理得(8x²+9k²(x+1)²)=72。设直线PF₁与抛物线y²=8x交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)。将y²=8x代入椭圆方程得x²/9+(8x)²/8/8=1，即x²/9+x²/8=1，即(8x²+9x²)/72=1，即17x²=72，x₁=√(72/17),x₂=-√(72/17)。设直线l过F₂(1,0)，斜率为k'，方程为y=k'(x-1)。代入椭圆方程得x²/9+(k'(x-1))²/8=1。整理得(8x²+9(k'(x-1))²)=72。代入x₁,x₂得(8(√(72/17))²+9(k'(√(72/17)-1)²)=72，即8(72/17)+9(k'(√(72/17)-1)²)=72。化简得432/17+9(k'(√(72/17)-1)²)=72。9(k'(√(72/17)-1)²)=72-432/17=1224/17-432/17=792/17。k'(√(72/17)-1)²=88/17。同理，代入x₂得432/17+9(k'(-√(72/17)-1)²)=72。9(k'(-√(72/17)-1)²)=88/17。k'(-√(72/17)-1)²=88/17。所以k'(√(72/17)-1)²=k'(-√(72/17)-1)²=88/17。设t=√(72/17)，则(k't-k'(-