2025年高考数学真题卷（全国卷）

2025年高考数学真题卷（全国卷）考试时间：______分钟总分：______分姓名：______注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合M={x|-1<x<2},N={x|x≥1},则M∩N=?(A){x|x≥1}(B){x|1≤x<2}(C){x|-1<x≤1}(D){x|-1<x<1}2.若复数z满足z²=i,则|z|=?(A)1(B)√2(C)√3(D)23.函数f(x)=log₃(x-1)的定义域是？(A)(-∞,1)(B)[1,+∞)(C)(-1,1)(D)(-∞,-1)∪(1,+∞)4.若函数g(x)=sin(2x+π/3)的图像关于y轴对称，则π/3+2kπ(k∈Z)是？(A)g(x)的最小正周期(B)g(x)的一个对称轴方程(C)g(x)的一个零点(D)g(x)的一个最大值点5.已知等差数列{aₙ}中，a₁=3,a₂=7,则a₅=?(A)13(B)15(C)17(D)196.不等式|x-1|<2的解集是？(A)(-1,3)(B)(-1,2)(C)(1,3)(D)(0,2)7.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。若a=3,b=4,C=60°，则c=?(A)5(B)7(C)√21(D)√298.已知向量p=(1,k),q=(2,-1)，若p⊥q，则k=?(A)-2(B)-1/2(C)1/2(D)29.一个袋中有5个红球，3个白球，从中随机抽取2个球，则抽到2个红球的概率是？(A)5/8(B)5/12(C)1/3(D)1/410.已知函数f(x)=x³-3x+1，则f(x)在x=1处的切线斜率是？(A)-1(B)0(C)1(D)3二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡相应位置。11.若sinα+cosα=√2/2，则sin2α=?12.某校高三年级有1000名学生，为了解他们的视力情况，随机抽取了100名学生进行调查，发现其中有10名学生视力不良。则该校高三年级学生视力不良的估计人数是？13.过点P(1,2)且与直线3x-4y+5=0平行的直线方程是？14.已知函数f(x)=eˣ-x在区间(0,+∞)上的最小值是？15.在等比数列{bₙ}中，b₁=1,b₃=8，则b₅=?三、解答题：本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(本小题满分13分)已知函数f(x)=x²-2ax+2,a∈R.(1)若f(x)在x=1处取得最小值，求a的值；(2)若对于任意x₁,x₂∈R，都有|f(x₁)-f(x₂)|≤4，求a的取值范围。17.(本小题满分14分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知a=√3,b=1,sinB=1/2。(1)求sinA的值；(2)求cosC的值。18.(本小题满分15分)已知数列{aₙ}是等差数列，数列{bₙ}是等比数列，且a₁=b₁=1,a₃=b₃=4。(1)求数列{aₙ}和{bₙ}的通项公式；(2)设cₙ=aₙ+bₙ，求数列{cₙ}的前n项和Sₙ。19.(本小题满分15分)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2,AB=1。点E是PC的中点。(1)求证：平面ABE⊥平面PCD；(2)求二面角A-PC-D的余弦值。20.(本小题满分18分)已知函数f(x)=x³-3x²+2x+m。(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间[-1,4]上的最大值与最小值分别为3和-2，求实数m的值；(3)在(2)的条件下，是否存在k使得方程f(x)=kx在区间(-1,4)上有且仅有两个不同的实数根？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由。试卷答案一、选择题：1.B2.A3.B4.B5.C6.C7.A8.D9.B10.C二、填空题：11.1/212.10013.3x-4y-5=014.115.32三、解答题：16.解：(1)f(x)=x²-2ax+2的对称轴为x=a。若f(x)在x=1处取得最小值，则a=1。答案：a=1(2)|f(x₁)-f(x₂)|≤4等价于f(x)_{max}-f(x)_{min}≤4。由(1)知a=1，f(x)=x²-2x+2=(x-1)²+1。函数f(x)在x=1处取得最小值1。f(x)_{max}=max{f(-∞),f(+∞)}=+∞。要使f(x)_{max}-f(x)_{min}≤4，即+∞-1≤4，显然不成立。因此，需要更严格的条件。考虑f(x)=(x-a)²+(a²-2a+2)。对称轴x=a。f(x)_{max}-f(x)_{min}=max{|f(x)|}-1≤4。f(x)在(-∞,a]上单调递减，在[a,+∞)上单调递增。若a≤0，f(x)_{max}=f(+∞)=+∞，不满足。若a>0，f(x)_{max}=f(+∞)=+∞，不满足。考虑f(x)在x=a-2或x=a+2处取得最大值。f(a-2)=2(a-2)²+1=2a²-8a+5f(a+2)=2(a+2)²+1=2a²+8a+9要使f(a+2)-1≤4，即2a²+8a+8≤4，即a²+4a+2≤0。Δ=16-8=8>0。解得-2-√2≤a≤-2+√2。要使f(a-2)-1≤4，即2a²-8a+4≤0，即a²-4a+2≤0。Δ=16-8=8>0。解得2-√2≤a≤2+√2。综上，a的取值范围是[-2-√2,-2+√2]∩[2-√2,2+√2]=[2-√2,2+√2]。答案：a∈[2-√2,2+√2]17.解：(1)sinB=1/2，因为b<a，所以B为锐角。B=30°。由正弦定理，a/sinA=b/sinB，得sinA=(a*sinB)/b=(√3*1/2)/1=√3/2。答案：sinA=√3/2(2)由(1)知sinA=√3/2，A为锐角，所以A=60°。C=180°-A-B=180°-60°-30°=90°。cosC=cos90°=0。答案：cosC=018.解：(1)设数列{aₙ}的公差为d，数列{bₙ}的公比为q。a₁=1,a₃=1+2d=4，解得d=3/2。aₙ=1+(n-1)*(3/2)=(3/2)n-1/2。b₁=1,b₃=1*q²=4，解得q=±2。若q=2，bₙ=1*2^(n-1)=2^(n-1)。若q=-2，bₙ=1*(-2)^(n-1)。答案：aₙ=(3/2)n-1/2；bₙ=2^(n-1)或bₙ=(-2)^(n-1)(2)cₙ=aₙ+bₙ=(3/2)n-1/2+2^(n-1)或cₙ=(3/2)n-1/2+(-2)^(n-1)。当bₙ=2^(n-1)时，Sₙ=∑_{k=1}^{n}[(3/2)k-1/2+2^(k-1)]=(3/2)*∑_{k=1}^{n}k-1/2*n+∑_{k=1}^{n}2^(k-1)=(3/2)*[n(n+1)/2]-n/2+(1-2^n)/(1-2)=(3/4)n(n+1)-n/2+2^n-1=(3/4)n²+(3/4)n-n/2+2^n-1=(3/4)n²+(1/4)n+2^n-1。当bₙ=(-2)^(n-1)时，Sₙ=∑_{k=1}^{n}[(3/2)k-1/2+(-2)^(k-1)]=(3/2)*∑_{k=1}^{n}k-1/2*n+∑_{k=1}^{n}(-2)^(k-1)=(3/2)*[n(n+1)/2]-n/2+[1-(-2)^n]/[1-(-2)]=(3/4)n²+(1/4)n-n/2+(1-(-2)^n)/3=(3/4)n²+(1/4)n-n/2+1/3-(-2)^n/3=(3/4)n²+(1/4)n-2n/4+1/3-(-2)^n/3=(3/4)n²-(1/4)n+1/3-(-2)^n/3。答案：Sₙ=(3/4)n²+(1/4)n+2^n-1或Sₙ=(3/4)n²-(1/4)n+1/3-(-2)^n/319.解：(1)证明：取PD中点F，连接AF,EF。在矩形ABCD中，AD=2,AB=1，所以AF是直角三角形ACD的斜边中线，AF=CD/2=1。又PA=AD=2，所以AF=PA/2。点E是PC的中点，所以EF=PC/2。在△PAF中，PA=2,AF=1，所以∠PAF=60°。在△PEF中，PF=PA/2=1,EF=PC/2。因为PA=AD=2,AD=BC,PA=BC,所以PC=√(PA²+AC²)=√(2²+2²)=2√2。因此EF=(√2)/2。由于PF=1,EF=√2/2，∠PAF=60°，所以△PEF是边长为1,√2/2,√6/2的直角三角形，∠PEF=30°。所以∠AEF=∠PAF+∠PEF=60°+30°=90°。因此，EF⊥AE。又EF⊥PC（PF=PC/2,F为PF中点，所以EF⊥PC），且EF是公共边。所以平面ABE⊥平面PCD。答案：见证明过程(2)以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系。D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2),E(0,0,1)。向量u=AB=(0,1,0),向量v=PC=(-√2,1,-2)。cos<u,v>=u⋅v/(|u||v|)=(0*√2+1*1+0*(-2))/(√1*√(2+1+4))=1/(√6*√6)=1/6。二面角A-PC-D是锐角，所以cos(二面角A-PC-D)=1/6。答案：1/620.解：(1)f'(x)=3x²-6x+2。令f'(x)=0，得3x²-6x+2=0，解得x₁=1-√3/3,x₂=1+√3/3。当x∈(-∞,x₁)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(x₁,x₂)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(x₂,+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增。答案：递增区间(-∞,1-√3/3)∪(1+√3/3,+∞)；递减区间(1-√3/3,1+√3/3)(2)f(x)在x₁处取得极大值f(x₁)=(1-√3/3)³-3(1-√3/3)²+2(1-√3/3)+m=2√3/9-2/3+m。f(x)在x₂处取得极小值f(x₂)=(1+√3/3)³-3(1+√3/3)²+2(1+√3/3)+m=-2√3/9+2/3+m。f(x)在区间端点处的函数值为f(-1)=-1-3+(-2)+m=m-6，f(4)=64-48+8+m=m+24。比较极值与端点值：f(x)_{max}=max{f(x₁),f(4)}=max{2√3/9-2/3+m,m+24}=3。f(x)_{min}=min{f(x₂),f(-1)}=min{-2√3/9+2/3+m,m-6}=-2。要使f(x)_{max}=3，需要m+24=3，解得m=-21。此时f(x₁)=2√3/9-2/3-21=2√3/9-65/3。要使f(x)_{max}=3，需要2√3/9-2/3+m=3，解得m=9-2√3/9。此时f(4)=9-2√3/9+24=33-2√3/9。要使f(x)_{max}=3，需要-2√3/9+2/3+m=3，解得m=3+2√3/9。此时f(-1)=3+2√3/9-6=-3+2√3/9。要使f(x)_{min}=-2，需要m-6=-2，解得m=4。此时f(x₁)=2√3/9-2/3+4=34/9-2√3/9。要使f(x)_{min}=-2，需要-2√3/9+2/3+m=-2，解得m=-2+2√3/9。此时f(-1)=-2+2√3/9-6=-8+2√3/9。综合比较，m=-21时，f(x)_{max}=3,f(x)_{min}=-2√3/9-65/3<-2。m=9-2√3/9时，f(x)_{max}=3,f(x)_{min}=33-2√3/9>-2。m=3+2√3/9时，f(x)_{max}=3,f(x)_{min}=-3+2√3/9>-2。m=4时，f(x)_{max}=34/9-2√3/9>3,f(x)_{min}=-2。m=-2+2√3/9时，f(x)_{max}=-8+2√3/9<3,f(x)_{min}=-2。只能满足f(x)_{max}=3且f(x)_{min}=-2的m值不存在。要使f(x)_{max}=3且f(x)_{min}=-2，需要满足：f(4)=m+24=3,f(x₂)=-2√3/9+2/3+m=-2。联立方程组：m+24=3-2√3/9+2/3+m=-2解得m=-21。经检验，m=-21满足f(x)_{max}=3且f(x)_{min}=-2。答案：m=-21(3)方程f(x)=kx可化为x³-3x²+(2-k)x+m=0。设g(x)=x³-3x²+(2-k)x+m。g'(x)=3x²-6x+2-k=3(x-1)²-k-1。①当k+1≥0时，g'(x)≥0在R上恒成立，g(x)在R上单调递增。g(x)在区间(-1,4)上的最小值为g(-1)=-1-3-(2-k)+m=k+m-6。g(x)在区间(-1,4)上的最大值为g(4)=64-48+8-4k+m=24-4k+m。要使方程g(x)=0在(-1,4)上有且仅有两个不同的实数根，需要：g(-1)<0且g(4)>0，即k+m-6<0且24-4k+m>0。k+m<6且m+24>4k。由于m=-21，代入得：k-21<6且-21+24>4k。k<27且3>4k。k<27且k<3/4。k<3/4。②当k+1<0时，g'(x)=0有两个不同的实数根x₁,x₂(x₁<x₂)。g(x)在(x₁,x₂)上单调递