2025年华南理工数学(一)模拟习题集

2025年华南理工数学(一)模拟习题集考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题卡相应位置。1.函数f(x)=arcsin(2x)-√(4-x^2)在其定义域内是().(A)奇函数(B)偶函数(C)非奇非偶函数(D)既奇又偶函数2.极限lim(x→0)(e^x-cosx)/x^2=().(A)1(B)0(C)1/2(D)-1/23.设函数f(x)在点x₀处可导，且f'(x₀)≠0，则当x→x₀时，下列说法正确的是().(A)函数f(x)必定在x₀处取得极值(B)极限lim(x→x₀)[f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)必定存在且为f'(x₀)(C)函数f(x)必定在x₀附近单调递增(D)曲线y=f(x)在点(x₀,f(x₀))处必有平行于x轴的切线4.已知函数g(x)=x^3-ax^2+bx+1在x=-1处取得极大值，在x=1处取得极小值，则常数a,b的值分别为().(A)a=1,b=-2(B)a=-1,b=2(C)a=1,b=2(D)a=-1,b=-25.设向量α=(1,k,1)^T，β=(2,-1,1)^T，γ=(1,1,2)^T，若向量α,β,γ线性相关，则实数k的取值为().(A)-2(B)2(C)-1/2(D)1/2二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。请将答案填在答题卡相应位置。6.设函数f(x)=|x-1|+|x+1|，则f(x)在区间[-2,2]上的最小值是________。7.曲线y=x^3-3x^2+2在点(1,0)处的切线方程为________。8.若函数y=ln(1+x)的麦克劳林级数（Maclaurinseries）展开式中x^3项的系数为k，则k=________。9.设A为三阶矩阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵A*的行列式|A*|=________。10.从装有3个红球和2个白球的袋中不放回地依次取出两个球，则取出的两个球颜色不同的概率为________。三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11.(本题满分10分)计算不定积分∫(x^2+1)/(x^3+3x)dx。12.(本题满分10分)讨论函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间(-∞,+∞)上的单调性与极值。13.(本题满分12分)计算二重积分∫∫_D(x^2+y^2)dxdy，其中积分区域D由直线y=x和抛物线y=x^2所围成。14.(本题满分12分)设线性方程组为：(1)x₁+x₂+x₃=1(2)2x₁+(a+2)x₂+3x₃=3(3)-3x₁-x₂+(a-1)x₃=-3讨论该线性方程组解的情况（有唯一解、无解或有无穷多解），并求出其解（若存在）。15.(本题满分10分)设向量组α₁=(1,1,1)^T，α₂=(1,1,0)^T，α₃=(1,0,0)^T。(1)证明向量组α₁,α₂,α₃线性无关；(2)求向量β=(1,2,3)^T在由向量组α₁,α₂,α₃所生成的线性空间中的线性表示。16.(本题满分14分)设随机变量X的概率密度函数为f(x)={c(1-|x|),|x|≤10,其他}(1)确定常数c；(2)求随机变量X的分布函数F(x)；(3)计算X²的数学期望E(X²)。---试卷答案一、选择题1.A2.C3.B4.D5.A二、填空题6.27.y=-2x+28.1/39.410.3/5三、解答题11.解：∫(x^2+1)/(x^3+3x)dx=∫(x^2+1)/x(x^2+3)dx=1/3∫[(x^2+3)-3x]/x(x^2+3)dx=1/3∫(1/x-3/x(x^2+3))dx=1/3∫(1/x)dx-1∫(x/x(x^2+3))dx=1/3ln|x|-1/3∫(1/(x^2+3))dx=1/3ln|x|-1/3*1/√3*arctan(x/√3)+C=1/3ln|x|-√3/9arctan(x/√3)+C.12.解：f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)令f'(x)=0，得驻点x=0,x=2。列表讨论：x|(-∞,0)|0|(0,2)|2|(2,+∞)f'(x)|+|0|-|0|+f(x)|↗|极大|↘|极小|↗单调性|递增|极大值2|递减|极小值0|递增极值||极大值f(0)=2||极小值f(2)=0|故f(x)在(-∞,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增。函数在x=0处取得极大值2，在x=2处取得极小值0。13.解：积分区域D由y=x和y=x^2围成，交点为(0,0)和(1,1)。∫∫_D(x^2+y^2)dxdy=∫[fromx=0to1]∫[fromy=x^2tox](x^2+y^2)dydx=∫[fromx=0to1][(x^2y+y^3/3)|_{y=x^2}^{y=x}]dx=∫[fromx=0to1][(x^3+x^3/3)-(x^4+x^6/3)]dx=∫[fromx=0to1](4x^3/3-x^4-x^6/3)dx=(4/3*x^4/4-x^5/5-x^7/21)|_{0}^{1}=(1/3-1/5-1/21)=(35-21-5)/105=9/105=3/35.14.解：增广矩阵为(A|b)=[(111|1);(2a+23|3);(-3-1a-1|-3)]对矩阵进行行变换：R2=R2-2R1→(0a1|1)R3=R3+3R1→(02a|0)R3=R3-2R2→(00a-4|-2)即(A|b)~[(111|1);(0a1|1);(00a-4|-2)]讨论：(1)若a=4，则(A|b)~[(111|1);(041|1);(000|-2)]，出现0=-2，方程组无解。(2)若a≠4且a≠0，则R3对应方程0x₁+0x₂+(a-4)x₃=-2有唯一解x₃=2/(a-4)。再回代R2:a*x₂+x₃=1=>a*x₂=1-2/(a-4)=>x₂=(a-2)/(a(a-4))。再回代R1:x₁+x₂+x₃=1=>x₁=1-x₂-x₃=1-(a-2)/(a(a-4))-2/(a-4)=(a(a-4)-(a-2)-2a(a-4))/(a(a-4))=(a^2-4a-a+2-2a^2+8a)/(a(a-4))=(-a^2+3a+2)/(a(a-4))=-(a-1)(a-2)/(a(a-4)).故当a≠4且a≠0时，方程组有唯一解：x₁=-(a-1)(a-2)/(a(a-4)),x₂=(a-2)/(a(a-4)),x₃=2/(a-4).15.解：(1)证明：设有数k₁,k₂,k₃使得k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0。即k₁(1,1,1)^T+k₂(1,1,0)^T+k₃(1,0,0)^T=(0,0,0)^T得方程组：k₁+k₂+k₃=0k₁+k₂=0k₁=0解此方程组得k₁=k₂=k₃=0。故向量组α₁,α₂,α₃线性无关。(2)设β=x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃。即(x₁+x₂+x₃,x₁+x₂,x₁)^T=(1,2,3)^T得方程组：x₁+x₂+x₃=1x₁+x₂=2x₁=3解此方程组得x₁=3,x₂=-1,x₃=-2。故β=3α₁-α₂-2α₃。16.解：(1)确定常数c：∫[-∞to+∞]f(x)dx=1∫[-∞to+∞]f(x)dx=∫[-1to1]c(1-|x|)dx=2∫[0to1]c(1-x)dx=2c[x-x^2/2]|_{0}^{1}=2c(1-1/2)=2c*1/2=c.由∫[-∞to+∞]f(x)dx=1，得c=1。(2)求分布函数F(x)：当x<-1时，F(x)=∫[-∞tox]f(t)dt=0。当-1≤x≤1时，F(x)=∫[-∞to-1]f(t)dt+∫[-1tox]f(t)dt=0+∫[-1tox](1-|t|)dt=∫[-1tox](1+t)dt(因为-1≤t≤x)=[(t+t^2/2)|_{-1}^{x}]=[(x+x^2/2)-(-1+1/2)]=x+x^2/2+1/2.当x>1时，F(x)=∫[-∞to-1]f(t)dt+∫[-1to1]f(t)dt+∫[1tox]f(t)dt=0+1+0=1.故F(x)={0,x<-1x+x^2/2+1/2,-1≤x≤11,x>1}(3)计算E(X²)：E(X²)=∫[-∞to+∞]x²f(x)d