2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练(新高考专用)-专题1.3 不等式与复数【七大题型】(讲义)(原卷版)

专题1.3不等式与复数【七大题型】【新高考专用】1、不等式不等式是每年高考的必考内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主，主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值等问题。但不等式的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识领域，作为解题工具与函数、向量、解析几何、数列等知识相结合，在知识的交汇处命题，难度中档，其中在解析几何中利用基本不等式求解范围或解决导数问题时利用不等式进行求解，难度偏高。2、复数复数是高考的热点内容，是高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，高考对复数的考查比较稳定，往往以单选题、填空题的形式考查，考查内容、难度变化不大，主要考查复数的概念、运算及其几何意义，属于简单题.【知识点1等式性质与不等式性质】1．等式的基本性质性质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).2．不等式的性质(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．【知识点2基本不等式】1．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．2．常见的求最值模型(1)模型一：，当且仅当时等号成立；(2)模型二：，当且仅当时等号成立；(3)模型三：，当且仅当时等号成立；(4)模型四：，当且仅当时等号成立.3．利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.【知识点3一元二次不等式】1．一元二次不等式的解法(1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤：①通过对不等式变形，使二次项系数大于零；②计算对应方程的判别式；③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．(2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤：①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．2．一元二次不等式恒成立、存在性问题不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))【知识点4复数有关问题的解题策略】1．复数的概念的有关问题的解题策略(1)复数z=a+bi(a,b∈R)，其中a，b分别是它的实部和虚部.若z为实数，则虚部b=0，与实部a无关；若z为虚数，则虚部b≠0，与实部a无关；若z为纯虚数，当且仅当a=0且b≠0.(2)复数z=a+bi(a,b∈R)的模记作或，即.(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为，则，即，若，则.2．复数的运算的解题策略(1)复数的乘法类似于多项式的乘法运算；(2)复数的除法关键是分子分母同乘以分母的共轮复数.3．复数的几何意义的解题策略由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此解题时可运用数形结合的方法，把复数、向量与解析几何联系在一起，使问题的解决更加直观.4．复数的方程的解题策略(1)对实系数二次方程来说，求根公式、韦达定理、判别式的功能没有变化，仍然适用.(2)对复系数(至少有一个系数为虚数)方程，判别式判断根的功能失去了，其他仍适用.【题型1不等式性质及其应用】【例1】（2024·河南驻马店·二模）已知a>b>c>0，则下列说法一定正确的是（

）A．a>b+c B．aC．ac>b2 【变式1-1】（2024·陕西商洛·三模）已知a,b∈R，则“1a<1b”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-2】（2024·吉林长春·模拟预测）已知π4<α<β<π2，则A．−π2,C．−π,π【变式1-3】（2024·浙江金华·模拟预测）设a,b,c的平均数为M,a与b的平均数为N,N与c的平均数为P.若a>b>c,则（

）A．N<P B．P<MC．N<M D．M+N<2P【题型2基本不等式与最值】【例2】（2024·四川绵阳·一模）已知x>0,y>0，且满足x+y=xy−3，则xy的最小值为（

）A．3 B．23 C．6 【变式2-1】（2024·河北·模拟预测）已知非负实数x,y满足x+y=1，则12x+1A．3+222 B．3+224 【变式2-2】（2024·山西·模拟预测）已知x>0，y>0，且4x2+5xy=(4+y)(4−y)，则7x+4yA．63 B．65 C．83【变式2-3】（2024·山东淄博·二模）记maxx,y,z表示x,y,z中最大的数．已知x,y均为正实数，则maxA．12 B．1 C．2 【题型3基本不等式中的恒成立问题】【例3】（2024·重庆·模拟预测）已知x>0，y>0，且xy+2x+y=6，则2x+y的最小值为（

）．A．4 B．6 C．8 D．12【变式3-1】（2024·四川成都·三模）设函数fx=x3−x，正实数a,b满足fa+fA．2+22 B．4 C．2+2 【变式3-2】（23-24高一上·河南商丘·期末）若对任意实数x>0,y>0，不等式x+xy≤a(x+y)恒成立，则实数a的最小值为（A．2−12 B．2−1 C．2【变式3-3】（2024·广东湛江·二模）当x，y∈0,+∞时，4x4+17xA．25,+∞ B．26,+∞ C．994【题型4二次不等式及其参数问题】【例4】（2024·山西·模拟预测）已知关于x的不等式ax+b>0的解集为(−4,+∞)，则关于x的不等式bxA．−14,0C．0,14 【变式4-1】（2024·浙江绍兴·三模）若关于x的不等式x2+mx+n>0的解集为xA．m=3，n=2 B．m=−3，n=2 C．m=3，n=−2 D．m=−3，n=−2【变式4-2】（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式x2−3x<2−2xA．−1,12 B．−12,1【变式4-3】（2024·河南·模拟预测）某同学解关于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)时，因弄错了常数c的符号，解得其解集为(−∞,−3)∪(−2,+A．−1,−15 C．15,1 【题型5一元二次不等式恒成立、有解问题】【例5】（2024·浙江·模拟预测）若不等式kx2+k−6x+2>0A．2≤k≤18 B．−18<k<−2C．2<k<18 D．0<k<2【变式5-1】（2024·辽宁鞍山·二模）已知当x>0时，不等式：x2−mx+16>0恒成立，则实数m的取值范围是（A．−8,8 B．−∞,8 C．−∞【变式5-2】（2024·河南·模拟预测）已知命题“∃x0∈−1,1，−xA．−∞,−2 B．−∞,4 C．【变式5-3】（24-25高一上·河北·阶段练习）设命题p：对任意−1≤x≤1，不等式x2−2x−4+m<0恒成立；命题q：存在0≤x≤1，使得不等式2x−2≥m2−3m成立，若p，qA．m∣m<−1 B．m∣0≤m≤3C．m∣0≤m<1 D．−∞,0【题型6复数的四则运算】【例6】（2024·陕西商洛·一模）若复数z=(2+i)(1−i)，则A．1−i B．1+i C．3−i【变式6-1】（2024·海南·模拟预测）若复数z满足z+1i=2−i，则z=A．1−2i B．1+2i C．−2i【变式6-2】（2024·甘肃兰州·模拟预测）若z=−2+i，则z−zz+1A．−1+i B．1+i C．1−i【变式6-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）若复数z满足z+2z=2−i，则z=A．−1−i B．−1+i C．1−i【题型7复数的几何意义】【例7】（2024·浙江·模拟预测）若复数z满足z+2z=3+i（i为虚数单位)，则zA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式7-1】（2024·江苏连云港·模拟预测）已知复数z所对应的点在第四象限，且z=22，z2的虚部为−8，则复数z=A．2−2i B．2i−2 C．2【变式7-2】（2024·宁夏·二模）已知复数z满足z−4+5i=1，则z在复平面内对应的点位于（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式7-3】（2024·重庆·二模）若复数z=2−a+2a−1ia∈RA．第一象限内 B．第二象限内C．第三象限内 D．第四象限内1．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1,3)，则z的共轭复数z=A．1+3i C．−1+3i 2．（2023·全国·高考真题）2+i2+2A．1 B．2 C．5 D．53．（2023·全国·高考真题）51+i3A．−1 B．1 C．1−i D．4．（2023·全国·高考真题）设a∈R,a+i1−aiA．-1 B．0

C．1 D．25．（2023·全国·高考真题）设z=2+i1+i2A．1−2i B．1+2i C．2−i6．（2023·全国·高考真题）已知z=1−i2+2i，则A．−i B．i C．0 7．（2023·全国·高考真题）在复平面内，1+3i3−iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．（2024·上海·高考真题）a,b,c∈R,b>c，下列不等式恒成立的是（A．a+b2>a+C．ab2>a9．（2024·北京·高考真题）已知zi=−1−i，则z=A．−1−i B．−1+i C．1−i10．（2024·全国·高考真题）设z=2i，则z⋅zA．−2 B．2 C．−2 11．（2024·全国·高考真题）若z=5+i，则iz+zA．10i B．2i C．10 12．（2024·全国·高考真题）已知z=−1−i，则z=（A．0 B．1 C．2 D．213．（2024·广东江苏·高考真题）若zz−1