形形色色的函数模型2025-2026学年高一上学期数学湘教版必修第一册

4.5.2形形色色的函数模型

学习目标1.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.体会如何借助函数刻画实际问题,感悟数学模型中参数的现实意义.导入新课生活里的“数据难题”1.妈妈的手机套餐，每月固定话费58元，含100分钟通话，超过后每分钟0.3元。如果这个月她打了150分钟电话，话费是多少？要是打了300分钟呢？​分段函数2.咱们老家的小村庄，10年前人口是800人，每年大概增加20人；而隔壁的县城，10年前人口20万，每年大概增长1.5%。现在这两个地方的人口，哪个更多？​一次函数、指数函数导入新课3.冬天喝热奶茶，刚泡好时温度95℃，放在25℃的房间里，5分钟后降到65℃，想喝45℃的奶茶，大概要等多久？​导入新课对数函数

把现实世界中的实际问题加以提炼,抽象为数学模型,求出模型的解,验证模型的合理性,并用该数学模型所提供的解来解释现实问题,数学知识的这一应用过程称为数学建模.想一想：已知的数学模型有哪些？函数模型函数解析式一次函数模型反比例函数模型二次函数模型指数型函数模型对数型函数模型幂函数型模型

新课学习(1)正确理解并简化实际问题:了解问题的实际背景，明确其实际意义,掌握对象的各种信息.根据实际对象的特征和建模的目的,对问题进行必要的简化,并用精确的语言提出一些恰当的假设

.(2)建立数学模型:在上述基础上,利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系,建立相应的数学结构

.(3)求得数学问题的解.(4)将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较,验证模型的准确性、合理性和适用性

.数学建模的步骤通常是:新课学习实际问题数学问题抽象概括分析转化数学问题的解确定函数模型

符合实际回到实际问题中去实际问题的结论解决问题例1某商用无人机公司从某年1月份开始投产,已知前4个月的产量分别为1万台,1.2万台,1.3万台,1.37万台.由于产品技术先进、质量可靠,前几个月的产品销售情况良好.为了方便营销人员在推销产品时,接受订单不至于过多或过少,需要估测以后几个月的产量.例题解析

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评价：此法的结论是,在不增加设备和工人的条件下,产量会每月提升0.1万台,即1000台,这是不太可能的.例题解析

例题解析

例题解析

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课堂练习A

课堂练习

C

课堂练习10244、

假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:方案一,每天回报40元；方案二,第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;方案三,第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.试建立三种投资方案所对应的函数模型，你会选择哪种投资方案?课堂练习

提示：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况,为选择投资方案提供依据.一次函数指数函数常数函数课堂练习

我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况.课堂练习根据表格，再画出三个函数图象课堂练习

由表和图可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同.0xy2040608010012014042681012下面再看累计的回报数.通过信息技术列表如下

课堂练习

可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”,其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.课堂练习5、某汽车制造商在2024年年初公告：公司计划2025年的生产目标为43万辆.已知该公司近三年的汽车生产量如表所示：年份(年)202120222023产量(万辆)81830