（预习课）2025-2026学年人教A版 高一数学寒假讲义03 平面向量的数量积+随堂检测（原卷版）

第页第03讲平面向量的数量积1、平面向量数量积有关概念1.1向量的夹角已知两个非零向量和，如图所示，作，，则()叫做向量与的夹角，记作．(2)范围：夹角的范围是．当时，两向量，共线且同向；当时，两向量，相互垂直，记作；当时，两向量，共线但反向．1.2数量积的定义：已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(或内积)，记作，即，其中θ是与的夹角，记作：．规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：.1.3向量的投影①定义：在平面内任取一点，作.过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.②投影向量计算公式:当为锐角（如图（1））时，与方向相同，，所以；当为直角（如图（2））时，，所以；当为钝角（如图（3））时，与方向相反，所以，即.当时，，所以；当时，，所以综上可知，对于任意的，都有.2、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知向量，为向量和的夹角：2.1数量积2.2模：2.3夹角：2.4非零向量的充要条件：2.5三角不等式：（当且仅当时等号成立）3、平面向量数量积的运算①②③4、极化恒等式①平行四边形形式：若在平行四边形中，则②三角形形式：在中，为的中点，所以5、常用结论①②③高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析【例题1-1】已知在方向上的投影为，则的值为A．3B．C．2D．【例题1-2】在中，为边上上的中点，，．（1）___________．（2）为内一点，最小值为___________【变式1-1】已知，，向量在方向上投影向量是，则为（

）A．12B．8C．-8D．2【变式1-2】在中，，，，为的外心，则（

）A．5B．2C．D．角度2：平面向量数量积的几何意义【例题2-1】已知点O为所在平面内一点，在中，满足，，则点为该三角形的（

）A．内心B．外心C．垂心D．重心【例题2-2】如图，已知正六边形边长为1，点是其内部一点，（包括边界），则的取值范围为______【变式2-1】如图，在正六边形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，则_________．【变式2-2】在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P为其内部或边界上一点，则的取值范围为______.高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：求数量积【例题3-1】已知向量，满足，且与的夹角为，则（

）A．12B．4C．3D．1【例题3-2】在边长为2的正三角形中，，，则（

）A．B．C．D．【变式3-1】已知是边长为2的等边三角形，则（

）A．B．C．D．【变式3-2】已知，，其中．满足，则（

）A．B．C．9D．22角度2：向量模运算【例题4-1】已知向量与的夹角为60°，，，则（

）A．12B．16C．D．4【例题4-2】已知向量，满足，，，则等于（

）A．B．C．D．【变式4-1】已知向量，若与方向相反，则=（

）A．54B．8C．D．【变式4-2】设平面向量，，若，则等于（

）A．B．C．D．【变式4-3】已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围是__________.角度3：向量的夹角【例题5-1】已知向量满足，则（

）A．B．C．D．【例题5-2】已知向量，，若，则与夹角的余弦值为（

）A．B．C．D．【变式5-1】已知，，，则（

）A．B．C．D．【变式5-2】在平面直角坐标系中，为坐标原点，点、点、点，，若，则与的夹角为(

)A．B．C．D．【变式5-3】已知向量满足，则与的夹角为___________.角度4：两向量成锐角（钝角）求参数【例题6-1】已知，，向量与的夹角为，且与向量的夹角为钝角．则（

）A．B．C．D．【例题6-2】已知，且向量与不共线.(1)若与的夹角为，求；(2)若与的夹角为且向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【变式6-1】已知平面向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为____________.【变式6-2】设两个向量满足，(1)求方向的单位向量；(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．角度5：已知模求数量积【例题7-1】已知，是单位向量，若，则，的夹角是（

）A．B．C．D．【例题7-2】若非零向量与满足：，且，，则的最大值为______．【变式7-1】空间向量，，若，，，则与的夹角为（

）A．30°B．60°C．120°D．150°【变式7-2】已知向量，满足，，则，则______．角度6：已知模求参数【例题8-1】已知向量满足，，若与的夹角为，则的值为（

）A．2B．C．1D．【例题8-2】已知单位向量，，与的夹角为.(1)求证；(2)若，，且，求的值.【变式8-1】已知，是单位向量，且，的夹角为，若，则的取值范围为（

）A．B．C．D．【变式8-2】已知空间三个向量､､的模均为1，它们相互之间的夹角均为.(1)求证：向量垂直于向量；(2)已知，求k的取值范围.高频考点三：向量的垂直关系【例题9-1】已知，，且､的夹角为，如果，那么的值为（

）A．B．C．D．【例题9-2】已知，，．(1)求与的夹角；(2)若，且，求实数的值．【变式9-1】已知向量，，若，则______．【变式9-2】已知，.(1)若与的夹角为，求；(2)若与不共线，当为何值时，向量与互相垂直？高频考点四：向量的投影（投影向量）【例题10-1】已知，，且，则在方向上的投影为（

）A．B．C．D．【例题10-2】已知向量，则在方向上的数量投影为___________【变式10-1】若向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（

）A．B．C．D．【变式10-2】已知非零向量，满足，且则向量在向量上的投影为______.平面向量的数量积随堂检测1．已知向量，，，且，则实数为（

）A．-4B．-3C．4D．32．已知向量，满足，，，则（

）A．B．C．D．3．若向量与向量的夹角为，，，则（

）A．12B．6C．4D．24．已知，，，向量在方向上的投影是（

）A．12B．4C．－8D．25．已知向量，满足，，则（

）．A．B．C．D．6．已知点，，．则在上的投影向量为（

）A．B．C．D．7．如图在直角梯形ABCD中，已知，，，，则（

）．A．22B．24C．20D．188．已知向量与的夹角为，，若，则____________．9．已知向量，，其中，，若，则的最小值为_______．10.