【数学】广东省部分学校2025-2026学年高二上学期10月联考试题(解析版)

广东省部分学校2025-2026学年高二上学期10月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若过点的直线的倾斜角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由过点的直线的倾斜角为，得，所以.故选：D.2.在空间直角坐标系中，若点在平面内，则（）A. B. C. D.10【答案】B【解析】因为点在平面内，所以，即，所以．故选：B.3.若三点共线，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线的斜率，直线方程为，即，由点共线，得在直线上，所以.故选：A.4.已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量，向量与平面平行，则（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】由题意可知，，即，解得．故选：B.5.已知，若点在轴负半轴上，且，则点的纵坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设点，则直线的斜率必存在，分别为，由，得，即，而，解得，点的纵坐标为.故选：A.6.若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为向量在基底下的坐标为，所以，设在基底下的坐标为，则，所以，解得，所以向量在基底下的坐标为．故选：B.7.已知点是空间中四点，点分别为的中点，则（）A.对任意点恒有B.当且仅当点共面时C.对任意点恒有D.当且仅当点共面时【答案】C【解析】由点分别为的中点，得，因此，且，两式相加得，所以对任意点恒有，C正确，ABD错误.故选：C.8.在正四棱台中，，若的最小值为，则点到直线的距离为（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】设，则点在平面上，故，因为的最小值为，的最小值为，所以该棱台的高为．如图，连接，，则四边形是等腰梯形，，，从点向平面作垂线，垂足为，则最小时，点与点重合，点在上，且，所以，设点到直线的距离为，则，所以．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.任意一条直线的倾斜角都存在B.倾斜角为钝角的直线必过第三象限C.两条平行的直线一定有相等的斜率D.若直线l的斜率为负数，则其倾斜角为钝角【答案】AD【解析】根据倾斜角的定义可知易得A正确，由于斜率与倾斜角满足，，故时，，D正确；直线，斜率为负，故倾斜角为钝角，该直线经过二、四象限，不过第三象限，故B错误；当两条直线不重合，且均与轴垂直，此时这两条直线平行，但它们没有斜率，故C错误.故选:AD.10.已知正方体，则（）A.B.C.D.当为平面的法向量时【答案】BD【解析】对选项A，因，方向相反，所以，故A错误；对选项B，因为平面，平面，所以，所以，故B正确；对选项C，易知为等边三角形，所以，则，故C错误；对选项D，设正方体的边长为，以为原点，分别为轴建系，如图所示：则，，设，则，令，则，即.则，故D正确.故选：BD.11.在空间直角坐标系中，经过点，且一个法向量为平面的方程为．若平面的方程为，平面的方程为，则（）A.对任意不平行 B.存在，使得垂直C.当夹角的余弦值为时， D.不存在，使得的夹角在区间内【答案】ABD【解析】由题意平面的一个法向量，的一个法向量，因为，所以不平行，不平行，故A正确；，当时，，故B正确；设的夹角为，当时，平方化简得，解得或，故C错误；当时，，所以，当时，，因为函数在上单调递减，所以，故D正确．故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.与向量同向的单位向量的坐标为______．【答案】【解析】由向量，得，所以向量同向的单位向量为.故答案为：.13.如图，在正三棱锥中，以BC的中点E为原点，直线EC，ED分别为x，y轴，过点E与平面BCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系．若，则二面角的正切值为______，三棱锥的体积为______．【答案】①.3②.【解析】在正三棱锥中，连接，过点作平面的垂线，垂足为，则在上，且，则，，，，，二面角大小等于二面角的平面角，，由，得，所以三棱锥的体积为.故答案为：3；.14.已知在空间直角坐标系中，，动点满足，其中，且，则点轨迹的面积为_____．【答案】【解析】令，则，由，得，由，得点在平面内，设，由，得，且，又，则，因此点轨迹是，因为，则，所以点轨迹的面积为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知直线经过点．（1）若斜率为2，且，求；（2）若的一个方向向量的坐标为，且，求．解：（1）因为斜率为2，且，直线经过点，所以，解得；（2）因为的一个方向向量的坐标为，所以斜率为，又因为，所以直线的斜率为，即，解得.16.已知空间三点．（1）若为原点，求异面直线与所成角的余弦值；（2）求以为邻边的平行四边形的面积．解：（1）因为，所以，设异面直线与所成的角为，则，所以异面直线与所成角的余弦值为．（2）解：解法一：因为，所以，所以在上的投影向量的模为，所以点到直线的距离．所以以，为邻边的平行四边形的面积为．解法二：因为，所以，所以，，可得，所以，所以以为邻边的平行四边形的面积为．解法三：因为，所以，所以以为邻边的平行四边形的面积为：．17.如图，四棱柱所有棱长均为1，点满足，设．（1）用表示；（2）若，求与的值．解：（1）根据空间向量的线性运算法则，可得．因为，所以，所以．（2）因，所以，可得，解得，同理可得，因为，可得，所以，则．18.如图，在长方体中，点为的中点．（1）若，证明：；（2）若以点为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，其中，．（i）求点坐标；（ii）求点到平面的距离．（1）证明：因为，所以，在长方体中，由平面，且平面，所以，又因为，平面，所以平面，因为平面，所以．（2）（i）解：设，则，所以，可得，所以，，由，可得，所以.（ii）解：设平面的法向量，则，取，可得，则，又因为，所以点到平面的距离为．19.如图所示的几何体由三棱锥及三棱锥组成，其中是边长为的正三角形，且均由绕旋转得到，点为的中点．（1）证明：直线与直线共面；（2）已知．（i）若点都在球的表面上，求球的表面积；（ii）求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：连接，由都是正三角形，点为的中点，得，而平面，则平面，同理平面，又过空间一点有且只有一个平面垂直于已知直线，因此平面与平面重合，即平面，所以直线与直线共面.