专题04 函数的概念及其表示（竞赛培优专项训练）（解析版）高一数学竞赛培优系列（全国通.用）

PAGE专题04函数的概念及其表示目录概览A考点精研・竞赛考点专项攻坚考点一相等函数的判断 5考点二求函数的定义域 7考点三求函数的值域 8考点四由函数定义域求参 11考点五由函数值域求参 12考点六求函数的解析式 16考点七分段函数问题 19考点八函数的求值问题 23考点九函数的图象问题 29考点十函数的新定义问题 33B实战进阶・竞赛选拔模拟特训（精选各地竞赛、强基试题16道）【归纳重点知识】知识点01函数的概念1.函数的定义设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，称为从集合到集合的一个函数2．函数的有关概念（1）函数的定义域、值域：在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集．（2）函数的三要素：定义域、值域和对应关系．（3）相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．知识点02函数的表示法1.三种表示方法（1）详解法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：（1）简明、全面概括了变量间的关系；（2）利用详解式可求任意函数值．缺点：不够形象、只管，而且并不是所有函数都有详解式．（2）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：不需要计算可以直接看出与自变量对应的函数值；缺点：仅能表示自变量取较少的有限值时的对应关系．（3）图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：能形象直观地表示函数的变化情况；缺点：只能近似求出自变量的值所对应的函数值，而且有时误差较大．2.函数图象的变换（1）函数图象的平移变换左加右减：函数的图象沿轴方向向左()或向右()平移个单位长度得到函数;上加下减：函数的图象沿轴方向向上()或向下()平移个单位长度得到函数（2）函数图象的对称变换=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③（3）函数图象的翻折变换=1\*GB3①=2\*GB3②知识点03分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．（1）确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．（2）如果函数用表格给出，则表格中的集合即为定义域．（3）如果函数用图象给出，则图象在轴上的投影所覆盖的的集合即为定义域．0值域是一个数集，由函数的定义域和对应关系共同确定．（1）分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数．（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．（3）各段函数的定义域不可以相交．知识点03函数的对称性(拓展)1．函数图象本身的对称性(自身对称)若,则具有周期性;若,则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”.=1\*GB2⑴图象关于直线对称.推论1:的图象关于直线对称.推论2、的图象关于直线对称.推论3、)的图象关于直线对称.=2\*GB2⑵的图象关于点对称.推论1、的图象关于点对称.推论2、的图象关于点对称.推论3、的图象关于点对称.2．两个函数的图象对称性(相互对称)=1\*GB2⑴与图象关于y轴对称.=2\*GB2⑵与图象关于原点对称函数.=3\*GB2⑶函数与图象关于轴对称.=4\*GB2⑷函数与其反函数图象关于直线对称.=5\*GB2⑸函数与图象关于直线对称.推论1:函数与图象关于直线对称.推论2:函数与图象关于直线对称.推论3:函数与图象关于直线对称.3.函数的对称性常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.知识点04函数的周期性（拓展）1．周期性的定义一般地，对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期2．函数周期性的判定（1）的一个周期T=.（2）的一个周期T=.（3）的一个周期.（4）（为常数）的一个周期T=.提示：，两式相减可得：（5）（为常数）的一个周期T=.（6）的一个周期T=.提示：，相加，得，则T=.【熟记重要结论】1．常见函数的定义域(1)分式函数中分母不等于0．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0．(3)一次函数、二次函数的定义域为R.(4)零次幂的底数不能为0.2．基本初等函数的值域(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域：当a＞0时，值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))；当a＜0时，值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))．(3)y＝eq\f(k,x)(k≠0)的值域是{y|y≠0}．(4)y＝ax(a＞0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．(5)y＝logax(a＞0且a≠1)的值域是R.3.求抽象函数的定义域的策略(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．4．与二次函数有关的恒成立问题设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则(1)f(x)＞0恒成立的充要条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0,Δ＜0))；(2)f(x)＜0恒成立的充要条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0,Δ＜0))；(3)f(x)＞0(a＜0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（m）＞0,f（n）＞0))；(4)f(x)＜0(a＞0)在区间[m，n]恒成立的充要条件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（m）＜0,f（n）＜0)).考点一相等函数的判断1．下列函数中，与函数是同一个函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据同一函数定义可知两函数定义域相同、化简后的解析式相同，逐个选项判断即可.【详解】函数的定义域为，对应关系为的定义域为，但对应关系不同，A错误；，且定义域为，因为定义域与对应关系均相同，所以为同一函数，B正确；的定义域为，C错误；的定义域为，即或，D错误．故选：B.2．下列各组函数表示同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】AB定义域不同；C选项两函数定义域和对应法则均相同，D选项对应法则不同.【详解】A选项，的定义域为R，的定义域为，定义域不同，故不是同一函数，A错误；B选项，的定义域为，的定义域为R，定义域不同，B错误；C选项，由，解得，故的定义域为，由，解得，的定义域为，且，故为同一函数，C正确；D选项，，的对应法则不同，D错误.故选：C3．下列函数中与是同一函数的为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据各组函数的定义域和对应关系是否相同即可判断.【详解】A，定义域是，定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，错误；B，与定义域都是，两个函数的定义域相同，对应法则相同，是同一函数，正确；C，与对应法则不同，不是同一函数，错误；D，定义域是，定义域是，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，错误.故选B.考点二求函数的定义域4．函数的定义域是（

）A． B．C．且 D．且【答案】C【分析】利用根式和分式有意义列式求解即可.【详解】由题意可得解得且，故的定义域为且，故选：C5．函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数有意义，列出不等式组即可.【详解】由题可得且，则且，故函数的定义域为.故选：B.6．已知函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求．【详解】在中，，∴，∴的定义域是，故在中，解得，∴的定义域是.故选：A.7．若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据抽象函数和具体函数的定义域求法，建立不等式组，解之即得.【详解】依题意，函数有意义，等价于，解得，即函数的定义域为.故选：D8．函数的定义域为，函数，则的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用抽象函数定义域法则求出，再结合具体函数定义域法则求解即可.【详解】因为函数的定义域为，所以，则，即函数的定义域为，令，解得，因为，所以解得，因为，解得，则的定义域为，故C正确.故选：C考点三求函数的值域9．已知函数的定义域，值域，则满足条件的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据函数的定义，结合函数的定义域和值域进行求解即可.【详解】令，则，则满足条件的有，，共3个．故选：C10．函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解方程，用表示，解得的范围，即为值域.【详解】设，则，两边同时平方得，即，当时，不成立，所以，所以，所以即整理得，即，解得或，故选：B．11．下列函数中，值域是的是（

）．A． B．（）C．（） D．【答案】D【分析】分别求出各函数的值域即可.【详解】因为，所以函数值域为，故A错误；因为时，，故B错误；因为时，函数的值域为集合，不是区间．故C错误；因为，所以函数的值域为，故D正确.故选：D．12．已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【分析】令，求得，得到的定义域为，再结合函数图象变换，得到与函数的值域相同，即可得到答案.【详解】由函数的定义域和值域分别为和，可得和，令，解得，所以函数的定义域为，又由函数的图象向左平移个单位，得到的图象，所以函数与函数的值域相同，即.故选：D.13．若函数的值域是，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.【详解】因为函数的值域是，所以函数的值域是，令，则，由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增，而，，，则，即函数的值域是.故选：B.14．(多选)已知函数的定义域为，且，则（

）A． B．的值域为C．的定义域为 D．的值域为【答案】BC【分析】法一：利用配凑法求得的解析式，法二，利用换元法求得的解析式判断A；利用解析式求值域判断B；求复合函数的定义域和值域判断选项CD.【详解】对于A，法一：依题意，，则，，故A错误；法二：设，则，且，则，所以，，故A错误；对于B，当时，，当且仅当时取等号，因此的值域为，故B正确；对于C，在中，令，解得，因此的定义域为，故C正确；对于D，显然，，于是，因此的值域为，故D错误．故选：BC.考点四由函数定义域求参15．若的定义域为，则实数（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由函数特征得到不等式，得到，结合函数的定义域得到方程，求出.【详解】由题得，解得，函数的定义域为，故，.故选：B16．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数定义域为的条件，结合二次函数性质来确定实数的取值范围．【详解】由题意可知，关于的方程无解，此时进行分类讨论．①当，即时，不成立，分母不为零，所以符合题意；②当，即时，应满足，解得．综上，实数的取值范围为．故选：C．17．“函数的定义域为R”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据函数定义域得到，结合与的关系得到答案.【详解】定义域为R，即恒成立，故，由于时一定满足，但时不能得到，所以“函数的定义域为R”是“”的必要不充分条件.故选：B18．“”是“函数的定义域为R”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由题意得到在R上恒成立，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出，由集合真包含关系得到答案.【详解】由题意得在R上恒成立，若，则，满足要求，若，则只需，解得，综上，，由于为的真子集，故“”是“函数的定义域为R”的充分不必要条件.故选：A考点五由函数值域求参19．若函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别讨论在不同取值时得单调性；当时，，不合题意；当时，讨论的最小值即可；当时，由分析可知要求的最小值为0，先确定的范围，再根据的范围确定时函数的单调性，从而求得其最小值即为符合题意.【详解】当．则，此时在，单调递增，在单调递减.当时，若，当，，不合题意；当时，，，则值域为符合题意；当时，要使的值域是，则要求的最小值为．则必定先有，得，即，此时在上单调性为上单调递减，单调递增，有最小值符合题意．故故选：A.20．已知函数的值域为，，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值范围，再与值域对比求实数的取值范围.【详解】当时，在上单调递减，此时；当时，．①若，则在上单调递增，此时，又函数的值域，不合题意；②若，则，当且仅当时，等号成立，又函数的值域，则，解得．综上所述：．故选：C.21．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围.【详解】对于函数，当时，，当时，，而，即有，依题意，，又，解得，则；当时，函数在上的取值集合为，不符合题意，当，函数在上单调递增，则，所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A22．已知定义在上的函数满足，若函数（）在上的值域与函数的值域相同，则=（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】先构造函数方程组求出，再求出的值域，得的值域，得，即可求解.【详解】因为，所以.又①，②，由①②得，，，故函数的值域为，函数的值域也是，因为即，函数（）在上单调递减，所以，即，所以.故选：B.23．已知函数的定义域与值域都为，则实数的值为【答案】【分析】利用二次函数的定义域即为满足条件的解集，即可判断开口方向和二次函数的零点，从而得到参数的两个关系式，再利用值域中的最大值，即为二次函数的最大值开方，则再得到一个相等关系，从而利用消元法，即可解得参数.【详解】由于的值域为，所以，的定义域为，则方程的两根为，所以，则抛物线的对称轴为，24．若函数的定义域与值域都是，则实数．【答案】5【分析】由题意得，解方程组可得的值.【详解】函数的对称轴方程为，所以函数在上为减函数，又函数在上的值域也为，则，即，由①得：，代入②得：，解得：（舍），．把代入得：．考点六求函数的解析式25．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由配凑法结合基本不等式求出的范围即可得解.【详解】因为，且，或，当且仅当即时取等.所以.故选：D.26.函数满足，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用换元法将设为，反求出，再代入原式，并将改为即得.【解析】设，则，即，代入，可得，故.故选：A.27.已知是二次函数，且，若，则的解析式为.【答案】【分析】设，结合已知条件利用待定系数法即可求解.【解析】由已知设，因为，所以，因为，，所以，解得，所以.28.已知函数满足，则.【答案】【解析】由①，得②，由①②得，则，令，则，所以，故.29.已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为.【答案】【分析】根据，令，得，依次可得，，，累加可得函数解析式.【解析】函数的定义域为，且满足，取，得，所以，，，，以上各式相加得．30．设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数．【答案】【分析】运用赋值法可求解.【详解】由①，在①中，令可得②，在②中，令，则③，由②可得，④，由①可得，⑤，由②可得，⑥，则由③④⑤⑥可得，，即，因，则.31．函数满足：对任意、，都有，则所有满足条件的函数的解析式为或．【答案】,【分析】令可得出，令，可求出的值，代入等式可求得函数的解析式.【详解】令可得，再令，可得，解得或，若，可得，可得，若，可得，可得.经检验，、均满足题意.32.（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式；（2）已知，求函数的解析式.【分析】（1）首先设出函数的解析式，然后根据求出参数，进而得到函数的解析式.（2）将函数进行化简，然后利用换元法求出函数的解析式.【详解】（1）因为函数是一次函数，则设.由于，所以所以.化简得：这是一个恒等式，所以，且.所以.所以函数的解析式为.（2），令，.所以.所以函数的解析式为.考点七分段函数问题33.设函数，使得的a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分和两种情况解不等式即可得解.【详解】当时，，即显然恒成立，所以；当时，，解得；综上，的取值范围是．故选：A.34．已知函数则的最小值是（

）A． B． C．0 D．1【答案】C【分析】数形结合，画出函数的图象即可求解.【详解】根据题意，画出函数的图象如下：

由图可知，的最小值是.故选：C35．已知函数，若，则（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】B【分析】根据分段函数的解析式结合已知条件，求得参数，再求函数值即可.【详解】由，是减函数，可知当时，，所以，则，由，得，解得，所以.故选：B.36．设函数，使得的a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分和两种情况解不等式即可得解.【详解】当时，，即显然恒成立，所以；当时，，解得；综上，的取值范围是．故选：A.37．(多选)设若实数且满足，则（

）A． B．C． D．的取值范围是【答案】CD【分析】由题意知直线与的图象有三个交点，且，根据图象可得并求出与的关系，整理可得，结合二次函数分析求解即得正确选项.【详解】∵，且，∴直线与的图象有三个交点，作出的图象，如图所示，由图可知且解得则因为，则，所以所以的取值范围是．故选：CD.38.(多选)已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（

）A． B．若，则的值是或C．的值域为 D．的解集为【答案】AC【分析】对A：由分段函数的性质代入计算即可得；对B：分及进行计算即可得；对C：分别求出当时，时，的取值范围即可得；对D：分及解不等式即可得.【详解】对A：因为，则，故A正确；对B：当时，，解得（舍去），当时，，解得或（舍去），故B错误；对C：当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故C正确；对D：当时，，解得，当时，，解得，所以的解集为；故D错误故选：AC.39．已知函数，若，则实数的值为．【答案】【分析】按照从内到外的顺序求，并根据的取值分类讨论函数的解析式，求解即得.【详解】①当，即时，，由解得（舍），②当，即时，，（Ⅰ）若，即时，有，解得；（Ⅱ）若时，即时，有方程无解.综上，．40．已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是．【答案】【分析】根据函数的图像特征，然后根据知道的图像是图像左移个单位长度，要使恒成立，通过分析图像找到相切时的情况，从而确定的取值范围.【详解】易知函数图象如图所示，因为，所以函数图象即为函数图象左移个单位长度，

当曲线与直线相切时，令，即，则，解得：，故，恒成立时，由图像可知，.考点八函数的求值问题41．已知函数满足，则（

）．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】分别令联立方程组，求得答案.【详解】因为，分别令，联立得，解得，故选：C.42．若函数，满足，且，则（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】应用赋值法及方程组法计算求解.【详解】令可得，所以；令可得；令可得，所以，所以，令可得，所以，所以.故选：D.43．已知定义在上的函数满足，对任意，有，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由赋值法可令，求得，再令，求得的解析式，运用数列的裂项相消法求和，计算可得所求和.【详解】在中，令，得；令，得，所以．所以，所以.故选：A．44．已知函数的定义域均为，且．若的图象关于直线对称，，则（

）附注：．A．－21 B．－22 C．－23 D．－24【答案】D【分析】方法一：根据的图象关于直线对称得到，然后通过替换得到为周期为4的周期函数，最后通过赋值和周期性求函数值即可；方法二：根据，，证明是以4为周期的周期函数，，通过赋值和周期性求函数值即可.【详解】方法一：因为的图象关于直线对称，所以．由，得，所以．因为，所以．由，得，于是，即是以4为周期的周期函数．由和，得，故．由和，得，故．由，得－2，故．由，得，故．于是．方法二：因为的图象关于直线对称，所以，则．因为①，所以，则．因为，所以②，则．因此，即是以4为周期的周期函数．由①②得．于是，故选：D.45．函数的定义域为，若，则（

）A．－2 B．－4 C．2 D．4【答案】C【分析】方法一，利用赋值法来证明函数的周期性和特殊函数值，即可判断，方法二，是利用特例函数来满足条件，即可得结论.【详解】方法一：利用赋值法，令，则，所以．令，，则，所以．令，则．令，则．所以，若恒成立，则与题设条件矛盾，所以不恒为0，所以，所以，所以，所以4为的一个周期，所以．令，得，又，所以，，所以，故选：C．方法二：举满足条件的特例函数，即令，检验得，且，符合题意，所以，故选：C．46．已知函数（为实常数的图象经过三点，，，则的值等于（

）A．0 B．1 C． D．25【答案】D【分析】根据点的特征得到必有零点2，3，4．设，推出，并得到，，求出的值.【详解】由已知三点，，的特征，将的图象下移，则必有零点2，3，4．设，则，所以，，，所以.故选：D．47．设函数的定义域为，若，则．【答案】【分析】令得，再令得，最后令，利用赋值法即可求解.【详解】令，则，即，可得；令，则，即，可得；令，可得.48．已知函数，且，则【答案】【分析】根据条件，令，得到，再通过累加法，即可求解.【详解】令，得到，所以，，，，，累加得到，即，49．已知对于任意实数，，函数满足，且，则．【答案】【分析】利用赋值法，分别令；；得到；；；再利用累加法得到即可求解.【详解】对于，令，得，解得，令，得，又，解得，令，得，即，所以，，，，故，所以．50．已知定义在R上的函数满足且，则．【答案】【分析】令，可得，由累加法求出，即可求出.【详解】令，所以，所以，即，，……，所以，以上式子相加可得：，所以，所以.51．已知函数的定义域为R，，，则，．【答案】0【分析】通过赋值，，可求第一空，通过赋值，得到，进而得到，确定周期，进而可求解.【详解】令，，得，∵，∴．令，得，∴（*），，∴，∴，∴是一个周期为6的周期函数，由（*），可得，，，，∴，考点九函数的图象问题52．函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数图象的对称变换和平移变换可得结果.【详解】先将函数的图象关于原点对称，可得出函数的图象，如下图所示：再把所得函数图象向左平移个单位长度，即可得出图②所示图象，故图②所示图象对应的函数为.故选：D.53．下列可以作为方程的图象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】借助排除法，得到，不可能同时成立，即可排除A，B，C.【详解】当时，，若，则，即，不符合，故，不可能同时成立，故A，B，C，选项错误.故选：D54．将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图象，即可判断平移之后的函数图象.【详解】，可得函数的大致图象如图所示，将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象.故选：C.55．中，，正方形的顶点分别在边上．的长度为，与正方形重叠部分的面积为，则下列图象中能表示与之间的函数关系的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据条件，直接求出与之间的函数关系式，根据关系式，利用基本函数图象，结合各个选项，即可求解.【详解】易知当时，，当时，交于，交于，如图，因为，则，在中，，所以为等腰直角三角形，所以，得到，所以，故所以，故选：C.56．某市一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】根据的图象确定的变化趋势，确定正确选项．【详解】由题意，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大，从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变，是常数，该常数为2，只有D满足，故选：D．57.（多选）已知函数的定义域是，且满足，作的图象关于轴的对称图象，并右移一个单位，再将横坐标变为原来的得到函数的图象，下列说法正确的有（

）A． B．与有相同的值域C．的最小正周期是6 D．【答案】ABD【分析】由函数图像的变换即可判断AB，由函数周期性的定义即可判断C，结合函数周期的性质代入计算，即可判断D.【详解】由图象的变换知A项正确；因为图象变换中没有上下平移，所以值域不变，可知B项正确；由得①，在中用代替得②，由①②得，所以3是的周期，C项错误，由知的周期，则，在中令得，所以，D项正确.故选：ABD考点十函数的新定义问题58．函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据取整函数的定义求函数的值域.【详解】设，其中，为的小数部分，则，则，所以函数的值域为：.故选：A59．设已知函数，则（

）A． B．0 C．6 D．9【答案】D【分析】依题意得，再根据分段函数求值即可.【详解】令，解得，则因此8，故．故选：D.60．任意作一条直线分别与定义域均为的函数，，的图象交于点A，B，C，若点B始终为线段AC的中点，则称，是关于的“对称函数”．已知定义域为的函数，，且，是关于的“对称函数”．若，，成立，则r的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对称函数定义，确定的表达式；再通过给定条件分析的取值范围.【详解】因为，是关于的“对称函数”，所以，定义域为，.令，，在时取得最大值，在或时取得最小值.则，，，又，所以，那么.由在上单调递增，可得的值域为，因为，，成立，所以.则，解得.故选：D．61．定义域为的函数同时满足条件：①常数满足，区间，②使在上的值域为，那么我们把叫做上的“级矩形”函数．函数是上的“级矩形”函数，则满足条件的常数对共有（

）A．对 B．对 C．对 D．对【答案】C【分析】利用函数是上的单调递增函数，结合题设条件可得，进而求得满足条件的常数对.【详解】由题意，函数是上的“1级矩阵”函数，即满足条件①常数满足，区间，②使在上的值域为，因为函数是上的单调递增函数，所以，解得或，或又，所以满足条件的常数对为，，.故选：C.62．已知函数（），若存在，使，则称点是函数的一个“H点”.则函数“H点”的个数为（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】C【分析】根据“H点”的特征，利用数形结合判断存在的个数.【详解】由，若是函数的一个“H点”，则其关于原点的对称点为，即，所以“H点”关于原点的对称点也在函数图像上，所以要判断函数“H点”的个数，需要知道函数图像上关于原点的对称点有多少个，作函数在上的部分图像关于原点对称的图像，如图所示，与在上的部分图像有两个交点，所以函数“H点”的个数为4.故选：C63．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，，已知函数，则下列选项中，正确的是（

）A．区间，上的值域为，B．区间，上的值域为，C．区间，上的值域为，D．区间，上的值域为【答案】A【分析】根据高斯函数的定义，可得函数的图象，即可的解.【详解】由高斯函数的定义可得：当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示，由图象可知，在，的值域也为，.故选：A64.（多选）Riemann函数是近代分析学中重要的研究对象，在微积分中有着广泛的应用，已知Riemann函数的定义为则（

）A．存在无数个使 B．最大值与最小值之和为C． D．【答案】ABD【分析】根据函数定义，对各选项进行逐一判断：选项A，通过设为上的有理数，表示为，则.令，得出（，因，且互质），所以时，存在无数个满足；选项B，根据选项A推导，当最小时，即时取最大值，根据定义最小值为0；选项C：举反例证明即可；选项D：根据定义设集合A，B，分别推导证明结论.【详解】设为上的有理数，表示为，则.令，即，得.因此（，因，且互质）.所以时，存在，使得，有无数个，A正确；最大值：当最小时，即，对应，为最大值.最小值：根据定义，0，1或上的无理数时，；有理数中时，，故最小值为0，故最大值与最小值之和为，B正确；取，，则，，故，不满足题意，C错误；设集合，，①若x，，令，，则，当与互质时，；当与不互质时，，故；②若x，y中至少有一个属于B，则，而，故，综上可知，D正确．故选：ABD.65．世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过的最大整数，例如．(1)若，求的值；(2)已知，求函数的值域．【分析】（1）根据题意，由取整函数定义即可得到的值；（2）将变形，分析其取值范围，结合取整函数定义，即可得到结果．【详解】（1）由取整函数定义可知，所以．故的值为0．（2）设，则．当时，，；当时，．所以，所以，故函数的值域为．66．定义：对于定义在区间上的函数和正数，若存在正数，使不等式对任意恒成立，则称函数在区间上满足阶李普希兹条件．(1)判断函数在上是否满足1阶李普希兹条件，并说明理由；(2)证明函数在区间上满足阶李普希兹条件，并求出的取值范围．【分析】（1）结合题意根据1阶李普希兹条件的含义即可求解；（2）结合已知条件以及题干定义即可求解.【详解】（1）满足1阶李普希兹条件，不满足1阶李普希兹条件．理由如下：对于，，只需，所以存在正数，使对任意恒成立，所以满足1阶李普希兹条件．对于，，不妨设，则，，即不存在正数，使不等式对任意恒成立，所以不满足1阶李普希兹条件．（2）不妨设，则时，，所以，故时，对任意，均有故函数在区间上满足阶李普希兹条件，的取值范围为．67．若函数满足：对于任意是一个三角形的三边长，都有，，也是某个三角形的三边长，则称为“保三角形函数”.(1)判断，是否为“保三角形函数”，并说明理由；(2)如果是定义在上的周期函数，且值域为，判断是否为“保三角形函数”，并进行证明.【分析】（1）给定的大小关系可得的大小关系，即可判断；取特值验证可判断；（2）取使得，取，取验证即可得证.【详解】（1）为“保三角形函数”，不是“保三角形函数”，理由如下：不妨设，则，即因为是一个三角形的三边长，所以，所以，即，又，所以，，也是某个三角形的三边长，所以为“保三角形函数”.易知是一个三角形的三边长，因为，且，所以不满足定义，即不是“保三角形函数”.（2）不是“保三角形函数”，证明如下：因为函数的值域为，所以不是常数函数，所以函数的最小正周期，存在使得，取正整数，则，易知可以是一个三角形的三边长，因为，，所以不是任何三角形的三边，即不是“保三角形函数”.1.（2024·湖南邵阳高一数学竞赛）若函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题可列出，可求出.【详解】的定义域是，在中，，解得，故的定义域为.故选：C.2．(2023·“枫叶新希望杯”高一数学竞赛)若函数的图象如图所示，则（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由图象，利用函数的定义域以及特殊点进行求解即可．【详解】由图象可知，，分母必定可以分解为，在时有，，，故选：D．3．（2024·全国第四届章鱼杯联赛）若三次函数满足，则（

）A．38 B．171 C．460 D．965【答案】B【分析】设，求导，结合题意列式求，即可得结果.【详解】设，则，由题意可得：，解得，则，所以.故选：B.4．(2024·“枫叶新希望杯”高二数学竞赛)设集合，，函数，若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】时，根据解析式求出，再由求解不等式即可.【详解】当时，则，由，解得，又，所以.故选：C5．(2024·“枫叶新希望杯”高一数学竞赛)已知，则的值为（）.A．16 B．18 C．32 D．24【答案】A【详解】因为，所以原式.故选：A.6．（2023·山东师大附中数学竞赛选拨赛）已知二次函数，满足：对任意实数，都有，且当时，有成立，又，则为（）A．1 B． C．2 D．0【答案】B【分析】对恒成立问题，可以任取自变量的值，式子均成立．围绕已知条件，通过，得到方程组求解即可．【详解】由条件对任意实数，都有，知成立当时，有成立，成立，，①,②由①②可得，.故选：B．7．（2024·湖南邵阳高一竞赛）定义在R上的函数满足，且当时，，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围为（

）.A． B．C． D．【答案】D【详解】当时，，可得在，上单调递减，在上单调递增，在，上的值域为，，在上的值域为，，在上的值域为，，，，在上的值域为，，当时，为增函数，在，上的值域为，，，解得；当时，为减函数，在，上的值域为，，，解得；当时，为常数函数，值域为，不符合题意；综上，的范围是或．故选：．【方法总结】本题考查了分段函数的值域计算，集合的包含关系，对于不