第九章 99范围、最值、定点、定值问题-学生版

第1课时

进门测

题型一范围问题

例1已知椭圆£+卓=1（心心＞0）的左焦点为尸（一。,0）,离心率为坐点”在椭圆上且位于第一象

限，直线尸M被圆/+）,2=*截得的线段的长为C,尸M=半.

•W*

（1）求直线的斜率；

（2）求椭圆的方程；

（3）设动点P在椭圆上，若直线尸尸的斜率大于m，求直线OP（。为原点）的斜率的取值范围.

跟踪训练1已知椭圆c5+卓=1（9》0）与双曲线9―J1的离心率互为倒数，且更线工一）,一2

=0经过椭圆的右顶点.

（1）求椭圆C的标准方程:

（2）设不过原点0的直线与椭圆C交于M,N两点,且直线。M,WMON的斜率依次成等比数列,

求△OMN面积的取值范围.

题型二最值问题

命题点1利用三角函数有界性求最值

例2过抛物线），2=4式的焦点厂的直线交抛物线J",B两点,点O是坐标原点，则|AFH阴的最小

值是（）

A.2B.小C.4D.2吸

命题点2数形结合利用几何性质求最值

例3在平面直角坐标系工。），中，P为双曲线？一），2=1右支上的一个动点.若点尸到直线工—），+1

=0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为.

命题点3转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值

例4已知椭圆C：的长轴长为％焦距为2啦.

(1)求椭圆C的方程：

(2)过动点M(0,,〃)(机>0)的直线交x轴于点M交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的

中点.过点P作入轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.

k'

①设直线PM、QM的斜率分别为八公，证明丁为定值；

②求直线的斜率的最小值.

跟踪训练2已知圆。一/2+0+1一=)2=/(/>0)过点尸(0」)，圆心M的轨迹为C.

(1)求轨迹C的方程：

(2)设P为直线/：工一)，-2=0上的点，过点P作曲线。的两条切线以，PB,当点PU)，次)为直线/

上的定点时，求直线AB的方程；

(3)当点P在直线/上移动时，求H外|/沙1的最小值.

作业检查

无

第2课时

⑥)阶段训练

题型一定点问题

92

例1已知椭圆夕+百=1(*0,">0)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直

线/与x轴正半轴和，，轴分别交于点Q、P,与椭圆分别交于点M、N,各点均不重合且满足丽=&曲，

PN=k2NQ.

(I)求椭圆的标准方程；

(2)若&+/.2=-3,试证明：直线/过定点并求此定点.

跟踪训练1如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在X轴上，离心率e=乎，/是右焦点，A是右

顶点，3是椭圆上一点，轴，|^F]=2-

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线/：%=)+九是椭圆。的一条切线，点M(一，Lyi),点N(木,»)是切线/上两个点，证

明：当/,2变化时，以MN为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标.

题型二定值问题

例2椭圆有两顶点A(—1,0),3(1,0),过其焦点P(0,l)的直线/与椭圆交于C,。两点，并与x轴

交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.

(1)当|。。|=|75时，求直线/的方程;

(2)当点P异于A,B两点时，求证：0＞诙为定值.

跟踪训练2如图，在平面直角坐标系xO),中，点尸(；，0),直线/：点P在直线/上移动,

R是线段刊7与)，轴的交点，RQ上FP,PQA.I.

(1)求动点。的轨迹。的方程;

⑵设圆M过A(l,0),且圆心M在曲线C上，75是圆M在)轴上截得的弦，当"运动时，弦长|73|

是否为定值？请说明理由.

题型三探索性问题

例3如图，椭圆E：3+3=15>〃>0)的离心率是坐，点尸(0,1)在短轴CQ上，且正•丽=一1.

(1)求椭圆E的方程;

(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A,B两点.是否存在常数九使得以.为+/说.两

为定值？若存在，求，的值；若不存在，请说明理由.

跟踪训练3已知41,2),仅；，—1)是抛物线产=〃文(〃>0)上的两个点，过点4，4引抛物线的两条

弦AE,BF.

(I)求实数4的值；

(2)若直线AE与8尸的斜率互为相反数，且A,8两点在直线E广的两侧，直线的斜率是否为定

值？若是，求出该定值，若不是，说明理由.

典例椭圆C：/+忘=13乂>0)的左，右焦点分别是八，F2,离心率为坐，过F|且垂直于x轴的

直线被椭圆C截得的线段长为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点尸是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PQ,PF?,设NF/F2的角平分线PM交C的长轴

于点MQ儿0),求m的取值范H；

(3)在(2)的条件下，过点。作斜率为攵的直线/,使得/与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PQ、

PF2的斜率分别为明、用，若AW0,证明£-+十为定值，并求出这个定值.

KK\KK2

第3课时

⑥)阶段重难点梳理

I.直线与圆锥曲线的位置关系的判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于M或y)的一元方程：*+/u-+c=O(或缈2

+by+c=O).

(1)若可考虑一元二次方程的判别式有

①/>0。直线与圆锥曲线相交；

②/=0。直线与圆锥曲线相切;

③/<0=直线与圆锥曲线相离.

(2)若〃=0,厉4),即得到一个一元一次方程，则直线/与圆锥曲线E相交，且只有一个交点,

①若E为双曲线，则直线/与双曲线的渐近线的位置关系是平行;

②若石为抛物线，则直线/与抛物线的对称轴的位置.关系是平行或重合.

2.圆锥曲线的弦长

设斜率为曲女W0)的直线/与圆锥曲线。相交于A(x”M),8(应，”)两点，则|A8|="1+RX2—MI=

寸+力儿一训.

【知识拓展】

过一点的直线与圆锥曲线的位置关系

(I)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；

过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；

过椭圆内一点的直线与椭圆相交.

(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重

合的直线；

过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合

的直线；

过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.

(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐

近线平行的直线；

过双曲线上•点总有三条直线与双曲线有且只有•个交点：-条切线和两条与渐近线平行的直线：

过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线.

⑥）重点题型训练

I.设抛物线的准线与X轴交于点Q,若过点Q的直线/与抛物线有公共点，则直线/的斜率

的取值范围是（）

A.—2»1B.[—2,2]

C.[-1,1]D.[-4,4]

22

2.已知产为双曲线C：方一盘=1上的点，点M满足I。酎1=1,且。应./%=（）,则当时|取得最小值

时点P到双曲线C的渐近线的距离为（）

912

-

A.J7BJ.-zC.4D.5

22

3.已知尸”尸2分别是双曲线，一方=13>o,/>0）的左，右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF『

=8u|PFi|（«为实半轴K）,则比双曲线的离心率e的取值范围是（）

A.（1,+8）B.（2,3]

C.（1,3JD.（1,2J

t-"v"'—>—>

4.若点。和点F分别为椭圆$+}=1的中点和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则02FP的最

小值为.

5.已知M是抛物线f=4），上一点，少为其焦点，点A在圆C：（x+l）2+Cy-5）2=l±.,则|M4|+|M/q

的最小值是.

fV2X2V2

6.已知椭圆G：万一）=1与双曲线C2：蓝+点=1有相同的焦点，则椭圆C,的离心率的的取值

范围为

7.已知抛物线＞2=4心焦点为凡过点(2.0)且斜率为正数的直线交抛物线于A,B两点,巨荷.丽=

-II.

⑴求直线/W的方程;

(2)设点C是抛物线A3(不含人，8两点)上的动点，求△人BC面积的最大值.

8.己知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(小,0).

(I)求双曲线C的方程;

(2)若直线：)，=公+皿20,川H0)与双曲线C交于不同的两点M,N,且线段MN的垂直平分线过

点40,-1),求实数〃1的取直范围.

9.已知椭圆G：力+齐=13>〃>0)的右顶点为4(1,0),过C的焦点且垂直长轴的弦长为1.

⑴求椭圆G的方程；

(2)设点P在抛物线G：y=f+WR)上，G在点P处的切线与G交于点M,N.当线段”的中点

与MN的中点的横坐标相等时，求力的最小值.

作业布置

I.已知抛物线』=4〉，的焦点为凡A,B是抛物线上的两个动点，月4/=71/8(2>0).过48两点

分别作抛物线的切线，设其交点为M.

(1)证明：?M48为定值:

(2)设△ABM的面积为S,求S的最小值.

2.椭圆E：?+*=l(a>〃>0)的离心率为坐点(小，的为椭圆上的一点.

(1)求椭圆E的标准方程；

⑵若斜率为人的直线/过点40,1)，且与椭圆E交于C,D两点,A为椭圆E的下顶点，求证：对于

任意的左,直线BC,的斜率之积为定值.

3.设直线/与抛物线％2=2,，交于A,B两点，与椭圆了+?=1交于C,。两点，直线04,OB,0C,

0ao为坐标原点)的斜率分另［为加息自，公.若Q4J_0B.

(1)是否存在实数E,满足南+A=7伏3+抬)，并说明理由;

(2)求△0CZ)面积的最大值.

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