瓜豆原理及最值教学设计

路径之“瓜豆原理”

贵阳市2019年中考：填空压轴

15.如图，在矩形ABCD中，AB=4,NDC4=30°,点尸是对角线AC上的一个

动点，连接。F,以。尸为斜边作NOFE=30°的直角三角形OEE使点E和点4

位于。尸两侧，点厂从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长

是一▲.

货阳市标答：

【分析】当尸与A点重合时和尸与。重合时，根据£的位置，可知E的运动路径是EE

的长；由已知条件"J以推导出△。££是直角三角形，且N£>E£=3O“，在孜△AO&44,

求出。£=3叵即可求解.

3

【解答】解：E的运动路径是EE的长；

•・・/W=4,ZDCA=30°,

.Rr-W3

3

当户与4点重合时,

在R/Z\A。&中，AD=^^-,N£>4£=30°,ZADF=60°,

3

・・.OE=&^,NCOE=30°,

3

当尸与C重合时，Z£DC=60°,

AZEDF=90°,NQ£E=30°,

在Rf△。月/?中，E/?=&巨：

3

故答案为生反.

3

瓜豆原理秒解:

F点为主动点,E点为从动点，D点为定点.在RADEF中,VDE:DF^l:2fF

点的运动轨迹为AC,七点的运动轨迹是以点D为位似中心，以!为位似比缩小

4x2

而来厂点的运动轨迹：点的运动轨迹那么的运动路径长

E=2:1石E

473

亍

“瓜豆原理”

知识必备

一、旋转及性质

1.旋转的定义：个图形绕点滑定方向旋转定的角度；

2旋转三要素：①旋转中心（绕哪个点转）；②旋转方向（顺时针或通时针）；③旋转

角度；

3.旋转的性质：旋转不改变图形的大小与形状，只改变图形的位置即旋转州后图

形全等;②对应点与旋转中心所连线段间的夹角等于旋转角。

二、位似及性质

1.位似的定义：若两个图形尸和F1的点之间可以建立一一对应关系，并且满足；

①每组对应点的连线所在的直线都经过同一点0;②每组对应点都在点0的同侧

或异侧:③对每组对应点A和4「有空=%々为常数）.则称图形尸和尸位似，火

0A

叫位似比；

2.位似三要素：①位似中心（关于哪个点位似）；②位似方向（同侧或异侧）；③位

似比（等于相似比）；

3.位似的性质：成位似的两个图形必相似；

把一个儿何图形变换成与之位似的图形叫做位似变换；

利用位似变换可把个图形放大或缩小，若位似比大于1.测通过位似变换把原图

形放大；若位复比小于1,则通过位似变换把原图形缩小.

方法提炼

一、旋转作图

问题1：如图，在平面内有两点4、。.请将点3绕点4按顺时针方向旋转40°.

简析：如图所示，这里AB二AC.“共顶点，等线段”.

B

A

二、位似作图

问题2,如图，已知线段AB,请以点A为位似中心，工为位似比，在同侧将线段

3

简析：如图所示，这组

即共顶点，定比值线段”.

AB3

模型建立

（-）旋转变换

问题3：（1）如图，已知等腰其中点A为定点，根据施转作图的经验,

请你说说，点Q可以看作点尸经过怎样的变换得到？

（2）如图，若改为等边△APQ呢？

⑶如图，若改为任意等腰△APQ（其顶角为a）呢？

简析：（1）点。可以看作点P绕定点八按逆时针方向旋转90°而来:

反思：这里是“圆生圆”；

注意；点Q所在的轨迹圆圆心0'也是原来的圆心O绕定点A经过相应的旋转

而来；

总结：这些仅牵扯到“旋转变换”，不妨称。为主动点，。为从动点，根据旋转

不变性，从动点。的路径与主动点P的路径是全等图形，因而其路径长相等；

理解：“集体行动，步调一致”，即每一个点都是经过相同的变换得到，整个路

径自然也是经过是经过相同的交换而来，若是圆，其圆心亦然.

（二）位似变换

问题6：（1）如图，已知线段A6,其中A为定点，C为线段A8的中点，根据位似

作图的经验,请你说说：点C可以看作点B经过怎样的变换得到？

⑵如图,若改为AB=3AC呢？

⑶如图，若改为C为直线AB上任意一点.且空=%々为常数）呢？

AB

简析：（1）点。可以看作点B以定点A为位似中心，以L为位似比同侧缩小而来;

2

⑵点。可以看作点B以定点A为位似中心，以，为位似比同侧缩小面来；

3

⑶点。可以看作点B以定点4为位似中心，以k为位似比放缩而来.

问题7：在问题6中，若点B在条定直线/上运动，其他条件不变，如图142-20

至图14-2-22所示，请问：点C的运动路径是什么？它可以看作点8的路径如何

而来？

B

B

B

简析：每个点。都可以看作机应的点8以定点A为位似中心，以相应的位似比

放缩而来，因此点C的路径当然也是点8的路径（即直线/）以定点A为位很中

心，以相应的位似比放缩而来,如图M2-53电图14-2-25所示.

这里出现“共顶点，定比值线段”结构，反过来，可以用位似的眼光来看问题,

即点C的路径由点B的路径经过相应的位似变换而来，“直线依然生直线”；

值得一提的是，因为两点确定一条直我亲直线”.我只要作两个（特殊）点的位

似变接即可.

问题：在问题7中，若将“定直线/“改为定。。”，其他条件不变，结果如何？

简析：同理，点C的路径可以由点8所在的。O以定点A为位似中心，以相应的

位比放缩而来，如图128至14-228所示，

Of

A

这里依然是“圆生圆”，且这两个圆的相似比（即半径比）等于位似比;

注意：”集体行动，步调一致”，

（三）旋转位似变换

问题9（1）如图，己知等腰RfAMC,其中=90°,A为定点、,根据旋转作图以

及位似作图的经验，请你说说：点C可以看作点B经过怎样的变换得到？

（2）如图，若改为等腰△ABC,其中N8=120°呢？

⑶如图，若改为△A8C,其中NA二a为常数，且丝=攵为常数呢？

AB

ACi—

简析：（1）由题知NA=45°且H=故点C•可以看作点8经过两次变换得到，

AB

即先绕着定点A逆时针转45°,再以定点4为位似中心，以血为位似比放大而

来；

⑵同理，由NA=30°且=可知点C可以看作点B先绕着定点4逆时针

AB

旋转30°,再以定点A为位中心，以6为位似比放大而来；

（3）更一般地，点C可以看作点B先绕着定点人逆时针旋转角a.再以定点A为

位似中心，以k为位似比放缩而来.

问题10;在问题9中，若点B在一条定直线/上运动，其他条件不变，如图

142-382至图142-34所示，请问：点C的运动路径是什么？它可以看作点

B的路径如何而来？

每一个点C都可以看传相应的点B光旋转后位似而来，因此点。的路径当然是

点8的路径（即直线/）先旋转后位似而来.

,4

这里出现“共顶点，定夹角，定比值线段”结构，反过来，可以用旋转加位似的

眼光看问题，即点C的路径由点B的路强经过相应的旋转位仅变换而来，“直

践还是生直线”.

问题n：在问题10中.若将“定直线/”改为“改为定。。”，其他条件不变,

结果如何？

这里还是“圆生圆”，且这两个圆的相似比（即半径比）等于位似比；

注意：“集体行动，步调一致”点c所在的轨迹圆圆心o,也是原来的圆心。先

旋转后位似而来；

总结：这里既牵扯“旋转变换”，又涉及“位似变换”，故称"旋转位似变换”；

根据旋转不变性以及位似的性质，从动点C的路径与主动点B的路径依然是相

似图形，且其相似比等于位似比.

具体案例

⑴如图.已知AB=2.点。是等腰Ri△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右

下方作等边△3DE,当点。由点4运动到点。时，求点E运动的路径长；

⑵如图.已知A8=2.点Q是等腰MAABC斜边AC上一动点，以BD为斜边向右

下方作等腰RSDE,当点D由点A运动到点C时、求点石运动的路径长；

⑶如图.已知AB=2.点。是等腰即AABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右

下方作以。为直角顶点的等腰/^△8。七，当点。由点A运动到点。时，求点E

运动的路径长；

⑷如图.已知A8=2.点。是等腰心△ABC斜边AC上一动点，以8。为一边向右

下方作等腰即力E,其顶角NBDE=120°,当点D由点A运动到点C时，求

点七运动的路径长.

简析：（1）点B为完点，从动点E以看作主动点。绕点B顺时针60°而来，故

点七运动的路径长等于点。运动的路径长,即为2近；

（2）点B为定点，从动点E可以看作主动点D先绕点8顺时针旋转45°再以点B

1

为位似中心，以为位似比缩小而来，故点£运动的路径长等于点。运动的路

1

径长的即为2；

⑶点B为定点，从动点£可以看作主动点D先绕点8顺时针旋转45°再以点B

为位似中心，以也为位似比缩小而来，故点E运动的路径长等于点。运动的路

径长的血倍，即为4；

⑷同理，点E运动的路径长等于点。运动路径长的百倍，即为2遍.

总结反忠

；图形才换（平移、翻折、旋转及位似等）的本质是点变换；反过来，点变换也可

以看作该点所在图形的变换，这是整体与局部之间辩证统一的关系；

2.分析问题时，要做到眼中有“点”：先找定点，再确定从动点如何随主动点的

运动而运动，即主动点关于定点经过怎样的变换可以得到从动点；

3.“直线（段）生直线（段）"、“圆（弧）生圆（弧”’、"折线（段）生折（段）”“抛

物线生地物线”、“双曲线生双曲线”等，真可谓“种瓜得瓜，种豆得豆”，不

妨称为“瓜豆原理”；

4.“瓜豆原理”的本质是作图原理的逆过程；

5.特别强调：使用“瓜豆原理”的前提是必须存在定点来充当旋转（位似）中心，

使主动点经过相应的变换可以得到从动点，即“无定点，不瓜豆”.

实战

（一）求路径长

例1（2016年湖北武汉:如图13-1,在等腰RfZ\/WC中,4。二802/，点P在以

斜边AB为直径的半圆上,M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时,

则点M运动的路径长是（）

4.后乃B.兀C.2A/2D.2

简析:C为定点，点M随着点P的运动而运动'由”是PC的中点'可得罟=}

用位似变换的眼光来看,点M可以看作点P以定点C为位似中心，以工为位似

2

比缩小面来，故点M运动的路径也是点P运动的路径相应而来，即点M的路径

长等于点P路径长的工，因此点M运动的路径长是乃,选B.

2

例2（2013年浙江湖州）如图14-3-2,已知点4是第一象限内横坐标为26的一个

定点,AN_Lx轴于点M交直线y=-x于点N.若点P是线段ON上y=-x的一人动

点，N4P8=30°,R4J_P4点。在线段ON上运动时，A点不变,8点随之运动.

求当点尸从点。运动到点N时•，点8运动的路径长.

简析：A为定点，点8随着点尸的运动而运动，由题知NPAB二90。，且四二且

PA3

用旋转位似变换的眼光来看，点B可以看作点P先绕定点A逆时针旋转90°,

再以定点A为位似中心，以乎为位似比缩小而来，故点3运动的路径也是由点

产运动的路径相应而来，即点B的路径长等于点P路径长的号，因此点B运动

的路径长是2拒.

这里属“旋转位似变换”，其常规解法是利用夹角定位法说明“直线型”路经.

例3如图，已知扇形八08中.04=3.,NAOB=120。.。是AB上的动点，以BC

为边向右上方作正方形BCDE.当点C从点A移动至点B时,求点D经过的路径

长.

BB

简析：如图.连接8D48CQ为等腰直角三角形，则/。8。=45°.且殷=拒；

BC

B为定点.点。随着点。的运动而运动；用旋转位似变换的眼光来看，点。可以

看作点C光绕定点B顺时针旋转45°,再以定点B为位似中心，以后为位似

比放大而来，故点。运动的路径也是由点。运动的路径相应而来，即点。的路

径长等于点C路径长的V2倍，因此点D经过的路径长是2五兀

例4如图，已知菱形ABCQ边长为6,E是8C的口点,AE、8。相交于点尸，当N

人3C从90°逐步减少到30°的过程中，求点尸经过的路径长.

简析：易证△BPEWADPA,则旦="=’，故旦」，其中E为定点，点P随

APDA2EA3

着点A的运动而运动；同上，点P经过的路径长等于点A经过路径长的1；

3

当NABC从900逐步减少到30°的过程中，点A的路径长为竺树二2上因此点

180

户经过路径长为”.

3

总结:使用“瓜豆原理”的关键是主动寻找“瓜豆三点”：定点、主动点从动点；

一般情况下，主、从动点比较简单，但定点的选择尤为重要，用常见图形变换的

眼光（如旋转、位似变奏等）看这三个点之间的关联，即主动点关于定点如何变换

可以得到从动点，那么其相应的路径也可以如此变换而来；

需要特别谨记的是“无定点，不瓜豆”，即若找不到一个定点充当主动点与从动

点之间的桥梁（旋转中心或位似中心等），一般情况下，“瓜豆”就成了“无源之

水、无木之木”，不瓦能再“生根发芽”了；

请记住，没有绝对的通法,所谓通法也仅仅是很大范围内适用的解法罢了；

因为旋转不改变图形的大小与形状,故不影响路径长;而位似变换影响路径长，且

从动点的路径长是主动点的路径长乘以相应的位似比；

“瓜豆原理”最强大之处就是秒杀相关路径长问题，只需锁定从动点、主动点与

定点之间连线段的比值即可；

下面再来看看“瓜豆原理”在其他方面的应用：

（二）求最值

例5（2017年江苏徐州）如图，已知二次函数），=，/一4的图像与x轴交于A、B

两点，与y轴交于点COC的半径为石，P为。C上一动点，连接若E为

PB的中点，连接OE,则OE的最大值为.

简析：由E为的中点，可得强二LB为定点，P为主动点,E为从动点；

BP2

从动点上可以看作主动点P以定点B为位似中心以1为位似比缩小而来，故从

2

动点E的路径也是主动点P的路径（即。C）以定点B为位似中心，以■!■为位似比

2

缩小而来；特别是，圆心也是如此而来.即连接BC.取其中点M即为从动点E的

轨迹圆圆心,且其半径ME为且，因此。石的最大值为OM+ME=BC+ME二"叵.

22

“瓜豆原理”可以秒杀相关的路径长问题，但若涉及最值问题，则必须将目标动

点的路径作出来，然后转化为“点圆距离”或“点线距离”等问题；

2

例6如图，△ABC是等边三角形，48=3,E在4c上且AE=-AC,。是直线

3

BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°,得到线段EF,当点。运动时,

则线段AF的最小值是.

简析：尸点运动轨迹为直线/（任取2动点。可得）点A到直线/的距离为A尸

最小值.在心△4£/,/4E/为30°,:・AI=1.•:Rt/\EFHqRl/\DEG,：.EG=HF二

且，线段AF的最小值为A/与"E共线时，即1+3.

22

例7如图，在等边△4BC中,A8=2,点。是以A为圆心，半径为1的圆上一动点,

连接CD,E为CO的中点.连接BE,则BE的最大值与最小值之和为.

ni

简析1：如图，取AC的中点F,连接ERBF、AD,易得BF=~AB=6EF=一

22

AO二L在中，有BF-EFWBEWBF+EF,即--&BEW6+;当且

222

仅当8、E、尸三点共线时取等，故8E的最小值为百-工，最大值为百十工，

22

其和为26.

简析2：如图，由E为CO的中点，结合“瓜豆原理”可知点£的路径是一个圆,

且由04以定点C为位似中心以，为位似比缩小而来,其圆心亦然，即为图中的

OF,其中点尸为AC的中点，则8E的最值问题转化为“点圆距离”问题，下

法2采取了“瓜豆原理”，其实这2种方法的本质相同，第一种中点处理策略告

诉我们“是什么"，而“瓜豆法”告诉我们“为什么"，即为什么取AC的中点

总结：使用“瓜豆原理”解题的基本步聚为：

1.主动寻栈“瓜豆三点”：定点、主动点、从动点（“无定点，不及豆”）;

2.用常见的图形变换（如平移、翻折、旋转以及位似等眼光看待“瓜豆三点”，

即从动点可以看作主动点关于定点如何变换而来：

3.从动点的路径与主动点的路径之间的变换关系，完全等同点的变换关系；

4.若问路径长，可口算；若问最值，需作图，转化为“点圆距离”或“点线距离”

等.

类题巩固

1.如图，△ABC在第一象限，其面积为16.点P从点A出发，沿△ABC的边从

4-8-A运动一周，在点尸运动的同时，作点P关于原点0的对称点Q,再以

尸。为边作等边三角形APOM，点M在第二象限，求点M随点户运动所形成的

图形面积。

y

简析：点P为主动点，点M为从动点，点O为定点.连接MO,在用△MOP中，

OP:OMd,点P运动轨迹为三角形,从动点M运动轨迹也为三角形，且相似

比为1：百，面积比为1:3，，点M运动所形成的图形面积48.

2.如图，点A是双曲线），=±在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分

x

支于点跟人"为斜边作等腰8c，点C在第二象限，随着点人的运动，点C

的位置也不断的变化，但始终在某函数图像上运动.则