第3讲三角函数选择压轴题(原卷版+解析)

第3讲三角函数选择压轴题

一、单选题

1.（2021・湖北武汉市•高三月考）设函数/（x）=2sin（s+°）—l（G>0）,若对于任意实数8,/。）在

3

区间ry上至少有2个零点，至多有3个零点，则。的取值范围是（)

816),20)820

A.§5B.C.4rD.

3O/33)

2.（2021•安徽淮北市.高三一模（理））函数/（x）=2sinx+:+cos2x的最大值为（

A.1+V2c.2V2D.3

（2021•天津滨海新区•高三月考）将函数/（x）=cosx的图象先向右平移亮万个单位长度，再把所得函

3.

数图象的横坐标变为原来的;（3>0）倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在

上没有零点，则①的取值范围是（)

（22）

28

A.B.

3,9

2、

C.0,-uD.(0,1]

9j

cos—x-I,x>0,

4.（2021•中学生标准学术能力3月测试）已知函数/（%）=<、2)(a>0且awl),若函

-log</(-x),x<0,

数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（）.

A.C.D.

5.（2021.江苏徐州市滁州一中高三期末）已知函数外力在（0,1）恒有省（%）>2/（力,其口（（x）为

函数/（x）的导数，若。，〃为锐角三角形两个内角，则（）

A.sin123/?/(sina)>sin2af(sin/3)B.cos2y^/(sina)>sin2cr/(cos/3)

C.cos2J3f(cosa)>cos2a/(cos/?)D.sin2/7/(cosa)>sin2a/(cosft)

6.(2021.和平区•天津一中高三月考)已知函数/(公=§3。犬-百(：0$。X(0>0,工£1<)的图象与戈轴交

点的横坐标构成一个公差为£的等差数列，把函数/“)的图象沿x轴向左平移七个单位，横坐标伸长到

23

原来的2倍得到函数g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的结论，其中所有正确结论的序号是()

①函数g(x)是奇函数

②g。)的图象关于直线x=g对称

6

③g*)在一?，5上是增函数

④当XW一奈?时，函数g(x)的值域是［0,2］

A.①③B.③④C.②D.(2X3)©

(5崂।

(1sina+—I—1

7.(2021・辽宁高三二模)若tan—7=-，则(2)()

OO--------------=

sin(3兀-a)

1c1

A.—B.-3C.—D.3

33

8.(2021♦安徽皖北协作区3月联考(文))已知函数/(x)=sinryx(sinox+cos0x)-J(刃>0)在区间

(Q万)上恰有1个最大值点和1个最小值点，则公的取值范围是()

(19

(1U]B化口C.D.(12]

(8'8).(88<8,818句

9.(2021•内蒙古赤峰市漓三月考(文))已知函数/(x)=Asin(s+e)(A>0,囱的图像如图所

示，且/“)的图像关于点(事,。)对称，贝1］卜。|的最小值为()

10.（2021.北京海淀区.高三期中）函数①f（x）=sinx+cosx,@/（x）=sinxcosx,③

/a）=cos2fx+f〕-!中，周期是乃且为奇函数的所有函数的序号是（）

14/2

A.①②B.②C.③D.②③

11.（2021.内蒙古赤峰市•高三月考（理））已知。£（一工,—),cos(«+—)=—,则sin(2a+2)=()

22653

痴2瓜「4瓜D.一城

552525

(万、

12.（2021・河南九师联盟3月联考）已知函数/（x）=coSCDX-¥—(69>0),若/(x)在区间(乃,2乃)上

\、)

不存在零点，则①的取值范围是（）

A.1B.（。，碓二］

112」112」1_612」

fiiY/7nrii一

U26j112J112I：2_

（\』cos(fx)的图象可能为()

13.（2021.江西八校4月联考（文））函数f（x）=.r--

\X）、乙）

匕，

上单调，且在1°，?上存在

极值点，则①的取值范围是（）

77

A.?2B.C.5^D.

15.（2021•江西八校联考（文））在△A3。中，A8=3,BC=5,D为BC边上一点、,且满足

此时ZADC=型，则AC边长等于（

~BD=-DC,)

23

7

A.布B.-C.4D.晒

2

16.（2021・湖南衡阳市•高三一模）已知函数/（X）=COS5（s>0）,将/（x）的图像向右平移合个单

位得到函数g（x）的图像，点A，B,C是/（戈）与g（x）图像的连续相邻三个交点，若5c是钝角三

角形，则。的取值范围为（）

A.B.31女,十8

2°丁

17.（2021•天津南开区•高三一模）已知函数/（x）=J5sin办一cos的（口>0）满足/（西）一/,（/）=4,

且|不一天|的最小值为£，则/低的值为（

)

2\oJ

AV6-V2

c.GD.2

2

18.（2021.江西八校4月联考（理））在中，内角A、3、C所对的边分别为《J/?、。，若角A、C、

4成等差数列，角C的角平分线交A3于点。，且CD=5a=3b,则。的值为（）

7r4出

A.3B.-D.2百

23

19.（2021.华大新高考联盟）己知aA6c中，D、E分别是线段〃C、AC的中点，AD与BE交于息

0,且N8OC=90°,若BC=2,则△AbC周长的最大值为（)

A.2+2屈B.24-VioC.2+26D.2+4拓

?02l

20.（2021•江西八校4月联考（文））若Q=2021°"b=sin—7r,c=log20210.21,则（）

A.c<a<bB.b<a<c

C.b<c<aD.c<b<a

21.（2021.陕西下学期质检（文））如图，已知A,“分别是半径为2的圆C上的两点，且46=45。，

P为劣弧A8上一个异于A,〃的一点，过点尸分别作PM_LC4,PN工CB,垂足分别为M，N,则

A.B.J2C.2D.-

22

22.(2021.浙江新高考测评)如图，。是△ABC外一点，若NABC=90。，tanZDAB=4^3,

AB=5,AD=1,ZCDB=105°,则6=()

A.2\/2B.4C.4>/2D.8

23.（2021•山西临汾市•高三一模（理））已知〃x）=2sin（3Y+0）（G>0）同时满足以下条件:

①当/（々）|=4时，此一百最小值为微■；

若=a在[0,句有2个不同实根〃?，〃，且|〃?—〃|2?,则实数。的取值范围为（；

A.V3,>/3JB.[0,1）C.（1,>/3D.[―1,1）

7T

24.（2021•内蒙古高三月考（文））已知函数/"）=Asin（公r+e）（4>O,G>O,|0]<3）的图象如图所

示，且/（X）的图象关于点（与，0）对称，则|不|的最小值为（）

A.二B.2

36

C.—D,

36

小散

O万\/21Zx

「V7r

/

25.（2021.天津高三月考）设函数/（x）=4sin（0x+0）+l,A>O,a）>。，罔的最大值为2,其图象

相邻两个对称中心之间的距离为£,且fw的图象关于直线x二三对秘K，则下列判断正确的是（）

212

A函数⑴在卜镇力上单调递减

B.函数y=/。）的图象关于点（一看,0）对称

54

c.函数y=/3）的图象关于直线/=-五对称

D.要得到y=sin2x+l的图象，只需将/（外图象向右平移?个单位

26.（2021.华大新联盟）^2sinl700+tanl00=—,则实数2的值为（）

3

A.再B.正C.毡D.迪

,233

27.（2021.浙江温州市.高三二模）在△A5C中，角A8，。所对的边分别为。力,c,下列条件使得

△A6c无法唯一确定的是（）

A.fl=3,B=15°,C=25°B.q=3/=4,C=40。

C.〃=3,方=4,4=40。D.a=3,〃=4,8=40。

'71TC、\7T14

28.（2021•湖北d^一校三月联考）已知,且Sin。+:=-,则tan6=（）

（42）\4；5

412

A.7B.C.-D.

37T

29.（2021•浙江新高考测评）已知X，Z，是函数f（x）=tan（〃）x-e）（0>O,Ov0〈%）的两个零点,

且归一目的最小值为个，若将函数/（X）的图象向左平移2个单位长度后得到的图象关J•原点对称，则

9的最大值为（）

3兀K-7乃-冗

A•—B.-C.----D•—

4488

30.（2021.吉林延边朝鲜族自治州.高三月考（文））在3c中，。，b,。分别为内角A,B,。的对

bcosA

边，且一=2」-------,则4的大小为（）

cccos（A+C）

兀71

A.B.—

63cT

0,x=0

31.（2021.湖北八市三月联考）函数/（x）=・x-smx一八的部分图像大致为（）

1巾

32.（2021•广东汕头市•高三一模）知函数f（x）=sin蛆+彳（/>（））,则下述结论中正确的是（）

A.若/（力在［0,2司有且仅有4个零点，则“X）在［0,2句有且仅有2个极小值点

（2

B.若/⑴在［0,2句有且仅有4个零点，则/⑴在O..上单调递增

「15］9\

C.若/（工）在［0,2句有且仅有4个零点，则少的范是—

OO）

D.若/（X）的图象关于x=f对称，且在单调，则0的最大值为9

33.（2021・湖北荆门市•高三月考）已知函数/（x）=6+2sinx-sin2x,则下列结论正确的有（）

A.函数/*）的最小正周期为乃B,函数在卜匹司上有2个零点

C.函数/（用的图象关于对称D.函数/⑴的最小值为-6

34.（2021・湖南长沙市•长沙一中高三月考）将函数/（X）=COS（3；—5）（①>0）的图象向右平移个单位

长度后得到函数g（x）的图象，且g（0）=-1,则下列说法正确的是（）

A.g（x）为奇函数

（兀］八

B.2\--=0

C.当q=5时，g（力在（0,兀）上有4个极值点

D.若g（x）在（彳上单调递增，则①的最大值为5

35.（2021.山东烟台市.高三一模）已知函数/（x）=2卜inX+|cosM-l，则（）

jr

A./（X）在0,-上单调递增B.直线x=T是/（X）图象的一条对称轴

C.方程〃x）=l在［0,句上有三个实根D.的最小值为一1

36.（2021•江苏常州市•高三一模）函数/'（x）=sin2x+（J,则（）

A.函数》=/*）的图象可由函数旷=$皿2”的图象向右平移4个单位得到

4

B.函数y=/（x）的图象关于直线x=J轴对称

O

C.函数），=/«的图象关于点卜0）中心对称

兀

D.函数），=f+/（幻在0,—上为增函数

\O7

37.（2021•辽宁铁岭市•高三一模）已知函数/（x）=Asin（w+0）+8（4>0,3>0,0<0<0）的部分自

变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（）.

n7工

X

7~n

Tt3兀

a）x+（p0n2z

2~2

25

A.函数解析式为/（x）=3sin2x+—j+2

2TT

B.函数/（“图象的一条对称轴为x=-§

C.（一卷,。］是函数/（“图象的一个对称中心

I1z）

D.函数/（力的图象左平移彳个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数

14

38.（2021.江苏徐州市•高三二模）如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔4BC4为塔顶，8为塔底）的

高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D（B,C,。不在同一直线上），测得CO=S.测绘兴趣小组

利用测角仪可测得的角有：NACB,NACD,/BCD,NADB,ZADC/BDC,则根据下列各组中的测量数

据可计算出塔A3的高度的是（）

D

A.s&CB,/BCD,/BDCB.s,ZACB,/BCD,ZACD

C.s.^ACB.ZACD,ZADCD.s,ZACB,/BCD,/ADC

39.(2021•广东汕头市•高三一模)已知定义在R上的奇函数，满足/(2-x)+/(x)=O,当/<(0,1］时,

/(x)=-log2x，若函数F(x)=f(x)-tan(7rx),在区间［-1,〃?］上有10个零点，则m的取值可以是()

A.3.8B.3.9C.4D.4.1

40.（2021•山东德州市•高三一模）已知函数/（力=4311（5+0）（4＞0,刃＞0,冏＜兀）的部分图像如图

r\

所示，将函数/（X）的图像上所有点的横坐标变为原来的7,纵坐标不变，再将所得函数图像向右平移£

36

个单位长度，得到函数g（x）的图像，则下列关于函数g（x）的说法正确的是（）.

A.g（X）的最小正周期为?B.g（X）在区间上单调递增

c.g（x）的图像关于直线x=¥对称D.g（元）的图像关于点。0）成中心对称

T

41.(2021•山东济宁市.高三一模)将函数f(x)=sinlx2C的图象向左平移£个单位长度后得到函数

6

g(x)的图象，则下列说法正确的是()

A.g0=更

142

B.是函数g(x)图象的一个对称中心

C.函数g(x)在0,：上单调递增

D.函数g(x)在一?二上的值域是

o32'2

42.(2021・湖北武汉市.高三月考)如图是函数)，=8§(妙+夕)的部分图象，则cos(GX+Q)=()

C不

A.sin+B.cos-2x+—

FKI3J

C.cos2x+-D.sin|2x+—,

l6I3

43.(2021•湖北九师联盟2月联考)如图,函数/(x)=2sin(的十0)0>0,网<9的图象经过点

哈,()和借5K,。，则(

)

12

71

A.a)=1B.(p=—

6

27rD.若野二

c.函数/（x）的图象关于直线x=日-对称=—6，则sin2a-cos2«=-3

55

44.（2021•辽宁沈阳市•高三一模）已知函数/（x）=2sinxcos戈+2Gcos2x-g,则下列结论中正确的

是（）

A./（X）的图象是由y=2sin2X的图象向左移q•个单位得到的

B./（力在一9,0上单调递增

C.的对称中心的坐标是（当一卷,0（kwZ）

D.函数g（x）=〃x）一）在［0,10］内共有8个零点

45.（2021•江苏连云港市•高三开学考试）已知函数/（x）=sin"+/（口＞（））在［0,2万］有且仅有4个

I。）

零点，则（）.

jrIyI71

A./（X）在0,-单调递增B.0的取值范围是—

、，，1UD,

C./（力在（0,2外有2个极小值点D.“X）在（0,20有3个极大值点

46.（2021•江苏启东市•高三期末）已知函数/（x）=|sin2x|+cos2x,则（）

A./（X）=/（X+7T）B./（I）的最小值为一夜

C.的图象关于x=£对称D.在（9,彳|上单调递减

47.（2021.湖北襄阳市.高三期末）已知函数/（x）=sin2x-^-2sin（x+?cosX+?）（XER）,

现给出下列四个命题，其中正确的是（）

A.函数/（力的最小正周期为2万

B.函数/"）的最大值为石

jrjr

c.函数/（可在一7，^上单调递增

D.将函数/（五）的图象向左平移著个单位长度，得到的函数解析式为g（x）=6cos（2x）

48.（2021.湖北宜昌市.高三期末）已知函数/（x）=（sinx+cosx）?+2cos?x,则（）

A./*）的最小正周期是不

B.的图像可由函数g（x）二夜sin2x+2的图像向左平移三个单位而得到

8

71

C.工=一是/（公的一条对称釉

4

D./*）的一个对称中心是‘

第3讲三角函数选择压轴题

一、单选题

1.（2021・湖北武汉市•高三月考）设函数回，若对于任意实数拉回二|在

区间回上至少有2个零点，至多有3个零点，则尺的取值范围是（）

0

A.C.

【答案】B

【分析】I回~只需要研究弧~］的根的情况,借助于|国愀区的图像，根据交点情

况，列不等式组，解出工1的取值范围.

【解析】令|冈则因，令|叵］则区\则问题转化为|冈怖区间

卜.至少有两个，至少有三个，，使得回，求即取值范围.

作出|冈|和冈的图像，观察交点个数,

可知使得।因卜勺最短区间长度为2万,最长长度为

由题意列不等式的

叵

，解得：0——.故选B.

【点睛】研究产As加（s+o）+B的性质通常用换元法（令|国|）,转化为研究|冈|的图像和性质

较为方便.

0

2.（2021.安徽淮北市.高三一模（理））函数的最大值为（）

14/59

A.aB•回C.|冈+D.3

【答案】B

【分析】利用诱导公式及二倍角公式可得区，令因，将函数转

化为叵］,利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最值，即可得解;

S

0，令回

则I区卜

则I区

令旦,得I回或回，

当旧时，I回一［;因时叵二］,

・•・当因时，I区市得最大值,此时向I・•・回，故

选B.

【点睛】本题考查三角恒等变换及三角函数的性质的应用，解答的关键是利用导数研究函数的单调性从而

求出函数的最值.

3.（2021.天津滨海新区.高三月考）将函数|回—|的图象先向右平移网个单位长度,再把所得函

数图象的横坐标变为原来的因倍，纵坐标不变，得到函数|区！|的图象,若函数|区1|在

区上没有零点，则训取值范围是（）

15/59

【答案】A

【分析】根据图象变换求出血二|的解析式，利用周期缩小聊范围，再从反面求解可得结果.

【脩析】将函数而I的图象先向右平移S个单位长度，得到S的图象,

再把所得函数图象的横坐标变为原来的s倍，纵坐标不变，得到函数回

I.I;周期回

•・,两数旧1在回上没有零点，・•・区，得I臼三N回，得血

假设函数叵二I在回上有零点，

令I国I，得国，I回得国，I回叫

则凶，得回，向二

又后一・,.啊或区，

又函数画上有零点，且I回|,

・••区1H区，故选A,

【点睛】关键点点睛：求出函数百"1的解析式,利用间接法求解是解决本题的关键.

0

4.（2021•中学生标准学术能力3月测试）已知函数（1回回回»，若函

数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数。的取值范围是（）.

A0

B.

【答案】A

【分析】由于区----------------关于原点对称得函数为冈------，由题意可得,

16/59

叵卜旧|的图像在Fj一］的交点至少有3对,

结合函数图象，列出满足要求的不等

式，即可得出结果.

【解析】I冈I关于原点对称得函数为百

与叵I的图像在后三I的交点至少有3对，可知旦,如图所示,

当口三］时，|冈I，则0，故实数〃的取值范闱』凶，故选A.

【点睛】本题考查函数的对称性，难点在于将问题转换为口与里二二的图像在直3的

交点至少有3对，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题.

5.（2021.江苏徐州市.徐州一中高三期末）已知函数［叵|］在|叵旭有晅］，其中叵为函

数回|的导数,若甲回为锐角三角形两个内角，则（）

【答案】B

,求导可知函数1国在画上为增函数，由已知条件可知

【分析】构造函数S

区

,即1区再根据函数直I在叵m上的单调性即可得解.

【解析】设回，则区

17/59

•••函数I回］在回］上单调递增.

景同为锐角三角形两个内角，则

上单调递增.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，同时也涉及了三角函数的变换及其性质，考查构造思想及

转化思想，考查化简变形能力及逻辑推理能力，属于中档题.

6.（2021・和平区•天津一中高三月考）已知函数回的图象与中制交

点的横坐标构成一个公差为件J等差数列，把函数51的图象沿甲轴向左平移区配单位，横坐标伸长到

原来的2倍得到函数直］的图象，则下列关于函数向二|的结论，其中所有正确结论的序号是（）

①函数|冈|是奇函数

②同的图象关于直线因对称

③面在国上是增函数

D.@@@

【答案】C

【分析】先根据辅助角公式化简晅二然后利用已知条件求解出隔勺值，再根据图象的变换求解出

叵］的解析式；①根据回帆斤式判断奇偶性;

I②根据的值判断对称性；③采用整体替换的方

法判断单调性：④利用换元法的思想求解出值域.

18/59

【解析】•・・回

,又

口何等差数列，・♦・因

个公差为，・・Lg.0

叵I|向左平移叵h单位得到3

叵

坐标伸长到原来再得到0

故错误;

.H是|区|的一条对称轴,故正确;

③；0

O上先增后减，・・・|冈惟

又..•且上不是增函数，故错误;

・•・南二）的值域为回，故错误；故选c,

【点睛】思路点睛：求解形如g的函数在指定区间上的值域或最值的一般步骤如下:

这个整体的范围;

te（1）中范围下的取值情况;

（3）根据取值情况确定出值域或最值，并分析对应的聊取值.

0

7.（2021・辽宁高三二模）若0，则()

A.0B.国C.回D.3

19/59

【答案】A

0—

【分析】先根据诱导公式化简得，再结合半角公式整理得

叵”

0

【解析】由诱导公式化简整理得:

故选A.

【点睛】题考查诱导公式化简，半角公式，同角三角函数关系，考查运算求解能力，本题解题的关键在于

寻找甲节件间的关系，从半角公式入手化简整理•考生需要对恒等变换的相关公式熟记・

8.（2021•安徽皖北协作区3月联考（文））已知函数S回~|在区间

|口|上恰有1个最大值点和1个最小值点，则3的取值范围是（）

【答案】B

【分析】化简得到因，根据最值点，得凶，解得答案.

【解析】0

20/59

【点睛】方法点睛：本题考查了根据三角函数的最值求参数，研究三角函数的性质基本思想是将函数转化

为为的形式，热后应用整体思想来研究其相关性质，考查学生的逻辑推

理与运算能力，属于一般题.

9.（2021•内蒙古赤峰市•高三月考（文））已知函数S的图像如图所

示，且而~1的图像关于点|回忖称，则画的最小值为（）

A.0'B.件

c.而D.

【答案】B

【分析】先由函数图像求出函数0,再根据函数关于|区！|对称求出国，

从而当国三I时，回取得最小值为

【解析】由题可知凶，凶，

则I,眄,

又眄J,眄|弧,由|区r|的图像关于点|回|对称,可得

区，神百"I时,回取得最小值为E］故选B.

【点睛】已知兀6=An〃（sx+9）（H>0,e>0）的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是

求待定系数和9,常用如下两种方法：

⑴由①=因即可求出“；确定《时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标xo,

则令3Xo+*=0(或CfJXo+<p=7T),即可求出(P，

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（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或“零点”）坐标代入解析式，再结合图形解出①和外

若对A,①的符号或对8的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.

10.（2021•北京海淀区•高三期中）函数①,②冈一，③

中，周期是国1为奇函数的所有函数的序号是（）

A.①②B.②C.③D.@@

【答案】D

【解析】对于①「国-------|，回，周期为兀，但不是奇函数;

对于②|冈------|，区周期为因;

又s故|国—|符合题意:

对干③回，回，

由②推导过程可知:0周期是脚为奇函数，符合题意，故选D.

【点睛】三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次''的结构，借助于|因I或1臼I的性质解

题：（I）求周期”区];（2）判断奇偶性，一般用|区-阈区|------

11.（2021.内蒙古赤峰市.高三月考（理））已知回，回，则S

（1）B.g

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区

,故选c.

【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键：

(I)用的范围的判断；

(2)根据条件选择合适的公式进行计算.

12.(2021•河南九师联盟3月联考)已知函数叵1,若［亘卞区间［亘~1上

不存在零点，则聊取值范围是()

【分析】由|回|在区间恒|上不存在零点,计算出I区I，再计算出函数叵］的零点为

叵，根据零点所在的范围，判断出中的取值范围.

【解析】函数的最小正周期为［因］,由函数0在晅二|上不存在零点，可

即

叵,故选B.

【点睛】三角函数求旧勺范围:

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①利用周期求耶范围：利用周期公式，借助于平移或诱导公式即可解决；②已知值域求用甲范围：运用

整体思想，将值域问题转化为基本函数后I上结合推行即可解决;③已知零点情况求甲华范I制.

13.（2021•江西八校4月联考（文））函数因的图象可能为（）

【答案】A

【分析】求出函数|区||的定义域,分析函数|回帆奇偶性及其在百上的函数值符号,结合排除法可

得出合适的选项.

【解析】函数区的定义域为|回I，

叵，函数叵1为奇函数，排除BC选项;

当区I时,0，回，则因，.,帼|，排除D选项•故选