666 组合数公式第二课时

第六章

6.2.3

组合6.2.4组合数第2课时组合数公式学习目标XUEXIMUBIAO1.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式.2.能运用组合数公式进行计算.3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PARTONE知识点一组合数公式组合数公式乘积形式＝_________________________，其中m，n∈N*，并且m≤n阶乘形式＝______________规定：C＝

.1知识点二组合数的性质预习小测自我检验YUXIXIAOCEZIWOJIANYAN2020362或32题型探究PARTTWO

观察例6的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现？（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？一、组合数公式的应用∵n∈N*，∴n＝10，(3)、已知：,求x的值.计算例1－3反思感悟＝4950＋200＝5150.二、无限制条件的组合问题例1、(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条?(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?(3)从数字1~9这九个自然数中选3个作为函数y=ax2+bx+c的系数，且a>b>c，则这样的函数共有多少个？(4)平面上有四条平行直线与另外五条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有多少个？例2、一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问：(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练有多少种方式做这件事情？1、现有10名大学生，其中男生6名，女生4名．(1)现要从中选2名参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女大学生各2名去参加会议，有多少种不同的选法？跟踪训练1解：(1)从10名大学生中选2名去参加会议的选法数就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C102=45种．(2)从6名男大学生中选2名的选法有C62种，从4名女大学生中选2名的选法有C42种，根据分步乘法计数原理，因此共有选法C62·C42=90种．例3、按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？(1)甲、乙、丙三人必须当选；(2)甲、乙、丙三人不能当选；(3)甲必须当选，乙、丙不能当选；(4)甲、乙、丙三人只有一人当选；(5)甲、乙、丙三人至多2人当选；三、有限制条件的组合问题例4、按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？(6)甲、乙、丙三人至少1人当选；(7)12人中有7男5女，男女各有一个队长，从中选5人，既有队长，又有女生.例5、在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。(1)一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种?说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。反思感悟有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数.(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏.跟踪训练2

课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；解至多有2名女生当选含有三类：有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选，(3)既要有队长，又要有女生当选.解分两类：所以共有495＋295＝790(种)选法.跟踪训练3数学研究学习小组共有13名学生，其中男生8人，女生5人，从这13人里选出3个人准备做报告．在选出的3个人中，至少要有1名女生，一共有多少种选法？方法一:由题意，按选出女生的人数可分三类情况:第一类，选1名女生，2名男生，有C51·C82种选法；第二类，选2名女生，1名男生，有C52·C81种选法；第三类，选3名女生，男生不选，有C53种选法．故共有C51·C82+C52·C81+C53=230种选法．方法二:如果没有限制条件，则有C133种选法，而不符合条件，即选出的全是男生(一名女生也没有)的选法是C83种．因此，至少要有1名女生的不同选法有C133-C83=230种.跟踪训练4“抗震救灾，众志成城”，在我国甘肃舟曲的抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴某灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种?(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种?解：(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C42种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C64种选法，∴共有C42·C64＝90种抽调方法.(2)“至少”的含义是不低于，有两种解法，法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C42·C64种选法；②选3名外科专家，共有C43·C63种选法；③选4名外科专家，共有C44·C62种选法；根据分类加法计数原理，共有C42·C64+C43·C63+C44·C62=185种抽调方法.法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C106种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C41·C65种选法；没有外科专家参加，有C66种选法，所以共有：C106-C41·C65-C66=185种抽调方法.(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种?(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．①没有外科专家参加，有C66种选法；②有1名外科专家参加，有C41·C65种选法；③有2名外科专家参加，有C42·C64种选法.∴共有C66＋C41·C65＋C42·C64＝115种抽调方法.(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？[题后感悟]解答有限制条件的组合问题的基本方法：例6、由11人组成的课外文娱小组，其中5人只会跳舞，4人只会唱歌，2人既会跳舞又会唱歌。若选4个会跳舞和4个会唱歌的去排节目，共有多少种选法？注意：确定分类的标准四、全能与专项命题角度1平均分组例3－1

(1)6本不同的书，分为三份，每份两本，有多少种方法？五、分组、分配问题因此分为三份，每份两本，一共有15种方法.(2)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种方法？命题角度2不平均分组例3－2

(1)6本不同的书，分为三份，一份一本，一份两本，一份三本，有多少种方法？(2)6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本，有多少种不同的方法？命题角度3分配问题例3－3

6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种不同的方法？所以一共有90＋360＋90＝540(种)方法.反思感悟“分组”与“分配”问题的解法(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配.跟踪训练3

将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子中.(1)有多少种放法？(2)每盒至多1个球，有多少种放法？解每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4×4＝44＝256(种)放法.(3)恰好有1个空盒，有多少种放法？(4)每个盒内放1个球，并且恰好有1个球的编号与盒子的编号相同，有多少种放法？(5)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？3随堂演练PARTTHREE123451.的值为A.72 B.36 C.30 D.42√2.若

＝28，则n的值为A.9 B.8 C.7 D.612345√123453.若

，则m等于A.9 B.8 C.7 D.6√123454.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案的种数为____.解析从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，96123455.有4名男医生、3名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成1个医疗小组，则不同的选法共有____种.186、现有10名大学生，其中男生6名，女生4名．(1)现要从中选2名参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女大学生各2名去参加会议，有多少种不同的选法？解：(1)从10名大学生中选2名去参加会议的选法数就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C102=45种．(2)从6名男大学生中选2名的选法有C62种，从4名女大学生中选2名的选法有C42种，根据分步乘法计数原理，因此共有选法C62·C42=90种．7、数学研究学习小组共有13名学生，其中男生8人，女生5人，从这13人里选出3个人准备做报告．在选出的3个人中，至少要有1名女生，一共有多少种选法？方法一:由题意，按选出女生的人数可分三类情况:第一类，选1名女生，2名男生，有C51·C82种选法；第二类，选2名女生，1名男生，有C52·C81种选法；第三类，选3名女生，男生不选，有C53种选法．故共有C51·C82+C52·C81+C53=230种选法．方法二:如果没有限制条件，则有C133种选法，而不符合条件，即选出的全是男生(一名女生也没有)的选法是C83种．因此，至少要有1名女生的不同选法有C133-C83=230种.8、用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)解析：法一：数字2,3至少都出现一次，包括以下情况：“2”出现1次，“3”出现3次，共可组成C41=4(个)四位数．“2”出现2次，“3”出现2次，共可组成C42=6(个)四位数．“2”出现3次，“3”出现1次，共可组成C43=4(个)四位数．综上所述，共可组成14个这样的四位数．法二：“正难则反”24-2=14法三：列举法141.知识清单：课堂小结KETANGXIAOJIE(4)分组分配问题.2.方法归纳：分类讨论、正难则反、方程思想.3.常见误区：分组分配中是否为“平均分组”.4课时对点练PARTFOUR1.计算：

等于A.120 B.240 C.60 D.480基础巩固12345678910111213141516√123456789101112131415162.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有A.60种

B.48种

C.30种

D.10种√123456789101112131415163.(多选)下列等式正确的有√√√12345678910111213141516解析A是组合数公式；B是组合数性质；123456789101112131415164.200件产品中有3件次品，任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有√5.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有______种.1234567891011121314151636123456789101112131415166.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是____.(用数字作答)336123456789101112131415167.某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有_____种.600所以共有600种不同的选派方案.12345678910111213141516整理得n2－21n＋98＝0，解得n＝7或n＝14，1234567891011121314151610.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？12345678910111213141516解可以分三类：11.若

，则n等于A.12 B.13 C.14 D.15综合运用12345678910111213141516√12.在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共(m＋n＋1)个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，则可作出的三角形的个数为12345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151613.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A.60种

B.63种

C.65种

D.66种√12345678910111213141516根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有1＋60＋5＝66(种).1234567891011121314151614.某