河北省2025-2026学年高二上学期阶段性联合测评数学试卷（A卷）（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河北省2025-2026学年高二上学期阶段性联合测评数学试卷（A卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知空间向量，若，则（

）A．2或4 B．2或 C．或4 D．或2．设空间直角坐标系中，点，则是（

）A．以为直角顶点的等腰直角三角形B．以为直角顶点的等腰直角三角形C．以为直角顶点的等腰直角三角形D．等边三角形3．在三棱柱中，是侧面的中心，则（

）A． B． C． D．4．在棱长为的正四面体中，若，则（

）A．2 B． C．1 D．5．已知空间向量满足，若，则（

）A． B． C． D．36．如图，在菱形中，，线段的中点分别为，现将沿对角线翻折到的位置，在翻折过程中，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．在棱长均相等的平行六面体中，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．8．在长方体中，，球是以为球心，以1为半径的球.动点在矩形的内部及其边界上运动，且到球的球面上的点的最小距离为2，则点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列结论错误的是（

）A．任意一个向量均可以作为直线的方向向量B．若是平面的法向量，则也是平面的法向量C．设点，则平面的一个法向量为D．若向量，则与的夹角为钝角10．下列说法正确的是（

）A．若，则异面直线与所成角的余弦值为B．若平面与平面的法向量分别为，则C．为所在平面外一点，若，则点平面且在内部D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底11．已知空间向量是直线的方向向量，是平面的法向量，则下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则的最小值为2C．若是正实数，且与所成角的正弦值为，则的最小值为D．若是正实数，与交于点，点在上且到的距离为2，则三、填空题12．已知空间向量满足，若，则.13．已知点，点，点，则点到直线的距离为.14．已知正三棱柱的底面边长为是的中点，若线段上有一点，使得，则侧棱长的取值范围是.四、解答题15．已知空间向量.(1)若，求的值；(2)若，求的最小值及此时的值；(3)若，求的最大值.16．如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，设.

(1)证明：；(2)设，用表示与.17．如图，已知正四棱柱中，是的中点.(1)证明：平面；(2)设，若在线段上存在点，使得平面平面，试确定点的位置.18．如图，在三棱锥中，平面是的中点.

(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离；(3)求平面与平面夹角的大小.19．如图，在三棱锥中，平面，，点在上，且，点是线段上的动点.(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)当是的中点时，求与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面夹角的最大值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《河北省2025-2026学年高二上学期阶段性联合测评数学试卷（A卷）》参考答案题号12345678910答案BBCBACDDABDAB题号11答案ABD1．B【分析】根据即可.【详解】由题意可得，，解得或.故选：B2．B【分析】直接利用空间点间的距离公式和勾股定理的逆定理求出结果．【详解】因，则，，，因为，且，所以是以为直角顶点的等腰直角三角形.故选：B.3．C【分析】取的中点，连接，由平行四边形及三角形法则即可求解.【详解】如图，由题意与相交于点，取的中点，连接，则，则，故选：C4．B【分析】利用基底法结合空间向量数量积的运算律可求的值.【详解】设正四面体的棱长为.由正四面体结构性质可知，而故，故选：B.5．A【分析】借助空间向量模长与数量积的关系，结合数量积公式计算即可得.【详解】.故选：A6．C【分析】不妨设菱形的边长为1，则，由空间向量的线性运算得，，由数量积运算得，再结合充分必要条件进行判断即可．【详解】不妨设菱形的边长为1，则，在翻折后的图形中，，，则，当时，得，得，充分性成立，当时，则，必要性成立，故“”是“”的充要条件，故选：C7．D【分析】利用基底法结合空间向量数量积公式及投影向量公式可求得投影向量.【详解】设平行六面体棱长为，，且，，，在上的投影向量为.故选：D.8．D【分析】利用球面截平面得圆弧，再结合弧长公式即可求解.【详解】由题意可得，动点在矩形的内部及其边界上运动，且到球的球面上的点的最小距离为2，则动点一定在以为球心，以3为半径的球面上，再由动点在矩形的内部及其边界上运动，则矩形面截以为球心，以3为半径的球面可得圆弧，如图，

因为，结合勾股定理可得：，所以圆弧，故选：D.9．ABD【分析】对A和B，利用直线方向向量和平面法向量的定义，即可求解；对C，利用法向量的求法，求出平面的一个法向量，即可求解；对D，结合选项条件，取，即可求解.【详解】对于A，由直线方向向量的定义知，不能作为直线的方向向量，所以选项A结论错误，对于B，若，则，此时不是平面的法向量，所以选项B结论错误，对于C，因为，则，设平面的一个法向量为，则，取，得，所以平面的一个法向量为，故选项C结论正确，对于D，若，则有，但与的夹角不为钝角，所以选项D结论错误，故选：ABD.10．AB【分析】A利用即可；B判断是否为即可；C根据向量的运算化简得出即可判断四点共面，再根据向量的加法法则可判断在的外部；D设，根据为基底即可求出.【详解】因，则异面直线与所成角的余弦值为，故A正确；因，则，故B正确；因，则，则，即，由平面向量基本定理可知，共面，又有公共点，有公共点，则点平面，设，由向量的加法法则可知，点在的外部，又同向，则点在的外部，故C错误；设，则，因是空间的一个基底，则，故共面，则不可以是空间的一个基底，故D错误.故选：AB11．ABD【分析】根据直线与平面垂直、直线与平面平行、直线与平面所成的角、点到平面的距离的向量表示，结合基本不等式可依次求得结果，从而判断出正确答案.【详解】选项A：因为，所以，所以存在实数，使，即，所以，所以选项A正确；选项B：因为，所以，即,即.所以，当且仅当时等号成立.所以的最小值为2.所以选项B正确；选项C：由题知：.因为与所成角的正弦值为，所以，整理得：，即.因为，所以.所以,所以的最小值为.所以选项C错误；选项D：由题知存在实数，使得，所以，，所以.因为与交于点，点在上且到的距离为2，所以在上的投影的绝对值为2，即.所以，整理得：.因为是正实数，所以，所以.所以所以选项D正确.故选：ABD.12．【分析】根据空间向量的模的公式进行计算求解即可.【详解】因为向量，.所以故答案为：.13．【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解.【详解】因为点，点，点，所以，取则，得点到直线的距离为：，故答案为：14．【分析】，又，根据垂直得到数量积为0，列出等式即可求解.【详解】

设侧棱长为，则长为,由题意，又，其中，故，，又，故即，又，所以，所以，即侧棱长的取值范围是，故答案为：15．(1)(2)的最小值为，此时(3)【分析】（1）根据向量平行时的坐标关系，即可取得x，y的值，即可得答案.（2）根据向量垂直时的坐标关系，根据二次函数的性质，即可得答案.（3）根据求模公式，可得x，y的关系，代入所求，根据二次函数的性质，即可得答案.【详解】（1）因为，所以，当时，，所以，不存在，所以；当时，可得，解得，所以（2）因为，所以，即，所以当时，y的最小值为（3），因为，所以，即，由，解得则所求，所以当时，的最大值为16．(1)证明见解析(2)；；【分析】（1）利用三角形相似可得：,结合向量的线性运算求解即可；（2）利用向量的线性运算求解即可.【详解】（1）因为在四棱锥中，四边形是等腰梯形，，所以,，所以,所以，即,由图可得；（2）由图可得；由于，所以所以；17．(1)证明见解析(2)点与点重合【分析】（1）取中点，连接，利用正四标柱的性质得，再利用几何关系可得平面，再由线面平行的判定定理，即可求解；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再结合条件，即可求解.【详解】（1）取中点，连接，因为，且，所以是平行四边形，则，又，且，所以为平行四边形，则与相交，且交点为线段与的中点，记，又，且，所以为平行四边形，则与相交，且交点为线段与的中点，所以，则平面，平面，所以平面.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，因为，设，则，所以，设平面的一个法向量为，则，取，则，所以，设平面的一个法向量为，则，取，则，所以，因为平面平面，则，所以，解得，所以点与重合.18．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）多次运用余弦定理结合勾股定理可证，再结合空间垂直关系的转化可证平面平面.（2）利用等积法可求点到平面的距离；（3）取的中点为，在平面中过作，垂足为，连接，则可证为二面角的平面角，利用解直角三角形可得，故可得平面与平面夹角的大小为.【详解】（1）因为平面，而平面，故，.故，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理得：，故，故，故，而平面，故平面，因平面，故平面平面.（2）因为平面，平面，故，而，故，在中，由余弦定理可得，而为三角形内角，故，故，故，故.（3）

取的中点为，在平面中过作，垂足为，连接.因为平面，平面，故平面平面.由（2）可得，故且，而平面平面，平面，故平面，而平面，故，而平面，故平面，而平面，故，故为二面角的平面角.在直角三角形中，，故，在直角三角形中，，而为锐角，故，故平面与平面夹角的大小为.19．(1)；(2)；(3).【分析】（1）假设，建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量即可得到答案；（2）求出平面的法向量，再利用线面角的空间向量求法即可得到答案；（3）求出平面与平面的法向量，再利用面面角的