（复习课）2025-2026学年人教A版高二数学寒假讲义01 恒成立、能成立问题+随堂检测（解析版）

第页01课恒成立、能成立问题【方法技巧与总结】1.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.2.不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，，，.（1）若，，有成立，则；（2）若，，有成立，则；（3）若，，有成立，则；（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.【题型归纳目录】题型一：分离参数题型二：判别式法题型三：数形结合题型四：多变量的恒成立问题题型五：主元法题型六：直接法【典型例题】题型一：分离参数例1．若对任意，有恒成立，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为对任意，有恒成立，所以，因为，所以，所以，故选：B例2．对于满足等式的任意正数及任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为任意正数满足等式，所以，当且仅当，即时等号成立，因为任意实数，不等式恒成立，所以，对任意实数恒成立，因为时，，当且仅当时等号成立，所以，，即实数的取值范围为.故选：B例3．已知对任意，恒成立，则实数x的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】对任意，不等式恒成立，即对任意，恒成立，所以对任意，恒成立，所以对任意，，所以，解得，故实数x的取值范围是．故选：D．变式2．若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由关于的不等式在区间内有解，得在区间内有解，令，则，即，所以实数的取值范围是．故选：D．题型二：判别式法例4．若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，分两种情况讨论：①当时，即，若时，原不等式为，解可得：，则不等式的解集为，不是空集；若时，原不等式为，无解，不符合题意；②当时，即，若的解集是空集，则有，解得，则当不等式的解集不为空集时，有或且，综合可得：实数的取值范围为；故选：C．例6．已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（

）A．B．C．或D．或【答案】B【解析】当时，则恒成立，成立；当时，则，解得；综上所述：实数的取值范围为.故选：B.变式3．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，对一切实数都成立，故符合题意；当时，要使不等式对一切实数都成立，则，综上可得，即；故选：C.变式4．对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是（

）A．B．C．或D．或【答案】B【解析】当，即时，恒成立，满足题意.当时，则有，解得：综上，实数的取值范围是故选：B题型三：数形结合例8．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为A．B．C．，D．【解析】解：函数在区间上单调递增，当时，，若不等式恒成立，则且即，，故选：．题型四：多变量的恒成立问题例10．已知函数．(1)若不等式的解集为，求不等式的解集；(2)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)已知，当时，若对任意，总存在，使成立，求实数的取值范围．【解析】（1）由题意，为方程的两个不等实数根，，所以不等式为，解得或，所以不等式解集为.（2）对恒成立，令，即对恒成立，因为函数开口向上，故只需满足，解得，所以的取值范围为（3）当时，，开口向上，对称轴为当时，，，，时，，由题意，对任意，总存在，使成立，即函数的值域是函数的值域的子集，即，，解得，所以的取值范围为.例11．已知函数，，(1)当时，求函数的单调递增与单调递减区间（直接写出结果）；(2)当时，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围；(3)若不等式对任意，（）恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，，所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，；（2）因为，，且函数在，上单调递减，在，上单调递增，又因为在，上的最大值为，所以，即，整理可得，所以，所以，即；（3）由不等式对任意，，恒成立，即，可令，等价为在，上单调递增，而，分以下三种情况讨论：①当即时，可得，解得，矛盾，无解；②，即时，函数的图象的走向为减、增、减、增，但是中间增区间的长度不足1，要想在，递增，只能，即，矛盾，无解；③即时，此时在，上单调递增，要想在，递增，只能，即，所以．综上可得满足条件的的取值范围是．例12．已知定义在上的函数满足，且，．(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；(2)设，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．【解析】（1）由题意知，，即，所以，故，∴，因为函数为增函数，函数在其定义域上单调递增，所以单调递增，又为增函数，所以函数在R上单调递增，所以不等式恒成立等价于，即恒成立，设，则，，当且仅当，即时取等号，所以，故实数a的取值范围是；（2）因为对任意的，存在，使得，所以在上的最小值不小于在上的最小值，因为在上单调递增，所以当时，，∴，即存在，使成立，令，因为在上单调递增，在上单调递增，∴在上单调递增，∴，∴，所以实数m的取值范围是.变式8．已知定义在R上的函数满足且，．(1)求的解析式；(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围；(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．【解析】（1）由题意知，，即，所以，故.（2）由（1）知，，所以在R上单调递增，所以不等式恒成立等价于，即恒成立.设，则，，当且仅当，即时取等号，所以，故实数a的取值范围是.（3）因为对任意的，存在，使得，所以在上的最小值不小于在上的最小值，因为在上单调递增，所以当时，，又的对称轴为，，当时，在上单调递增，，解得，所以；当时，在上单调递减，在上单调递增，，解得，所以；当时，在上单调递减，，解得，所以，综上可知，实数m的取值范围是.变式10．已知定义域为R的函数满足.(1)求函数的解析式；(2)若对任意的，都有恒成立，求实数x的取值范围；(3)若使得，求实数a的取值范围.【解析】（1），令，则，故，所以；（2）可看作关于的一次函数，要想对任意的，都有恒成立，只需要，解①得：，解②得：，则与求交集得，实数x的取值范围是；（3）若使得，只需在上成立，的对称轴为，当时，在上单调递增，所以，，由，解得：，与取交集得：；当时，在上单调递减，所以，，由，解得：，与取交集得：；当时，在上单调递减，在上单调递增，且，所以，，由，解得：或，或与取交集得：，当时，在上单调递减，在上单调递增，且，所以，，，解得：或，或与取交集得：，综上：或实数a的取值范围是题型五：主元法例13．已知函数对任意实数恒有，当时，，且(1)判断的奇偶性；(2)求函数在区间上的最大值；(3)若恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）令，则，可得，令，则，可得，又定义域为R，故为奇函数.（2）令，则，且，因为时，，所以，故，即在定义域上单调递减，所以在区间上的最大值为.（3）由（2），在上，恒成立，即恒成立，所以恒成立，显然时不成立，则，可得；，可得；综上，或.例14．已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】恒成立，即，对任意得恒成立，令，，当时，，不符题意，故，当时，函数在上递增，则，解得或（舍去），当时，函数在上递减，则，解得或（舍去），综上所述，实数的取值范围是.故选：D.变式12．已知，，不等式恒成立，则的取值范围为A．，，B．，，C．，，D．【答案】C【解析】令，则不等式恒成立转化为在上恒成立．有，即，整理得：，解得：或．的取值范围为．故选：C．变式13．不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，对一切均大于0恒成立，所以，或，或，解得或，，或，综上，实数的取值范围是，或.故选：A.题型六：直接法例16．已知函数满足对任意，恒有，则实数a的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题设，开口向下且对称轴为，∴要使任意，恒有，则，∴，解得.故选：C.例18．若关于的不等式在有解，则的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，其对称轴为，关于的不等式在有解，当时，有，，即，可得或．故选：B．【过关测试】一、单选题1．已知函数满足，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为且，又单调递减，在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递减，因为在区间上恒成立，所以恒成立，所以，解得，即；故选：C2．已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵是奇函数，∴即恒成立，即，则，解得，又∵，∴，则，所以，，是奇函数，因为在是单调递减函数，在是单调递增函数，由复合函数的单调性性判断得，函数在上单调递减，又为奇函数，所以在上单调递减；由恒成立得，可得恒成立，则，即恒成立，所以恒成立，解得.故选：B.3．若在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，则原问题转化为在恒成立，即在恒成立，又当且仅当时取等号，故实数的取值范围是，故选：C．4．定义在R上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的最大值为（

）A．-1B．C．D．【答案】D【解析】由题设，关于对称，根据的解析式，在上在处连续且单调递减，所以在上递增，要使对任意，恒成立，则在上恒成立，所以，即在上恒成立，当，即{t≥−1t≤1−2xmin=−2t−1，可得；当，即，无解；综上，t的最大值为.故选：D.5．已知对于任意实数，恒成立，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题知，当时，不恒成立，舍去；当时，即图像恒在轴的上方，所以解得；综上，.故选：A6．已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】不妨设，则，根据题意，可得恒成立，即恒成立.令，则恒成立，所以函数在上单调递减.当时，在上单调递减，符合题意；当时，要使在上单调递减，则解得.综上所述，实数a的取值范围是.故选：D.7．已知对任意，且，恒成立，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得：，，，，（当且仅当时取等号），当恒成立时，.故选：D.二、多选题8．已知函数的定义域为，当时，恒成立，则（

）A．在上单调递减B．在上单调递减C．D．【答案】ABC【解析】A选项：由，，得，所以在上单调递减，A选项正确；B选项：，所以在上单调递减，C选项与D选项：由A选项得，令，，则，所以C选项正确，D选项错误；故选：ABC.9．已知函数，，则下列结论正确的是（

）A．，恒成立，则实数a的取值范围是B．，恒成立，则实数a的取值范围是C．，，则实数a的取值范围是D．，，【答案】AC【解析】对于A选项，，恒成立，即，为减函数，所以，A选项正确；对于B选项，，恒成立，即，所以，B选项不正确；对于C选项，，，即，的图像为开口向上的抛物线，所以在对称轴处取最小值，在离对称轴最远处取最大值，所以，C选项正确；对于D选项，，，，即要求的值域是值域的子集，而的值域为，值域为，不满足要求，D选项不正确；故选：AC.三、填空题10．若不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围是________【答案】【解析】因为不等式对于任意恒成立，即不等式对于任意恒成立，因为，所以，所以不等式对于任意恒成立，令，，因为在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，所以或，解得或，即；故答案为：11．记，已知，设函数，若方程有解，则实数m的取值范围是__________________．【答案】【解析】由题意有解，即有交点，令当，当，故画出函数的简图，如下图所示：数形结合可知，当时，故若有交点，，则实数m的取值范围是故答案为：四、解答题12．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有(1)求函数的解析式；(2)判断的单调性，并利用定义证明；(3)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围．【解析】(1)因函数是定义在的奇函数，所以，即，又因，所以，因此当时，，设，则，因此，因函数是定义在的奇函数，所以，故，.(2)函数在上单调递增，证明如下：设，则，因，所以，，所以，因此，故函数在上单调递增.(3)由（2）可知，函数在上单调递增，因此，因关于的不等式在上有解，所以，解得：.13．已知两数是定义在R上的奇函数，当x<0时，（1）求函数的解析式；（2）求及的值；（3）若存在实数，使得不等式有解，求实数m的取值范围.【解析】（1）因为函数是定义在R上的奇函数，所以，由于当时，，设，则，，解得；所以.（2）；∴；.（3）存在实数，使得不等式有解，即的最小值，其中；设，其中，即，其中，∴，其中，因为，所以，；∴，故实数m的取值范围为：.14．已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，.(1)证明：当时，；(2)判断的单调性并加以证明；(3)如果对任意的，恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）；；当时，；；当时，.（2）单调递减.证明：，，即单调递减（3）函数的定义域是

；恒成立；由（2），单调递减，恒成立，恒成立，因为，当且仅当时等号成立，所以；又有意义，所以综上：.15．已知是定义在上的奇函数．(1)求的解析式；(2)判断并证明的单调性；(3)若不等式对恒成立，求的取值范围．【解析】(1)为上的奇函数，，；又，，，，解得：，此时；当时，，满足奇函数定义，.(2)设，则，，，，又，，，，在上是增函数.(3)由得：；由（2）得：；，即对恒成立，对于①，对于恒成立，又，；对于②，对于恒成立，又，；对于③，；综上所述：的取值范围为.恒成立、能成立问题随堂检测1.已知，恒成立，则实数a的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，恒成立，可得在上恒成立，即即.故选：D.2.关于x的不等的解集为R，则a∈（

）A．B．(0，+∞)C．(0，1)D．【答案】D【解析】当时，对恒成立，符合题意；当时，构造，要使对恒成立，由二次函数的图像可知：且，解得：，综上：．故选：D．3.已知不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是（

）A．或B．C．或D．【答案】D【解析】当时，不等式为，即，不符合题意；当时，不等式对任意实数都成立，由一元二次函数性质可知，且判别式，解得．故选:D．4.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为A．，B．，C．，D．，【解析】解：函数在区间上单调递增，当时，，若不等式恒成立，则且即，，故选：．5.若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】命题“”为假命题，其否定为真命题，即“”为真命题．令，则，即，解得，所以实数x的取值范