（复习课）2025-2026学年人教A版高二数学寒假讲义03 解三角形中的范围及最值问题+随堂检测（解析版）

第页03课解三角形中的范围及最值问题解三角形中处理范围及最值问题的两种方法基本不等式结合余弦定理化角为边特征：“平方和”和“积”正弦定理转为三角函数问题化边为角特征：整体结构不对称，或者角度有更细致的要求考点一化角为边1.三角形面积的范围及最值问题2.三角形周长的范围及最值问题考点二化边为角1.与角度有关的范围及最值问题2.与边长有关的范围及最值问题考点一化角为边1.三角形面积的范围及最值问题例1．在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理边化角可化简已知等式求得，进而得到；利用余弦定理和基本不等式可求得，代入三角形面积公式即可求得结果.【详解】由正弦定理得：，，，，，，，，解得：；由余弦定理得：，（当且仅当时取等号），，.故选：B.练习1．在中，内角、、的对边分别是、、，且.若是边的中点，且，则面积的最大值为______.【答案】.【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求得角，分析可知，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】，由正弦定理可得，即，由余弦定理可得.，.是边的中点，，，所以，即，所以，，当且仅当时，等号成立，所以，.故答案为：.练习2．已知函数.(1)求函数的最小正周期.(2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，求的面积的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简函数为，再利用即可求出结果；（2）先利用求出角，再结合余弦定理及基本不等式求解的最值，从而得到面积的最大值.【详解】（1）由，所以的最小正周期；（2）因为，则，又因为，，所以，解得，由余弦定理得，得，当且仅当时等号成立，所以，，即的面积的最大值为.2.三角形周长的范围及最值问题例2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则b＋c的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由余弦定理与基本不等式求出，再由三角形三边关系得到，从而求出b＋c的取值范围.【详解】依题意得b2＋c2－bc＝3，即，解得：，，当且仅当时取等号，又，因此b＋c的取值范围是.故选：B练习1．在中，.(1)求；(2)若，求周长的最小值.【答案】(1)(2)9【分析】（1）利用正弦定理边角互化即可求解；（2）利用余弦定理结合均值不等式求解即可.【详解】（1）因为，所以由正弦定理得，又因为，，所以，即有，又因为，所以.（2）因为，，所以由余弦定理可得，当时，等号成立，所以，故周长的最小值9.考点二化边为角1.与角度有关的范围及最值问题例3．设的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，，且B为钝角．的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正弦定理的边化角公式化简得出，，，最后由结合正弦函数的性质得出的取值范围.【详解】由以及正弦定理得，所以即，又B为钝角，所以，故于是，因为，所以由此，即的取值范围是故选：A练习1．已知锐角的内角的对应边依次记为，且满足，则的取值范围为__________.【答案】【分析】先利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角关系化简整理可得的关系，将用表示，求出的范围，再利用三角恒等变换结合三角函数的性质即可得解.【详解】因为，所以，即，展开整理得，因为锐角中，，所以，即，由，得，，因为，所以，所以，所以的范围为.2.与边长有关的范围及最值问题例4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，若A＝2B，则的最小值为（

）A．－1 B． C．3 D．【答案】C【分析】根据正弦定理，结合三角形内的隐含条件及三角恒等变换得出，从而利用均值不等式求最小值.【详解】因为A＝2B，,所以由正弦定理，得，因为A＝2B，所以，所以，所以，当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为.故选：C.练习1．设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是___.【答案】【分析】根据已知条件，利用正弦定理将目标式由边化为角的函数关系，再求的取值范围，根据函数值域即可求得结果.【详解】因为，则，，又，故由正弦定理可得：又为锐角三角形，故可得，解得，则，故，即.故答案为：.课后巩固练习一、单选题1．在中，已知，，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解.【详解】解：由余弦定理得，即，即，所以，∴，当且仅当b=c时等号成立.因为，所以，，∴，故选：C．2．在中，内角的对边分别为，已知，若点为边的中点，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】方法一：作出图形，设，则.利用余弦定理和基本不等式即可求解.方法二：根据平面向量的运算可得，，两式联立，结合基本不等式即可求解.【详解】方法一：如图，设，则.在中，由余弦定理得①.在中，由余弦定理得②.由①②可得：.在中，由余弦定理得，当且仅当时等号成立，解得，即的最大值为.方法二：由题可得，，所以①.又因为，所以②，由①②得，由①得，则，所以，当且仅当时，等号成立.所以.故选：.3．设的面积为，若，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据三角恒等变换和角化边公式得到，利用基本不等式得到，化简得到，再根据求解即可.【详解】因为，所以整理得：，即，.，当且仅当时取等号.因为，所以当时，取得最大值.故选：C4．在锐角中，A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦定理化转化为，根据三角恒等变换与三角形的内角和定理得出A与B的关系，化，求出它的取值范围即可.【详解】解：锐角中，，，，，，，即，若，则，不符合题意舍去；，，，，又，即的取值范围是故选：B.5．在中，角所对的边分别为，已知，且的面积，则周长的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知利用三角形的面积公式可求的，进而可得，，由余弦定理，基本不等式可求，根据三角形的周长即可求解其最大值．【详解】，即，又，解得，，又，由余弦定理可得：，，即当且仅当时取等号，则周长的最大值是，故选：B6．在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知，且，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知条件得出，利用正弦定理结合两角差的正弦公式得出，利用为锐角三角形，求出角的取值范围，再利用三角恒等变换思想化简所求代数式，利用正弦型函数的有界性可求得的取值范围.【详解】由于且，可得，由正弦定理可得，即，，，可得，，即，为锐角三角形，可得，解得，所以，，，可得，，所以，.故选：B.二、填空题7．若在中，，则面积S的取值范围是___________．【答案】【分析】根据已知条件，结合基本不等式以及三角形面积公式，即可求得结果.【详解】根据题意可得，当且仅当时取得最大值；故，又，故.故答案为：.8．在中，，，求的取值范围是__________．【答案】【分析】由正弦定理得到，化简，结合三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】在中，，，由正弦定理可得，又由，因为，可得，则，所以，所以，即的取值范围是.故答案为：.三、解答题9．已知函数.(1)求函数的定义域和值域；(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值.【答案】(1)；(2)2【分析】（1）先化简，然后利用真数大于0可得，即可求出定义域，继而求出值域；（2）先利用（1）可得，结合锐角三角形可得，然后利用正弦定理进行边变角即可求出答案【详解】（1），所以要使有意义，只需，即，所以，解得所以函数的定义域为，由于，所以，所以函数的值域为；（2）由于，所以，因为，所以，所以即，由锐角可得，所以，由正弦定理可得，因为，所以所以，所以的最大值为2.解三角形中的范围及最值问题随堂检测1.已知的内角所对的边分别为，若，，则面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式即可.【详解】由余弦定理得：，（当且仅当时取等号），，，即面积的最大值为.故选：A.2.在中，的平分线交AC于点D，，，则周长的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据等面积法得，进而结合基本不等式得，，当且仅当时等号成立，再结合余弦定理得，当且仅当时等号成立，进而得周长最小值.【详解】根据题意，设，因为，，，所以，即，所以，因为根据基本不等式有，所以，，当且仅当时等号成立，由余弦定理得，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立.所以周长的最小值为.故选：C3.在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】先根据条件可得，然后把化为，结合角的范围可得的取值范围.【详解】由和余弦定理得，又，∴．因为三角形为锐角三角形，则，即，解得．，∵，即，所以，则，因此，的取值范围是．故选：A4．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．若，则面积的最大值为（

）A． B． C．16 D．【答案】B【分析】根据诱导公式，结合二倍角公式与正弦定理与余弦定理化简可得，再根据基本不等式结合面积公式求解最值即可【详解】由，，所以，即，所以，因为，所以．因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以．故选：B．5.已知在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足，且，则周长的取值范围为______________．【答案】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，求出，再利用余弦定理及均值不等式求解作答.【详解】在中，由及正弦定理得：，而，于是，有，而，，因此，由余弦定理得，即有，当且仅当时取等号，从而，而，则，所以周长的取值范围为.故答案为：6.在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为___________.【答案】【分析】由余弦定理化简已知式，再由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换得，由锐角三角形求得的范围，待求式切化弦，通分后利用已知条件化为，由正弦函数性质可得范围．【详解】因为，由余弦定理得，所以，，由正弦定理得，所以，因为为锐角三角形，所以，，，由，得，，，，所以．故答案为：．7.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.(1)求A；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理进行边角转换可得，即可求解；（2）利用正弦定理可得，再利用三角函数的性质即得.【详解】（1）由结合正弦定理可得，因为，所以，所以，即因为，所以，因为，所以；（2）由正弦定理可得所以，因为，所以，所以8.在中，角的对边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，求周长的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理边化角结合三角形内角和与诱导公式得出，根据三角形内角范围可知，即可得出，再根据角围得出答案；（2）根据已知结合余弦定理即可得出关系，再根据基本不等式得出范围，即可得出答案.【详解】（1）由正弦定理，得，因为，所以，所以，即，所以，因为，所以，所以，又，所以；（2）由（1）可得，若，则由余弦定理，得，所以，即，所以，当且仅当时等号成立，又，所以，即，所以周长的取值范围为.9.已知的内角、、所对的边分别为、、，.(1)求角；(2)若为锐角三角形，且外接圆的半径为