（预习课）2025-2026学年人教A版高二数学寒假讲义03 空间向量及其运算的坐标表示+随堂检测（教师版）

第页1.3空间向量及其运算的坐标表示【知识点梳理】要点一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面.2.右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3.空间点的坐标空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.要点二、空间直角坐标系中点的坐标1.空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为.2.空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点，则有点关于原点的对称点是；点关于横轴(x轴)的对称点是；点关于纵轴(y轴)的对称点是；点关于竖轴(z轴)的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是.要点三、空间向量的坐标运算（1）空间两点的距离公式若，则①即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。②，或.要点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。（2）空间线段中点坐标空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.（3）向量加减法、数乘的坐标运算若，则①;②;③;（4）向量数量积的坐标运算若，则即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。（5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式若，则(1).(2).要点诠释：①夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中的范围是②.③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。（6）空间向量平行和垂直的条件若，则①②规定：与任意空间向量平行或垂直作用：证明线线平行、线线垂直.【题型归纳目录】题型一：空间向量的坐标表示题型二：空间向量的直角坐标运算题型三：空间向量的共线与共面题型四：空间向量模长坐标表示题型五：空间向量平行坐标表示题型六：空间向量垂直坐标表示题型七：空间向量夹角坐标表示【典型例题】题型一：空间向量的坐标表示【例题1-1】平行六面体中，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空间向量的坐标表示，即得.【详解】设，∵，又，∴，解得，即.故选：B.【变式1-1】如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量，，的坐标．【答案】＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．【分析】以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，利用空间向量坐标表示公式进行求解即可.【详解】由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示．则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)，∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)．【方法技巧与总结】解决这类给定直角坐标系，求相关点的空间坐标时，关键是确定这些点在坐标轴的三个不同方向上的分解向量的模．同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同，但其实质是一样的．建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造．题型二：空间向量的直角坐标运算【例题2-1】（多选）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（

）A．点的坐标为（2，0，2） B．C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2）【答案】BCD【分析】根据空间直角坐标系，可求点的坐标，由此判断A;求出的坐标，可判断B;利用中点坐标公式求得的中点坐标，可判断C;根据空间点关于坐标轴的对称点的特点可判断D.【详解】根据题意可知点的坐标为，故A错误；由空间直角坐标系可知：,故B正确；由空间直角坐标系可知：,故的中点坐标为（1，1，1），故C正确；点坐标为，关于于y轴的对称点为（－2，2，－2），故D正确，故选：BCD【变式2-1】《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，M是的中点，，，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立坐标系，坐标表示向量，求出点坐标，进而求出结果.【详解】以为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨令，则，，，，，.因为，所以，则，，，，则解得，，，故.故选：C【变式2-2】如图所示的空间直角坐标系中，四棱锥的底面是正方形，平面，且，若，则点的空间直角坐标为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据空间向量的坐标运算直接计算.【详解】由题意得，，所以，所以，所以的坐标为．故选：B．【变式2-3】如图所示，正方体的棱长为是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值围是_______．【答案】【解析】首先确定弦过球心，再通过建立空间直角坐标系，利用坐标法得到，再通过构造几何意义求的最大值和最小值.【详解】当弦的长度最大时，弦过球心，如图，建立空间直角坐标系，不妨设是上下底面的中心，则，，，，，则，而表示点和定点距离的平方，很显然正方体的顶点到定点距离的平方最大，最大值是正方体面的中心到定点的距离的平方最小，最小值是，所以的最小值是，最大值是.故答案为：【方法技巧与总结】空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和。题型三：空间向量的共线与共面【例题3-1】已知空间三点，，，若三点共线，则（

）．A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】求出向量与向量的坐标，根据三点共线，可得向量与向量共线，由此即可求出结果.【详解】因为，，且三点共线，所以向量与向量共线，所以，得．故选：C.【变式3-1】已知，，．若、、三向量共面，则实数______．【答案】【分析】由题意可得，存在实数x，y，使，列出方程组，即可求得答案.【详解】因为不平行，且、、三向量共面，所以存在实数x，y，使，所以，解得，故答案为：【变式3-2】已知空间中三点，，．(1)若，，三点共线，求的值；(2)若，的夹角是钝角，求的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由向量的坐标表示确定、，再由三点共线，存在使，进而求出m、n，即可得结果.（2）由向量夹角的坐标表示求，再根据钝角可得，讨论的情况，即可求范围.(1)由题设，，又，，三点共线，所以存在使，即，可得，所以.(2)由，由（1）知：当时，有；而，又，的夹角是钝角，所以，可得；又时、，故，满足题设；综上，.【方法技巧与总结】（1）在空间直角坐标系下，两向量的共线，可利用向量的共线定理，通过列方程组求解.要证三向量共面，即证存在，使得.（2）在空间直角坐标系下，两向量的共线，三向量的共面问题，均可灵活应用共线，共面的基本定理，利用向量坐标通过方程求解。题型四：空间向量模长坐标表示【例题4-1】已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则在上的投影向量的模是______.【答案】【分析】先求得，再根据投影向量的模的公式求解即可【详解】由题，，故在上的投影向量的模故答案为：【变式4-1】设空间向量是一组单位正交基底，若空间向量满足对任意的的最小值是2，则的最小值是_________．【答案】【分析】以方向为轴，垂直于方向为轴建立空间直角坐标系，根据条件求得坐标，由的表达式即可求得最小值.【详解】以方向为轴建立空间直角坐标系，则，，设则，当时的最小值是，取则又因为是任意值，所以的最小值是.取则又因为是任意值，所以的最小值是.故答案为：.【方法技巧与总结】若，则.题型五：空间向量平行坐标表示【例题5-1】已知向量，若，则实数________．【答案】【分析】利用列方程，即可求解.【详解】因为向量，且，所以，解得：.故答案为：.【变式5-1】已知两个向量，，且，则的值为（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】由，可知，使，利用向量的数乘运算及向量相等即可得解.【详解】∵，∴，使，得，解得：，所以故选：C【方法技巧与总结】若，则题型六：空间向量垂直坐标表示【例题6-1】如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段即可得结果.【详解】分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设，，则，，由得，即，由于，所以，，所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段，由图知：，故选：B.【变式6-1】如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为4，P是的中点，点M在侧面（含边界）内，若.则△BCM面积的最小值为（）A．8 B．4 C． D．【答案】D【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法确定M的轨迹满足，求出的最小值，可求出面积的最小值.【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，设，则，，因为，所以，得，所以，所以，当时，取最小值，易知，且平面，平面故，故所以的最小值为．故选：D.【方法技巧与总结】若，则题型七：空间向量夹角坐标表示【例题7-1】在空间直角坐标系中，分别是轴、轴、轴正方向上的单位向量，若为非零向量，且，，则______．【答案】或【分析】设，由向量数量积运算可求得，，由模长运算可知，由向量夹角公式可求得结果.【详解】设，又，，，，，即，，，解得：，或，或，又，或.故答案为：或.【变式7-1】如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：(1)求的模；(2)求的值；(3)求证：平面.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的模长公式可求得结果；（2）利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值；（3）利用空间向量法可证得，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立.(1)解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则，，所以，，则.(2)解：依题意得、、、，所以，，，，又，，所以，.(3)证明：依题意得、、、、，则，，，所以，，，则，，即，，又因为，所以，平面.同步巩固练习一、单选题1．已知空间向量，，，则下列结论正确的是（

）A．且 B．且C．且 D．以上都不对【答案】C【分析】根据空间向量垂直平行的性质判断即可【详解】由题，因为，故，又，故故选：C2．向量，若，则的值为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】根据空间向量平行的坐标公式即可求出结果.【详解】由题意可得知，则，因此，所以，故选：C.3．在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】由空间向量垂直的坐标表示计算．【详解】由题意，，，，因为，所以，．故选：A．4．在空间直角坐标系中，若，，与的夹角为，则的值为（

）A．1 B． C．或 D．17或【答案】D【分析】根据题意，结合空间向量的数量积的运算公式和空间向量的夹角公式，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量，，可得，，，因为与的夹角为，可得，即，整理得，解得或.故选：D.5．若平面､的法向量分别为，，且，则等于（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据平面垂直可知法向量垂直，利用数量积为0求解即可.【详解】,平面､的法向量分别为，，，,解得，故选：D6．如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（

）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】根据给定条件建立空间直角坐标系，令，用表示出点E，F坐标，再由两点间距离公式计算作答.【详解】依题意，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设，则，设，有，线段EF长最短，必满足，则有，解得，即，因此，，当且仅当时取“=”，所以线段EF长的最小值为.故选：B二、填空题7．已知，，则_______.【答案】6【分析】根据空间向量的数量积的坐标运算公式即可求解.【详解】由，，得，，..故答案为：.8．如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周).若，则点S与P距离的最小值是___________．【答案】【分析】以O为原点，OB为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系，求出各点坐标，设，根据求出y，表示出根据函数性质即可求其最小值．【详解】如图，以O为原点，OB为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，设，则，，∵，∴，解得，∴知，当时，点与距离的最小，其最小值为．故答案为：．9．在长方体中，已知AB=2，BC=t，若在线段AB上存在点E，使得，则实数t的取值范围是______．【答案】【分析】如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设，，然后利用空间向量表示出的关系，从而可求得结果【详解】如图，以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，设，，（）则，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以，因为t>0所以实数t的取值范围是，故答案为：三、解答题10．如图，将正三棱柱放在空间直角坐标系中，使得棱AB的中点恰为空间直角坐标系的原点O，A，B两点在x轴上，点C在y轴上，若，，写出，的坐标，并求它们夹角的余弦值．【答案】，【分析】写出四个点的坐标，再利用空间向量的坐标运算可得向量坐标，利用夹角公式可得向量夹角的余弦值.【详解】由已知得，则，.11.如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P在线段AB上，点Q在线段DC上.（1）当，且点P关于y轴的对称点为M时，求的长度；（2）当点P是面对角线AB的中点，点Q在面对角线DC上运动时，探究的最小值.【答案】（1）；（2）最小值【分析】（1）由已知得，进而得，利用两点之间的距离即可得解；（2）由已知得，设点，，利用两点之间距离知，利用二次函数的性质即可得解.【详解】（1）由题意知，，，由，得，又点P关于y轴的对称点为M，所以，利用两点之间的距离可知.（2）点P是面对角线AB的中点时，，点Q在面对角线DC上运动，设点，，则所以当时，取得最小值，此时点.1.3空间向量及其运算的坐标表示随堂检测1.已知向量，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由空间向量的坐标运算求解【详解】，，则故选：C2.空间中，与向量同向共线的单位向量为（

）A． B．或C． D．或【答案】C【解析】由已知条件，先求出，从而即可求解.【详解】解：因为，所以，所以与向量同向共线的单位向量，故选：C.3.若向量，，则向量与的夹角为（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】利用向量数量积的定义，直接计算即可.【详解】设向量与的夹角为，且，所以，，所以，故选：D4.已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，用表示出，求得的表达式，结合二次函数的性质求得当时，取得最小值，从而求得点的坐标.【详解】设，则＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.所以当λ＝时，取得最小值，此时＝＝，即点Q的坐标为.故选：C5.在空间直角坐标系中，已知点，，则______．【答案】【分析】由坐标运算求解即可.【详解】故答案为：6.若，，，且共面，则_______.【答案】1【分析】根据向量共面定理，可得到存在不同时为零的实数，使得，列出方程组，解得答案.【详解】由于共面，故存在不同时为零的实数，使得，即，解得，故答案为：17.若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是___________.【答案】【分析】设点的坐标为，由题意可得，即可得到方程组，解得即可求得的坐标．【详解】解