（预习课）2025-2026学年人教A版高二数学寒假讲义09 直线与圆、圆与圆的位置关系+随堂检测（教师版）

第②点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出．注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．（2）常见圆的切线方程过圆上一点的切线方程是；过圆上一点的切线方程是．过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为过曲线上，做曲线的切线，只需把替换为，替换为，替换为，替换为即可，因此可得到上面的结论．（3）两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．题型八：公切线问题【例题8-1】已知圆．若圆与圆有三条公切线，则的值为___________．【答案】【解析】由，得，所以圆的圆心为，半径为，因为圆，所以圆的圆心为，半径为，因为圆与圆有三条公切线，所以圆与圆相外切，即，解得，所以的值为．故答案为：．【变式8-1】若直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如下图所示，设直线交轴于点，由于直线与圆，圆都相切，切点分别为、，则，，，，为的中点，为的中点，，由勾股定理可得．故选：C．【变式8-2】已知点M，N分别在圆与圆上，则的最大值为（

）A． B．17 C． D．15【答案】C【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，则．故选：C【方法技巧与总结】利用几何法进行转化．题型九：圆中范围与最值问题【例题9-1】已知直线与圆交于不同的两点，，点，则的最大值为______．【答案】【解析】解由，得．设，，则，，因为，所以．令，则，，所以，当且仅当时等号成立．所以的最大值为．故答案为：．【变式9-1】直线分别与x轴､y轴相交于A､B两点，点P在圆上运动，则面积的最小值为___________．【答案】2【解析】直线分别与轴，轴交于，两点，，，则，点在圆上，圆心为，则圆心到直线距离，故点到直线的距离的范围为，则．的最小值为．故答案为：．【变式9-2】若点M为圆上任意一点，直线过定点P，则的最大值为______．【答案】【解析】整理直线方程得，由，得，所以．由圆的方程知圆心，半径，所以．故答案为：【变式9-3】当圆的圆心到直线的距离最大时，（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为圆的圆心为，半径，又因为直线过定点A（-1，1），故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时有，即，解得．故选：C．【变式9-4】已知圆．（1）直线过点，且与圆C相切，求直线的方程；（2）设直线与圆C相交于M，N两点，点P为圆C上的一动点，求的面积S的最大值．【解析】（1）由题意得C（2，0），圆C的半径为3．当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－l＝k（x＋1），即kx－y＋k＋1＝0，由直线与圆C相切，得，解得，所以直线的方程为4x－3y＋7＝0．当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然与圆C相切．综上，直线的方程为x＝－1或4x－3y＋7＝0．（2）由题意得圆心C到直线的距离，设圆C的半径为r，所以r＝3，所以，点P到直线距离的最大值为，则的面积的最大值．【方法技巧与总结】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题同步巩固练习一、单选题1．设圆，圆，则圆，的公切线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】B【解析】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线．故选：B．2．求与直线平行且将圆的周长平分的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圆的圆心坐标，所求直线将圆平分，则直线过圆的圆心，又因为与直线平行，则所求直线的斜率为，利用点斜式得到直线方程为，整理成一般式为故选：C3．设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．15【答案】B【解析】由圆，可知圆心，半径为3，又，所以，即点的轨迹方程为，故点到点距离的最小值为.故选：B.4．若点C到的距离之比为，则点C到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，即，化简得，所以点的轨迹为以为圆心，的圆，则圆心到直线的距离，所以点C到直线的距离的最小值为；故选：A.5．古希腊数学家阿波罗尼斯（约前262—前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值为（

）A．1 B．5 C．1或5 D．不存在【答案】C【解析】设点P∵即整理得：∴点P的轨迹为以为圆心，半径的圆，∵圆的为圆心，半径的圆，由题意可得：或∴或故选：C．二、填空题6．直线与半圆有两个交点，则的值是____．【答案】【解析】由半圆，即，如图所示，当直线在第三象限与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，解得：或(舍去)，当直线过点时，直线与圆有两个交点和，把代入中，可得，解得，则直线与圆有两个交点时，的范围是．故答案为：三、解答题7．已知圆，平面上一动点P满足：且，.(1)求动点P的轨迹方程；(2)过点N的直线l（斜率为正）交圆G于A､C两点，交P的轨迹于B､D两点（A､B在第一象限），若，求直线l的方程.【解析】(1)设，则，整理得：.(2)由题知l斜率为正，设直线，则原点到直线l的距离为：，故，又圆，所以圆心，半径为2，所以G到直线l的距离为：，故，又，所以，所以，整理得：，解得：，（舍负），所以直线l的方程为：.8．已知直线过定点，且与圆交于、两点．(1)求直线的斜率的取值范围．(2)若为坐标原点，直线、的斜率分别为、，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解析】（1）圆的标准方程为，圆心为，半径为.若直线的斜率不存在，此时直线与圆相切，不合乎题意.所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，由题意可得，解得.因此，直线的斜率的取值范围是.（2）设，，设直线的方程为.联立，得，其中，所以，，则，所以为定值.2．5直线与圆、圆与圆的位置关系随堂检测1.圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2x+y+1＝0的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能【答案】C【解析】圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为，半径，圆心到直线2x+y+1＝0的距离由，可得圆与直线的位置关系为相交．故选：C2.过点作圆的切线，则切线方程为（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】由圆心为，半径为，斜率存在时，设切线为，则，可得，所以，即，斜率不存在时，显然不与圆相切；综上，切线方程为．故选：C3.已知两圆分别为圆和圆，这两圆的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切【答案】B【解析】由题意得，圆圆心，半径为7；圆，圆心，半径为4，两圆心之间的距离为，因为，故这两圆的位置关系是相交．故选：B．4.若直线y＝x+b与曲线x恰有一个公共点，则b的取值范围是（）A．﹣1＜b≤1B．﹣1≤b≤1C．b≤﹣1D．﹣1＜b≤1或b【答案】D【解析】曲线x即x2+y2＝1（x≥0）表示一个半径为1的半圆，如图所示．当直线y＝x+b经过点A（0，1）时，求得b＝1，当直线y＝x+b经过点B（1，0）时，求得b＝﹣1，当直线和半圆相切于点D时，由圆心O到直线y＝x+b的距离等于半径，可得1，求得b，或b（舍去）．故当直线y＝x+b与曲线x恰有一个公共点时b的取值范围是﹣1＜b≤1或b，故选：D．5.如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】问题可转化为圆和圆相交，两圆圆心距，由得，解得，即．故选：D6.已知直线过点且斜率为1，若圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】直线过点且斜率为1，设，圆上恰有3个点到的距离为1，圆心到直线的距离等于半径减去1，圆心到直线的距离为，解得．故选：D．7.过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，即，圆心为，半径．当斜率不存在时，直线与圆相切，切点为；当斜率为0时，直线与圆相切，切点为．故直线方程为斜率，直线方程为，即．故选：A．8.在平面直角坐标系中，圆：与圆：，则两圆的公切线的条数是（

）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条【答案】A【解析】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，，显然，即圆与圆外离，所以两圆的公切线的条数是4．故选：A9.已知点在圆上运动，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】看作圆上的点到点的直线的斜率的相反数．当经过点的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，设切线方程为，所以圆心到切线的距离等于半径，故，解得故当时，切线斜率最小，此时最大，最大值为，故选：C10.直线与圆C：相交于M，N两点，则______．【答案】4【解析】圆C：，其圆心坐标为，半径为3．圆心到直线2x－y＋1＝0的距离，则．故答案为：4．11.设圆的圆心为C，直线l过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线l的方程为___________．【答案】或【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，由，得或，此时，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线，因为圆的圆心，半径，所以圆心C到直线l的距离．因为，所以，解得，所以直线l的方程为，即．综上，直线l的方程为或．故答案为：或12.圆与圆的公共弦长为______．【答案】【解析】设圆：与圆：交于，两点把两圆方程相减，化简得即：圆心到直线的距离，又而，所以故答案为：13.已知圆：与：相交于A、B两点．（1）求公共弦AB所在的直线方程；（2）求圆