2026届新高考数学热点精准复习 定点、定值问题

2026届新高考数学热点精准复习定点、定值问题题型一

定点问题(2)若直线l与C交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，其中x1x2≠0，且直线MP，MQ的斜率之和为2，探究：l是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．【答案】(2)是，(－1，－1)【解析】(2)l过定点(－1，－1)．由(1)可知C：

＋y2＝1，M(0，1)．①当l的斜率存在时，设l：y＝kx＋t(t≠±1)，则Δ＝(8kt)2－4(1＋4k2)(4t2－4)＝16(4k2－t2＋1)，由题知P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以l的方程为y＝kx＋k－1，即y＝k(x＋1)－1，所以l过定点(－1，－1)．②当l的斜率不存在时，设l：x＝m(m≠0)，则P(m，y1)，Q(m，－y1)，解得m＝－1，此时l也过定点(－1，－1)．综上所述，l过定点(－1，－1)．状元笔记定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点；(2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．(2)过点(－2，3)的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．【解析】(2)证明：由题意可知，直线PQ的斜率存在，设直线PQ：y＝k(x＋2)＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，【答案】(2)证明见解析则由Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1728k>0，解得k<0，题型二

定值问题【答案】(2)证明见解析即M(2m＋2，2m＋1)，所以|PM|2＝(2m＋2－2)2＋(2m＋1－1)2＝8m2.Δ＝(－4m)2－4(－4m2－4)＝32m2＋16>0恒成立，由根与系数的关系可得，x1＋x2＝4m，x1x2＝－4m2－4，所以|MA|2·|MB|2＝[(x1－xM)2＋(y1－yM)2][(x2－xM)2＋(y2－yM)2]状元笔记圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式中参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的表达式，再利用题设条件化简、变形，即可求得定值．(3)求某线段的长度为定值．利用长度公式求得表达式，再依据条件对表达式进行化简、变形，即可求得定值．

思考题2

(2025·沧衡名校期末联考)已知双曲线E是关于x轴和y轴均对称的等轴双曲线，且经过点(4，

)．(1)求E的方程；【解析】(1)因为E是关于x轴和y轴均对称的等轴双曲线，故可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，(2)若A(m，n)是E上一动点，直线mx－ny＝8与E交于B，C两点，证明：△ABC的面积为定值．【答案】(2)证明见解析【解析】(2)证明：因为A(m，n)在E上，所以m2－n2＝4.将m2＝4＋n2代入，可得y2－4ny＋n2－12＝0.所以Δ＝16n2－4(n2－12)＝12n2＋48>0.设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则y1＋y2＝4n，y1y2＝n2－12，一道高考题的变式(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明：点P在定直线上．【答案】(2)证明见解析【解析】(2)证明：如图，依题意设直线MN的方程为x＝my－4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，易知A1(－2，0)，A2(2，0)，点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，证明：直线MA1与NA2的斜率之比为定值．【答案】证明见解析【证明】依题意设直线MN的方程为x＝my－4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，易知A1(－2，0)，A2(2，0)．线l与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2的交点P在定直线x＝－1上．证明：直线l过定点．【答案】证明见解析【证明】设P(－1，t)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，易知A1(－2，0)，A2(2，0)．∴直线l过定点(－4，0)．过点F2的动直线交双曲线E于A，B两点，当直线AB与x轴垂直时，|AB|＝6.(1)求双曲线E的标准方程；(2)设直线AF1与直线l的交点为P，