第二章一元二次函数、方程和不等式章末小结-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第2章

一元二次函数、方程和不等式

章末小结目录索引知识网络·整合构建专题突破·素养提升易错易混·衔接高考知识网络·整合构建专题突破·素养提升专题一不等式及其性质1.不等式及其性质贯穿整个高中数学阶段,只要是涉及范围的问题,都和不等式有关,在高中数学中有着很高的地位.2.掌握不等式的运算性质,重点提升数学抽象和逻辑推理素养.

D

(2)对于实数a,b,c,下列命题正确的是(

)A.若a>b,则ac2>bc2B.若a>b,则a2>b2C.若a>b,则a|a|>b|b|C解析

A选项,ac2-bc2=(a-b)c2≥0,故A错误;B选项,a2-b2=(a-b)(a+b),因为无法确定a+b的正负,故B错误;C选项,当a>b>0时,a|a|-b|b|=a2-b2=(a-b)(a+b)>0;当a>0>b时,a|a|-b|b|=a2+b2>0,当0>a>b时,a|a|-b|b|=-a2+b2=(b-a)(a+b)>0.规律方法

不等式及其性质的两个关注点(1)作差法是比较两个实数大小的基本方法.(2)应用不等式的基本性质可以证明不等式,但一定要注意应用条件;当判断不等式是否成立时,常常选择特殊值法.

BD

(2)已知0≤a+b<1,2≤a-b<3,则b的取值范围是

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基本不等式(a>0,b>0)是高考热点,主要考查实数比较大小、不等式证明以及求最值问题,特别是求最值问题往往与实际问题相结合,同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题,实际上是考查学生恒等变形的技巧,另外,基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现.重点提升数学抽象和数学运算能力.专题二基本不等式及应用

ACD

6规律方法1.注意寻求已知条件与目标式子之间的联系.2.利用添项和拆项的配凑方法,使积(或和)产生定值.特别注意“1”的代换.变式训练2已知x>0,y>0.(1)若x+9y+xy=7,求3xy的最大值;专题三解一元二次不等式1.对于不含参数的一元二次不等式首先转化为标准形式(二次项系数为正),然后能分解因式的变成因式相乘的形式,从而得到不等式的解集.2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论,做到不重不漏.【例3】

已知关于x的方程x2+ax+4=0有实根,集合B={x|x2+(3-b)|x|-3b>0}.(1)求实数a的取值集合A;(2)在(1)的条件下,若A∪B=A,求实数b的取值范围.解

(1)方程x2+ax+4=0有实根,则Δ=a2-16≥0,解得a≤-4或a≥4,所以A={a|a≤-4或a≥4}.(2)若A∪B=A,则B⊆A,B={x|(|x|+3)(|x|-b)>0},得到|x|-b>0,若b≤0,则B=R,A⊆B,不合题意,舍去,所以b>0,|x|-b>0得到x>b或x<-b,所以b≥4.综上,实数b的取值范围为{b|b≥4}.规律方法对于含参数的一元二次不等式,若二次项系数为常数,则可先考虑分解因式,再对参数进行讨论;若不易分解因式,则可对判别式分类讨论,分类要不重不漏.

解

(1)因为不等式ax2-3x+2>0的解集为{x|x<1或x>b},所以a×12-3×1+2=0,所以a=1,所以x2-3x+2>0,即(x-1)(x-2)>0,解得x<1或x>2,所以b=2.

专题四不等式的实际应用本专题主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,构建数学模型是关键,重点培养数学建模和数学运算素养,不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题.

规律方法认识数学模型在科学、社会工程等诸多领域的作用,提升建模能力、实践能力,最后不要忘记对数学结论的还原以验证是否符合实际情况.

易错易混·衔接高考1.如果a<b<0,那么下列式子中一定成立的是(

)A解析

由a<b<0,得a2>ab>0,A正确;由a<b<0,得-a>-b>0,则a2>b2,B错误;2.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则a的取值范围是(

)A.{a|a≤2} B.{a|-2≤a≤2}C.{a|-2<a≤2} D.{a|-2<a<2}C解析

当a-2=0,即a=2时,不等式为-4<0,对一切x∈R恒成立.综上,实数a的取值范围是-2<a≤2.故选C.

C

4.(2022新高考Ⅱ,12)(多选题)若实数x,y满足x2+y2-xy=1,则(

)A.x+y≤1 B.x+y≥-2C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1BC5.(2024上海,3)已知x∈R,则不等式x