对数的概念2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

4.3.1对数的概念学习目标1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质.2.掌握指数式与对数式的互化,能够应用对数的定义和性质解方程.3.理解常用对数和自然对数的定义形式以及在科学实践中的应用.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引基础落实·必备知识一遍过知识点1

对数的概念1.对数的定义:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.对数运算是指数运算的逆运算2.两种特殊的对数:

名称定义常用对数将以

为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为

自然对数e是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.71828.把以

为底的对数称为自然对数,并把logeN记作

名师点睛“log”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.10lgNelnN思考辨析1.任意式子ax=N都可以直接化为对数式吗?2.为什么logaN(a>0,且a≠1)中N>0时才能有意义?提示

并非任意式子ax=N都可以直接化为对数式,如(-3)2=9就不能直接写成log(-3)9=2,只有符合a>0,a≠1且N>0时,才有ax=N⇔x=logaN.提示

依据对数的定义,若ax=N(a>0,且a≠1),则x=logaN,对于a>0,且a≠1,不论x取何实数总有ax>0,故需N>0.3.在对数的概念中,为什么规定a>0,且a≠1呢?提示

因为若a<0,则N取某些值时,x的值可能不存在,如x=log(-2)8不存在;若a=0,则当N不为0时,x的值不存在,如x=log02不存在,当N为0时,x的值可以为任何正数,不是唯一的,即x=log00有无数个值;若a=1,N不为1时,x的值不存在,如x=log13不存在,N为1时,x的值可以为任何数,不是唯一的,即x=log11有无数多个值.因此,我们规定:a>0,且a≠1.自主诊断1.(北师大版教材习题改编)因为

=64,所以log1664=

.2.在对数式y=log(x-2)(4-x)中,实数x的取值范围是

.

(2,3)∪(3,4)3.(苏教版教材例题)将下列指数式改写成对数式:知识点2

对数的基本性质1.对数与指数间的关系(1)当a>0,a≠1时,ax=N⇔x=logaN.2.对数的基本性质(1)负数和0没有对数.

名师点睛1.对数恒等式的特点:(1)指数中含有对数形式;(2)同底,即幂的底数和对数的底数相同;(3)其结果为对数的真数.2.loga1=0,logaa=1可简述为“1的对数等于0,底的对数等于1”.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)只有负数没有对数.(

)(2)底数不同的两个对数值可能相等.(

)×√D

100解析

原式=3+2×0-3×1+3×0=0.重难探究·能力素养速提升探究点一对数的概念与求值【例1】

(1)若代数式log8(x2-2x-3)有意义,则实数x的取值范围为(

)A.(-∞,-1)B.(-1,3)C.(3,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)D解析

由题可得x2-2x-3>0,解得x<-1或x>3,故实数x的取值范围为(-∞,-1)∪(3,+∞).故选D.

规律方法求对数式logaN=m(a>0,且a≠1,N>0)中的有关量的方法:将logaN=m写成指数式am=N后将N写成以a为底的指数幂N=ab,则m=b,即logaN=b.

B

探究点二对数式与指数式的互化

规律方法

将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变.

探究点三对数恒等式求值【例3】

求下列各式中x的值:(1)ln(log2x)=0;

(2)log2(lgx)=1;解

(1)∵ln(log2x)=0,∴log2x=1,∴x=21=2.(2)∵log2(lg

x)=1,∴lg

x=2,∴x=102=100.规律方法

1.利用对数性质求解两类问题的解法:(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外,逐步脱去“log”后再求解,如求loga(logbc)的值,先求logbc的值,再求loga(logbc)的值.(2)注意结论的应用:若logaf(x)=0,则f(x)=1;若logaf(x)=1,则f(x)=a,其中a>0,且a≠1.2.对指数中含有对数值的式子进行化简、求值时,应充分考虑对数恒等式的应用.对数恒等式

=N(a>0,且a≠1,N>0)的结构形式:(1)指数中含有对数式;(2)它们是同底的;(3)结果为对数的真数.变式训练3求下列各式中x的值:(1)ln(lgx)=1;(2)log2(log5x)=0;解

(1)∵ln(lg

x)=1,∴lg

x=e,∴x=10e.(2)∵log2(log5x)=0,∴log5x=1,∴x=5.学以致用·随堂检测促达标123451.对数log(a-2)(5-a)中实数a的取值范围是(

)A.(-∞,5) B.(2,5)C.(2,3)∪(3,5) D.(2,+∞)C12345B123453.log4(log5