三角函数的周期性（课件）-高一数学考试满分全备考（苏教版2019必修一）

7.3三角函数的图象和性质7.3.1三角函数的周期性

苏教版2019高一数学（必修一）第七章三角函数0203050604

典型例题（含课本例题）

知识点讲解

情景导入

课堂小结

课堂练习（含课本练习）01学习目标目录/CONTENTS学习目标1.理解周期函数，最小正周期的定义.2.会求正、余弦函数和正切函数的周期.3.能够判断实际问题中的周期.4.通过周期函数的定义和周期函数在实际中的应用，重点提升数学抽象、逻辑推理素养.情景导入由单位圆中的三角函数线可知,正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象.每当角增加(或减少)2π,所得角的终边与原来角的终边相同,故两角的正弦、余弦函数值也分别相同,即有sin(2π+x)=sinx，cos(2π+.x)=cosx正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性.新知探究如何用数学语言刻画函数的周期性?若记f(x)=sinx,则对于任意x∈R,都有f(x+2π)=f(x).一般地，设函数y=f(x)的定义域为A.如果存在一个非零的常数T,使得对于任意的x∈A,都有x+T∈A,并且f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫作周期函数(periodicfunction),非零常数T叫作这个函数的周期(period).易知2π是正弦函数和余弦函数的周期,且4π，6π，…以及一2π，一4π，…都是正弦函数和余弦函数的周期,即每一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期.思考一个周期函数的周期有多少个?周期函数的图象具有什么特征?对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么,这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期(minimumpositiveperiod).例如,2π是正弦函数的所有周期中的最小正数(同学们可从单位圆中正弦线的变化特征看出这一结论,其证明见本节后“链接”),所以2π是正弦函数的最小正周期;同样地,2π也是余弦函数的最小正周期.因此,正弦函数和余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期,它们的最小正周期都是2π.通过观察正切线不难发现,正切函数y=tanr也是周期函数,并且最小正周期是π。今后本书中所说的周期,如果不加特别说明,一般都是指函数的最小正周期.课本例题例1已知作周期性运动的钟摆的高度h(单位:mm)与时间t(单位:s)之间的函数关系如图7-3-1所示.(1)求该函数的周期;(2)求t=10s时钟摆的高度.解(1)由图象可知,该函数的周期为1.5s.(2)设h=f(t),由函数f(t)的周期为1.5s,可知f(10)=f(1+6x1.5)=f(1)=20.所以t=10s时钟摆的高度为20mm.例2 求函数f(x)=cos2x的周期.解设f(x)周期为T,则f(x+T)=f(x),即cos2(x+T)=cos2.x对任意实数x都成立.也就是cos(u+2T)=cosu对任意实数u都成立,其中u=2x.由y=cosu的周期为2π,可知使得cos(u+2T)=cosu对任意实数u都成立的2T的最小正值为2π,可知2T=2π，即T=π.所以f(x)=cos2x的周期为π.一般地，

课本练习

4．弹簧振子相对平衡位置的位移x(cm)与时间t(s)的函数关系如图所示.(1)求该函数的周期；(2)求t=10.5s时弹簧振子相对平衡位置的位移.解：（1）由题图可知，该函数的周期为4s.（2）设x=f(t)，由函数的周期为4s，可知f(10.5)=f(2.5+2×4)=f(2.5)=-8(cm)，故t=10.5s时弹簧振子相对平衡位置的位移为-8cm.题型分类讲解题型一求三角函数的周期解法一设f(x)的周期为T，∴T＝4π，(3)利用周期函数的定义，f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|－sinx|＝|sinx|＝f(x).∴f(x)＝|sinx|的周期为π.解析①y＝cos|x|＝cosx，周期为2π；②y＝|cosx|，周期为π，正确；故选D.D题型二周期函数在实际中的应用3.若单摆中小球相对静止位置的位移x(cm)随时间t(s)的变化而周期性地变化，如图所示，请回答下列问题：(1)单摆运动的周期是多少？(2)从O点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A点算起呢？(3)当t＝11s时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？解(1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4s.(2)若从O点算起，到曲线上的D点表示完成了一次往复运动；若从A点算起，则到曲线上的E点表示完成了一次往复运动.(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11s相对于静止位置的位移是0cm.4.若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示.解(1)由图象可知，该函数的周期为1.5s；(2)设h＝f(t)，由函数f(t)的周期为1.5s，可知f(10)＝f(1＋6×1.5)＝f(1)＝20，