运用完全平方公式分解因式课件人教版数学八年级上册

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因式分解整式乘法1完全平方公式及描述：(a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，这两个公式叫作完全平方公式．2因式分解与整式乘法的关系：a2±2ab+b2(a±b)2复习导入基本概念1运用完全平方公式分解因式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2−2ab+b2=(a−b)2两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．2错误写法：a2+2ab+b2=(a+b)(a+b)✘a2−2ab+b2=(a−b)(a−b)✘理由：分解因式时，相同因式没有写成幂的形式．基本概念3公式特点：左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方（平方项），另一项是两个整式的2倍（乘积项），符号可正可负；右边是两个整式的和（或差）的平方，中间的符号与左边的乘积项的符号相同．把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式.运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法.对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法.基本概念4特别关注12运用完全平方公式分解因式时，应注意熟练把握公式的结构特征，避免出现符号、项数上的错误．运用完全平方公式分解因式时，避免与平方差公式混淆．3运用完全平方公式分解因式时，有公因式应先提公因式．经典例题例1分解因式：（1）x²+4x+4；（2）16x²−24x+9.分析：在（1）中，由于4=2²，4x=2·x·2，所以x²+4x+4是一个完全平方式，即

x²+4x+4=x²+2·x·2+2²

a²+2·a·b+b²在（2）中，由于16x²=(4x)²，9=3²，24x=2·4x·3，所以16x²−24x+9是一个完全平方式.解：（1）x²+4x+4=x²+2·x·2+2²=(x+2)²；（2）16x²−24x+9=(4x)²−2·4x·3+3²=(4x−3)².例2分解因式：（1）(a+b)²−12(a+b)+36；（2）−x²+4xy−4y².分析：在（1）中，将a+b看作一个整体，设a+b=m，则原式化为完全平方式m²−12m+36;对于（2），可通过添括号将原式写成−(x²−4xy+4y²)，括号内的式子为完全平方式.解：（1）(a+b)²−12(a+b)+36=(a+b)²−2·(a+b)·6+6²=(a+b−6)²；（2）−x²+4xy−4y²=−(x²−4xy+4y²)=−[x²−2·x·2y+(2y)²]=−(x−2y)².经典例题例3分解因式：（1）x4−y4；（2）a³b−ab.分析：在（1）中，x4−y4可以写成(x²)²−(y²)²的形式，可用公式法分解因式;对于（2），a³b−ab的两项有公因式ab，可以先提出公因式，再进一步分解因式.解：（1）x4−y4=(x²+y²)(x²−y²)=(x²+y²)(x−y)(x−y)；（2）a³b−ab=ab(a²−1)=ab(a+1)(a−1).经典例题例4分解因式：（1）3ax²+6axy+3ay²；（2）−ax²+2a²x−a³.分析：先提出公因式，再用公式法进一步分解因式.解：（1）3ax²+6axy+3ay²=3a(x²+2xy+y²)=3a(x+y)²；（2）−ax²+2a²x−a³=−a(x²−2ax+a²)=−a(x−a)².经典例题随堂练习下列多项式是不是完全平方式？为什么？（1）a²−4a+4；（2）1+4a²；（3）4b²+4b−1；

（4）a²+ab+b².练习1解：（1）a²−4a+4=(a−2)²，是完全平方式；

（2）1+4a²，只有两项，不是完全平方式；（3）4b²+4b−1，末项符号不对，不是完全平方式；（4）a²+ab+b²，中间项不符合2ab，不是完全平方式.随堂练习分解因式：练习2（1）a²+2a+1；（2）x²−12x+36；（3）4x²−4x+1；（4）4p²+12pq+9q²；（5）(x+y)²−10(x+y)+25；（6）−2xy−x²−y².解：（1）a²+2a+1=(a+1)²；

（2）x²−12x+36=(x−6)²；（3）4x²−4x+1=(2x−1)²；

（4）4p²+12pq+9q²=(2p+3q)²；（5）(x+y)²−10(x+y)+25=(x+y−5)²；（6）−2xy−x²−y²=−(x²+2xy+y²)=−(x+y)².随堂练习分解因式：练习3（1）x²y−4y；（2）a³−2a²+a；（3）ax²+2a²x+a³；（4）−a4+16；（5）3a−6ax+3ax²；（6）−4bx²+8bxy−4by².解：（1）x²y−4y=y(x²−4)=y(x+2)(x−2)；

（2）a³−2a²+a=a(a²−2a+1)=a(a−1)²；

（3）ax²+2a²x+a³=a(x²+2ax+a²)=a(x+a)²；

（4）−a4+16=−[(a²)²−4²]=−(a²+4)(a²−4)=−(a²+4)(a+2)(a−2)；（5）3a−6ax+3ax²=3a(x²−2x+1)=3a(x−1)²；（6）−4bx²+8bxy−4by²=−4b(x²−2xy+y²)=−4b(x−y)².随堂练习分解因式：（1）(a−b)²+4ab；（2）(p−4)(p+1)+3p.练习4解：（1）(a−b)²+4ab=a²−2ab+b²+4ab=a²