三角形全等的判定-第5课时用“HL”判定直角三角形全等课件人教版八年级数学上册

1.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.2.灵活运用直角三角形全等的判定方法进行证明计算.

前面我们学习了哪些三角形全等的判定方法？直角三角形又有怎样特殊的判定方法呢?让我们来一起研究一下这个问题吧！回顾边边边(SSS)；边角边(SAS)；角边角(ASA)；角角边(AAS).

前面学习的三角形全等的判定方法，对满足条件的三角形都是适用的，同样也适用于直角三角形.因为两个直角三角形的直角相等，请你列出其他两个使直角三角形全等的条件.

如果满足斜边和一直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗?思考1.两条直角边分别相等(SAS)；2.斜边和一个锐角分别相等(AAS或ASA).探究

如图，在△ABC和△A'B'C′中，∠C′=∠C=90°，A′B′=AB，B'C′=BC.这两个三角形全等吗?ACBA′C′B′

如图，由∠C′=∠C=90°可知，如果使点C′与点C重合，并且使射线C′A'与射线CA重合，那么射线C′B'与射线CB重合.再由B'C′=BC，可知点B′与点B重合.

为了判断点A'与点A是否重合，我们讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关系.

设点M在直角边AC(不包括端点)上，连接BM，则∠BMA>∠C，∠BMA是钝角.若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M'，则有AB>BM′>BM.设点N在线段CA的延长线上，连接BN，同理可得BN＞AB.B(B′)C(C′)A(A′)MM′N

在今后的学习中，我们将用勾股定理证明这个判定方法.

因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个.再由点A′在射线CA上，A'B′=AB，可知点A'与点A重合.这样，△A'B'C′的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合，△A'B'C′与△ABC能够完全重合，因而△A'B'C′≌△ABC.斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等.(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).判定直角三角形全等的方法:归纳总结用符号语言表达：在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，∵BC=B'C'AB=A'B'∴△ABC≌△A'B'C'

(HL).B'A'C'BAC例

如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.求证：BC=AD.ABCD分析：如果能证明Rt△ABC≌Rt△BAD，就可以得出BC=AD.由题意可知，Rt△ABC和Rt△BAD具备“斜边、直角边”的条件.证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C=∠D=90°.在Rt△ABC

和Rt△BAD

中，

AB=BA，

AC=BD，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，∴BC=AD.ABCD例

如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.求证：BC=AD.变式

如图，已知AD⊥BE，垂足C是BE的中点，AB=DE.求证：AB∥DE.证明：∵AD⊥BE，∴∠ACB=∠DCE=90°，∴△ACB和△DCE是直角三角形.∵C是BE的中点，∴BC=EC.在Rt△ACB和Rt△DCE中，∴△ACB≌△DCE(HL)，∴∠B=∠E，∴AB∥DE.AB=DEBC=ECABCDE1.如图，要用“HL”判断Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是()CA.

AC=DF，BC=EFB.∠A=∠D，AB=DE

C.

AC=DF，AB=DED.∠B=∠E，BC=EF

2.如图所示，已知在△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B=28°，则∠AEC=()A.28°

B.59°C.60°

D.62°BACDBE3.(结论开放)如图，点A，B，C，D四个点在同一条直线上，∠BED=∠CFA=90°，且AB=CD，若要使Rt△ACF≌Rt△DBE，则可以添加的条件是

(请写出一个答案即可).CF=BE(答案不唯一)4.如图AB=AE，BC=ED，AB⊥BF，AE⊥EF，F是CD上一点，∠C=∠D=90°，证明：Rt△BCF≌Rt△EDF.证明：如图，连接AF，∵AB⊥BF，AE⊥EF，∴∠ABF=∠AEF，在Rt△ABF和Rt△AEF中，∴Rt△ABF≌Rt△AEF(HL)，∴BF=EF，在Rt△BCF和Rt△EDF中，∴Rt△BCF≌Rt△EDF(HL).AF=AFAB=AEBF=EFBC=ED5.如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E，F，若BE=CF，写出图中所有的全等三角形，并说明理由.解：①△BCF≌△CBE；∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠CFB=∠BEC=90°，∵BE=CF，BC=BC，∴△BCF≌△CBE(HL);②△ABE≌△ACF；∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠AFC=∠AEB=90°，∵BE=CF，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACF(AAS);5.如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E，F，若BE=CF，写出图中所有的全等三角形，并说明理由.解：③△BOF≌△COE；设BE与CF相交于点O，∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠OFB=∠OEC，由①知△BCF≌△CBE，∴BF=CE，