三角形的内角（第1课时）课件-人教版八年级数学上册

13.3.1三角形的内角（第1课时）人教版（2024）数学八年级上册第十三章三角形1．经历探索并证明三角形内角和定理的过程，发展几何直观和推理能力．2．能运用三角形的内角和定理解决简单问题．3.添加辅助线证明三角形的内角和定理，规范表述推理论证的过程．学习目标

我们在小学就已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？请大家回忆小学时的学习经验，借助手中的三角形纸片进行探究．思考通过度量，剪图、拼图或折叠的方法，可以验证三角形的内角和等于180°．你们认为，通过这样的方法获得的结论具有信服力吗？思考由于测量常常有误差，这样的验证方法不能完全令人信服；同时，由于形状不同的三角形有无数多个，我们手中的三角形只是所有三角形中有限的几个，不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和都等于180°．因此，需要通过推理的方法去证明“任意一个三角形的内角和一定等于180°”．根据下面的剪拼过程，你能受到启发，发现证明的思路吗？问题1想一想，直线l与△ABC的边BC有什么关系？直线l∥BC.BBlACABCC问题1由上述拼合过程得到启发，过△ABC的顶点A作直线l平行于△ABC的边BC，那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论．试着写出完整的证明过程BBlACABCC根据下面的剪拼过程，你能受到启发，发现证明的思路吗？已知：△ABC．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．ABC2l5413

证明：如图，过点A作直线l，使l∥BC．∵l∥BC，

∴∠2＝∠4（两直线平行，内错角相等）．同理∠3＝∠5．∵∠1，∠4，∠5组成平角，∴∠1＋∠4＋∠5＝180°（平角定义）．∴∠1＋∠2＋∠3＝180°（等量代换）．归纳以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180°，得到如下定理．

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．通过前面的证明过程，同学们受到了什么启发？根据下面的剪拼过程，你能想出证明三角形内角和定理的其他方法吗？BACABABCl试着写出完整的证明过程．已知：△ABC．求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．ABC25413l

证明：如图，延长BC，过点C作直线l，使l∥AB．∵l∥AB，

∴∠1＝∠4（两直线平行，内错角相等）．∠2＝∠5（两直线平行，同位角相等）．∵∠3，∠4，∠5组成平角，∴∠3＋∠4＋∠5＝180°（平角定义）．∴∠1＋∠2＋∠3＝180°（等量代换）．

例1

如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数．

ACBD解：由∠BAC＝40°，AD

是△ABC

的角平分线，得∠BAD＝∠BAC＝20°．在△ABD中，∠ADB＝180°－∠BAD－∠B＝180°－20°－75°

＝85°．

例2

如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向．从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？分析：A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角．如果能求出∠CAB，∠ABC，根据三角形的内角和定理，就能求出∠ACB．CEBDA北北

解：∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°．

由

AD∥BE，得∠BAD＋∠ABE＝180°．

所以

∠ABE＝180°－∠BAD＝180°－80°＝100°，∠ABC＝∠ABE－∠CBE＝100°－40°＝60°．在△ABC中，∠ACB＝180°－∠ABC－∠CAB＝180°－60°－30°＝90°．

答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B

两岛的视角∠ACB

是90°．

CEBDA北北还能想到其他解法吗？

解：如图，过点

C作

CF∥AD，交

AB于

点F，则

CF∥BE．

由CF∥AD，得∠ACF＝∠CAD＝50°，

由CF∥BE，得∠BCF＝∠CBE＝40°，

所以∠ACB＝∠ACF＋∠BCF＝50°＋40°＝90°．

因为∠CAB＝∠BAD－∠CAD＝80°－50°＝30°，

所以∠ABC＝180°－∠ACB－∠CAB

＝180°－90°－30°＝60°．

答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B

两岛的视角∠ACB

是90°．

CEBDA北北F归纳求角度有技巧，一转二计算（1）转移：根据平行线的性质，转移已知角（或所求角）的位置．（2）计算：集中条件应用三角形的内角和定理计算角的度数．

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形B2．如图，将含30°角的三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°C3．如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，且∠C＝80°，则∠D的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．100°A4．如图，从A处观测C处的仰角∠CAD＝30°，从B处观测C处的仰角∠CBD＝55°，从C处观测A，B两处的视角∠ACB的度数是（）A．20°B．25°C．30°D．35°BCABD

5．如图，从A处观测C处的仰角∠CAD＝30°，从B处观测C处的仰角∠CBD＝45°.从C处观测A，B两处的视角∠ACB是多少度？解：在△ACD中，∠ACD＝180°－(∠CAD＋∠D)＝180°－(30°＋90°)＝60°.在△BCD中，∠BCD＝180°－(∠CBD＋∠D)

＝180°－(45°＋90°)＝45°.所以∠ACB＝∠ACD－∠BCD＝60°－45°＝15°.

6．如图，在△ABC中，∠A＝40°，求∠B＋∠C＋∠ADE＋∠AED的度数.CABDE解：在△ADE中，∠ADE＋∠AED＝180

－∠A＝180°－40°＝1