一元一次方程的应用

3一元一次方程的应用第五章一元一次方程第1课时形积变化问题

1.如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（

B

）A.

π×

x＝π×

×（x－5）B.

π×

x＝π×

×（x＋5）C.

π×82x＝π×62×（x＋5）D.

π×82x＝π×62×5（第1题）B1234567892.用一块长、宽、高分别为4cm，3cm，2cm的长方体橡皮泥，捏一个底

面圆半径为1.5cm的圆柱.若圆柱的高为xcm，则可列方程为

⁠

⁠.

4×3×2＝

π×1.52x

3.一个底面圆直径为30cm、高为50cm的圆柱形瓶子里装满了饮料，现

把饮料倒入底面圆直径为10cm的圆柱形小杯中，刚好倒满这样的20杯，

求小杯的高（瓶子与小杯的厚度忽略不计）.123456789

4.某种商品的外包装如图所示，其表面展开图的面积为430dm2，其中

BC＝5dm，EF＝10dm，则AB的长为（

B

）A.

10dmB.

11dmC.

12dmD.

13dm（第4题）B1234567895.如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的底面圆半径为10cm，原容器内

的水面高度为12cm，把一根底面圆半径为2cm的圆柱形玻璃棒垂直插入

水中后（玻璃棒的下底面完全接触玻璃容器的底面），容器内的水面将

升高

⁠cm.（第5题）0.5

1234567896.

（2024·晋中期末）某养牛场为了扩大生产，改善牛的生长环境，培

育出更优质的牛，计划重新设计建造牛棚.小聪和小慧的设计如下：（1）如图①，小聪计划用长为34m的围栏围成一个一边靠墙的长方形

牛棚ABCD，在其中CD一侧开一个1m宽的小门，已知BC比AB长5m，

设AB＝xm.（第6题）123456789①

BC＝

m（用含x的代数式表示）.②请求出牛棚的占地面积.解：（1）②根据题意，得x＋（x＋5）＋（x－1）＝34，解得x＝10.所以AB＝10m，BC＝15m.所以牛棚的占地面积为10×15＝

150（m2）.（x＋5）

123456789（2）受到小聪的启发，小慧计划用长为50m的围栏围成一个如图②所

示一边靠墙的正方形牛棚EFGH，中间用围栏隔开，在GH一侧开两个

1m宽的小门，则该牛棚的占地面积为多少？（第6题）解：（2）设正方形EFGH的边长为ym.根据题意，得3y＋（y－2）＝

50，解得y＝13.所以正方形EFGH的边长为13m.所以牛棚的占地面积为

13×13＝169（m2）.1234567897.如图，有甲、乙两个容器，甲容器中盛满水，乙容器中没有水，现将

甲容器中的水全部倒入乙容器.乙容器中的水会不会溢出？如果不会溢

出，那么请求出倒入水后乙容器中的水深；如果会溢出，那么请说明理

由（容器壁厚度忽略不计）.

（第7题）解：乙容器中的水不会溢出.设甲容器中的水全部倒入乙容器后，乙容

器中的水深为xcm.根据题意，得π×102×20＝π×202x，解得x＝5.因

为5＜10，所以乙容器中的水不会溢出，倒入水后乙容器中的水深为5cm.1234567898.

（2024·保定高碑店期末）如图，将一张正方形纸片剪去一个宽为

3cm的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为1cm的长方

形纸条.（第8题）123456789（1）如果第一次剪下的长方形纸条的周长恰好是第二次剪下的长方形

纸条的周长的2倍，求原正方形纸片的边长.解：（1）设原正方形纸片的边长为xcm.根据题意，得2（x＋3）＝

2×2（x－3＋1），解得x＝7.所以原正方形纸片的边长为7cm.123456789（2）第一次剪下的长方形纸条的面积可不可能是第二次剪下的长方形

纸条面积的3倍（用方程的知识解释）？解：（2）假设第一次剪下的长方形纸条的面积是第二次剪下的长方形

纸条面积的3倍.设正方形纸片的边长为ycm，则3y＝3×1×（y－3）.

整理，得3y＝3y－9，方程无解.所以第一次剪下的长方形纸条的面积

不可能是第二次剪下的长方形纸条面积的3倍.123456789

9.（核心素养·几何直观）如图，一个瓶子的容积为1L（1L＝1000cm3），瓶内装着一些溶液.当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为

20cm，倒放时，空余部分的高度为5cm.现把溶液全部倒在一个底面圆直

径为8cm的圆柱形杯子里（杯子的厚度忽略不计）.求：（第9题）123456789（1）瓶内溶液的体积.

（2）圆柱形杯子内溶液的高度（π取3.14，结果精确到0.1cm）.

1234567893一元一次方程的应用第五章一元一次方程第2课时一元一次方程的应用——借助表格

1.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了一首古算诗：林下牧童闹

如簇，不知人数不知竹.每人六竿多十四，每人八竿恰齐足.其大意如

下：牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿.每人6根

竿，多14根竿；每人8根竿，恰好用完.设牧童有x人，根据题意，可列

方程为（

A

）AA.

6x＋14＝8xB.

6x－14＝8xC.

＝

D.

＝

123456782.

（2023·武汉江汉期末改编）某快递分派站现有包裹若干件需快递员

派送.若每名快递员派送20件，则还剩12件；若每名快递员派送24件，

则还差12件.该分派站有

名快递员.6

123456783.

（2024·晋中期末改编）“小力量大爱心”.小彬和几名同学参加社

区服务活动，他们想用自己的零用钱为社区老人购买生活用品.如果每

人出60元，那么还剩33元；如果每人出50元，那么还差27元.参加此次

活动的共有多少人？解：设参加此次活动的共有x人.由题意，得60x－33＝50x＋27，解得

x＝6.所以参加此次活动的共有6人.12345678

A.

②③B.

①③C.

②④D.

①④D12345678

50

12345678

123456787.

（2023·茂名期末）为鼓励居民节约用电，某省试行阶梯电价收费

制，具体执行方案见下表：档

次每户每月的用电量/（千瓦·时）执行电价/[元/（千瓦·时）]第一档小于或等于2000.55第二档大于200且小于4000.6第三档大于或等于4000.8512345678例如：一户居民七月份用电420千瓦·时，则需缴电费420×0.85＝357

（元）.某户居民五、六月份共用电500千瓦·时，缴电费290.5元.已知该户居民

六月份的用电量大于五月份的用电量，且五、六月份的用电量均小于

400千瓦·时，则该户居民五、六月份各用电多少千瓦·时？12345678解：因为两个月的用电量为500千瓦·时，所以每个月的用电量不可能

都在第一档.假设该户居民五、六月份每月的用电量均超过200千瓦·时，此时的电费共计500×0.6＝300（元），而300＞290.5，不符合题意.又因为六月份的用电量大于五月份的用电量，所以五月份的用电量在第一档，六月份的用电量在第二档.设五月份用电x千瓦·时.根据题意，得0.55x＋0.6（500－x）＝290.5，解得x＝190.所以500－x＝310.所以该户居民五月份用电190千瓦·时，六月份用电310千瓦·时.12345678

8.（核心素养·模型观念）某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“一日

游”活动，收费标准见下表：人数m0＜m≤100100＜m≤200m＞200收费标准/（元/人）908575甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动.已知甲学校报名

参加的学生人数多于100，乙学校报名参加的学生人数少于100.经核算，若两所学校分别组团，则共需花费20800元；若两所学校联合组团，则只需花费18000元.12345678（1）两所学校报名参加此项活动的学生人数之和是多少？

12345678（2）两所学校报名参加此项活动的学生各有多少人？

123456783一元一次方程的应用第五章一元一次方程第3课时一元一次方程的应用——借助线段图

1.

（2022·武威）《九章算术》是我国古代的一部数学专著，其记载了

一道有趣的题：今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.

今凫雁俱起，问何日相逢？其大意如下：今有野鸭从南海起飞，7天到

北海；大雁从北海起飞，9天到南海.现野鸭从南海、大雁从北海同时起

飞，问：经过多少天它们相遇？设经过x天它们相遇，根据题意可列方

程为（

A

）A.

x＝1B.

x＝1C.（9－7）x＝1D.（9＋7）x＝1A1234567892.我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》记载：良马日行二百四十里，驽

马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何追及之.其大意如

下：跑得快的马每天跑240里，跑得慢的马每天跑150里，慢马先跑12

天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可列方程

为

，解得x＝

.所以快马

⁠天可以

追上慢马.150（12＋x）＝240x

20

20

1234567893.

（2022·张家界）“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间

由原来的3.5h缩短至1h，运行里程缩短了40km.已知高速列车的平均速

度比普通列车的平均速度快200km/h，求高速列车的平均速度.解：设高速列车的平均速度为xkm/h，则普通列车的平均速度为（x－

200）km/h.由题意，得x＋40＝3.5（x－200），解得x＝296.所以高速

列车的平均速度为296km/h.123456789

4.

A，B两地相距450km，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向

而行.已知甲车的速度为120km/h，乙车的速度为80km/h，经过th两车相

距50km，则t的值为（

A

）A.

2或2.5B.

2或10C.

10或12.5D.

2或12.5A1234567895.（新情境）（2024·潍坊期末）在我国古代数学名著《九章算术》第

六章有这样一道题：今有程传委输，空车日行七十里，重车日行五十

里.今载太仓粟输上林，五日三返，问太仓去上林几何？大意如下：有

人用车把米从太仓运到上林，空车日行70里，装米的重车日行50里，5

天往返3次.问：太仓距上林多少里（注：“里”是长度单位；“太仓”

和“上林”是地名）？设太仓距上林x里，可列方程为

⁠.

1234567896.小明要与小斌会面，路上小明看到小斌的爸爸开车从对面过来.小斌

的爸爸告诉小明，他在10min前开车超过了骑自行车的小斌，且他的车

速是75km/h.小明又以3km/h的速度步行，20min后遇到了小斌，则小斌

骑自行车的速度是

⁠km/h.23

1234567897.

★（2024·重庆长寿期末）小明从家里骑摩托车匀速行驶到火车站.若

行驶速度是50km/h，则将比火车的开车时间晚15min到火车站；若行驶

速度是60km/h，则将比火车的开车时间晚5min到火车站.（1）小明家到火车站的距离是多少千米？

123456789（2）如果小明打算在火车开车前5min到达火车站，那么行驶速度应该

是多少？

1234567898.一条笔直的河流中有甲、乙两船，现同时由