四川省泸州市三校联盟2026届高三上学期第一次联合考试（期中）数学试卷（含解析）

四川省泸州市三校联盟2025-2026学年高三上学期第一次联合考试数学试题一、单选题1．若，，，则是（

）A． B． C． D．2．已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知向量，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．5．已知为等差数列的前项和，若，，则（

）A．28 B．32 C．36 D．406．若，，则为（）A． B． C． D．7．已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则（

）A． B． C． D．8．已知，若关于的不等式恒成立，则的最大值为（

）A． B．2 C．1 D．二、多选题9．一组递增数据,,,,的平均数为3，方差为4，极差为6，若，则（

）A．,,,,的极差为12B．,,,,的方差为16C．,,,,的第80百分位数为D．,,,,,,,,,的平均数为510．定义在R上的偶函数，满足，则（

）A． B．C． D．11．数列中，且，，．（

）A．若，则B．若，则C．若中存在连续3项依次成等差数列，则D．若，则三、填空题12．设随机变量服从二项分布，则．13．的展开式中的系数为（用数字作答）14．在中，，点D在线段上，，，，点M是外接圆上任意一点，则最大值为.四、解答题15．已知函数为奇函数．(1)求；(2)设函数，求的值域和图象的对称中心．16．已知函数，.(1)当时，求在处的切线方程；(2)若时，恒成立，求实数的取值范围.17．已知在中，内角，，所对的边分别为，，，.(1)求角；(2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，，求的周长.18．近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（ArtificialIntelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力，有媒体称DeepSeek开启了我国AI新纪元，某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，作比例分配的分层随机抽样方法在全体学生中抽取100人，设事件A=“学生报名参加答题活动”，B=“学生为男生”，据统计(1)根据已知条件，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关联？性别男生女生合计报名参加答题活动未报名参加答题活动合计100(2)网络答题规则：答题活动不限时间，不限轮次，答多少轮由选手自行确定；每轮均设置道题，选手参与该轮答题，则至少答一道题，一旦答对一题，则其本轮答题结束，答错则继续答题，直到第道题答完，本轮答题结束．已知甲同学报名参加答题活动，假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为①求甲在一轮答题过程中答题数量的数学期望；②假设甲同学每轮答题对前两题中的一道，本轮答题得2分，否则得1分．记甲答题累计得分为的概率为，求的最大值．参考公式与数据：0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819．已知函数（，，）.(1)当，时，求函数的最小值；(2)当时，若存在两个极值点，，求证：；(3)设，为函数的极值点，且，若，，是一个三角形的三边长，求的取值范围.

参考答案1．B【详解】因，，则，而，所以.故选：B2．C【详解】由得，则在复平面内所对应的点为，位于第三象限.故选：C.3．B【详解】由，得，即，解得.又是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.4．A【详解】已知，，则在上的投影向量为.故选：A.5．C【详解】设等差数列的公差为，因为，，故两式作差可得：，即，，又，故.故选：C.6．A【详解】解：由，，可得，，解得，，，故选：A．7．C【详解】由函数在上单调递增，得，解得，由的图象关于点对称，得，解得，于是，，所以.故选：C8．A【详解】将不等式变形，可得，要使不等式恒成立，需满足：当时，，因此需，当时，，因此需，若同时满足上述两个要求，则，下面验证时，恒成立，当时，，所以，所以，当时，，所以，所以，当时，，所以时，不等式恒成立，所以，令，所以，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，取得最大值，最大值为，所以的最大值为.故选：.9．ABD【详解】对于选项A:因为数据的极差为6，所以.根据可知：，.所以，所以A正确.对于选项B：因为数据的方差为4，，所以根据方差的性质可知：数据的方差为.所以B正确.对于选项C：因为，为整数，则第80百分位数是第4项与第5项数据的平均值，即，所以C错误.对于选项D：因为数据的平均数为3，，所以数据的平均数为.所以数据,的平均数为.所以D正确.故选：.10．AC【详解】由，令，则，又为偶函数，则，A对；由上，得①，在①式，将代换，得②，B错；在②式，将代换，得，C对；由且，即周期为2且关于对称，显然是满足题设的一个函数，此时，D错.故选：AC11．ABD【详解】由题意可知：,，两边取对数得，，令，则，且，是首项为，公比为的等比数列，，，，对于A选项，若，则，，故A正确；对于B选项，若，则，，，，令，，，且，则，，当时，，即，在上单调递增，当时，，，故B正确；对于C选项，若中存在连续3项依次成等差数列，设为，，代入递推关系得，，，即，当时，不符合题意舍去，，即，或，且，且，，若，则，与矛盾，故C错误；对于D选项，，，，，是递减正项数列，逐渐趋近于，总和远小于，，故D正确.故选：ABD.12．【详解】因为，所以.故答案为:.13．【详解】的展开式的通项式当时，,当时，,的展开式中含的系数为.故答案为：.14．【详解】由题意可得：，，所以，解得，则，设的外心为，外接圆的半径为，由正弦定理得：，解得，可得．由平面向量的线性运算知，，所以，由图可知：．当且同向时，，所以最大值为．故答案为：．15．(1)(2)值域是，【详解】（1）由为奇函数，则，由，得.（2）由（1）得，则.∵，∴，即，则的值域是.令，∴，则图象的对称中心是.16．(1)(2)【详解】（1）解：当时，，可得，则且，所以在处的切线方程为，即.（2）解：因为，可得，令，可得或，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，因为当时，恒成立，所以，解得，又因为，所以，所以实数的取值范围为.17．(1)(2)【详解】（1）在中，由正弦定理可知可转化为，即，即，，由在中，，则；（2）在中，由，即，又直线为的平分线，则，所以，即，又由余弦定理可得，即，可知，解得或（舍），所以的周长为.18．(1)填表见解析；该校学生报名参加答题活动与性别有关联(2)①；②【详解】（1）根据已知条件得，报名人数为，未报名参加答题活动的人数为55人，报名参加答题活动的男生人数为人，报名的女生为15人，设男生人数合计为人，则列联表如下：性别男生女生合计报名参加答题活动301545未报名参加答题活动203555合计5050100假设该校报名参加答题活动与性别没关联．计算比较临界值，因为9.09>7.879，所以拒绝假设（即不成立），即该校学生报名参加答题活动与性别有关联．（2）①由题意得①②①－②得：②依题意甲同学每轮答题得1分的概率为，得2分的概率为，甲同学答题得n分即得后得1分下一轮得或得后下一轮得2分，，而，所以数列是首项为，公比为的等比数列．，显然当n-1为奇数时，有最大值；此时是递减涵数，故的最大值为．19．(1)；(2)证明见解析；(3).【详解】（1）当，时，且，则，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以；（2）当时，则且，可得，由存在两个极值点，，则是在上的两个不同根，所以，可得，由，所以，，所以，令，