天一大联考山西省2025-2026学年（上）高二年级期中考试数学（含答案）

绝密★启用前

已知b<b为单位向量且与夹角的余弦值为向量

天一大联考bC则AOB

20252026学年(上)高二年级期中考试44

有最大值有最小值

55

33

数学有最大值有最小值

55

22

YF

考生注意:已知双曲线的左右焦点分别为F2点P在双曲线的右支上且位于第一象

1.答题前,考生务必将自己的姓名考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘

限若直线的斜率为3F的内切圆面积为

贴在答题卡上的指定位置·PF2则△PF2

A4BCD

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑·如需改

动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号·回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效·

多项选择题:本题共3小题每小题分共分在每小题给出的选项中有多项符合题

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回·

目要求全部选对的得分部分选对的得部分分有选错的得分

已知动直线l:+Y则

—、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项

A

是符合题目要求的·的值越大l的斜率越大

1.经过点(0,1)和(1,2)的直线的方程为B.l在y轴上的截距为定值

A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.x-Y+2=0D.x+y-1=0C在X轴上的截距为定值

2.若空间向量AB=(2,2,1)与BC=(a-2,4,0)垂直,则a=D.l不可能经过坐标原点

22

A.-3B.-2C.1D.2已知圆C:+2=4-则

抛物线=2r上横坐标为的点到焦点的距离为A圆C的面积随的增大而减小

3.y22

B圆C恒与直线Y相切

31

A.2B.C.1D.

22C当时圆C上恰有3个点到Y轴的距离为

2D当=4时圆C上的点到Y轴的距离的最大值是

4.已知双曲线C:-1b-0的焦距为·则C的渐近线方程为

2

2

已知椭圆E:+的左右焦点分别为FF2点P为E上的动点且不在轴上则

4

3

2A的离心率为

5.圆C:+y2=4与圆C2:X2+(Y)2=9的公切线条数是2

A.4B.3C.2D.1

B△PFF2的面积的最大值为3

6.已知平面BCD的一个法向量为n=(-2,1,1),A为平面BCD外一点,且BA=(0,0,4),则

C+的最小值为

PF2

点A到平面BCD的距离为PF2

2/62/62,/5

A.4B.C.D.D以E的四个顶点为顶点的四边形的内切圆半径为

3635

数学试题第1页(共4页)数学试题第2页(共4页)

三、填空题:本题共3小题每小题5分,共15分.17.(15分)

12.若直线l:x+2y-1-0与l2:(a-1)rx-y-1=0平行,则a=·2

已知椭圆C:2+-1>2>0的焦距为22··

13.已知抛物线C:2=4Y的焦点为F,P,P2,P3是C上不同的三点,且向量FP,FP2,FP3的

(1)求C的方程;

横坐标之和为4,则直线PP2,P2P3,P3P的斜率之和为·

14.如图,△ABC是直角三角形,AB=2,ACBC,边AB上有一点P,满足LACP=45",将t2过C上一动点Q作椭圆+2-1的两条斜率存在的切线·证明:两条切线的斜率乘

△ACP沿CP翻折到△A'CP的位置,使得二面角A'-CPB为600,则A'B的最小值

积为定值·

为·

18.(17分)

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤·

15.(13分)如图,在三棱锥ABCD中,DB=DC=BC=2,AD=,7,AB=5、,平面ACBl平面DCB,E

是BC的中点·

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PDl底面ABCD,AB=PD=2AD=4,E

(1)求证:AEBC.

是PA的中点·

(2)点F满足EF=入DA(0<入<1),且CD平面FAB.

(1)试用向量DA,DC,DP表示向量CE;

(i)求入的值;

(2)求直线DE与PC所成角的余弦值·

(ii)求平面DAB与平面FAB的夹角的余弦值·

19.(17分)

2

已知双曲线C:2-1·b的离心率为2·右焦点为F4

16.(15分)

(1)求C的方程·

已知圆C:(rx-1)2+(y-2)2=4,直线l:mcry+1-2m=0·

(2)若动直线l过点F,且与C交于M,N两点(M在第一象限,N在第四象限),过点M作

(1)当m=0时,求l被圆C截得的弦长;

直线x=1的垂线,垂足为D.

(2)求l被圆C截得的弦长的最小值·

(i证明:直线DN恒过点·;

(ii)设0为坐标原点,△ODN的面积为S,求S的最小值

数学试题第3页(共4页)数学试题第4页(共4页)

天一大联考

2025—2026学年(上)高二年级期中考试

数学.答案

一、单项选择题:本题共8小题'每小题5分'共40分.

1.答案A

命题透析本题考查直线方程的两点式.

解析所求直线的方程为,即x-y+1=0.

2.答案B

命题透析本题考查空间向量的坐标运算.

——→

解析由题可知A●BC=(2,2,1)●(a-2,4,0)=2a+4=0,解得a=-2.

3.答案C

命题透析本题考查抛物线的定义与几何性质.

解析抛物线y2=2x的焦点坐标为,准线方程为x,所以该抛物线上横坐标为的点到焦点的

距离为

4.答案D

命题透析本题考查双曲线的渐近线方程.

解析设C的半焦距为C(C>0).由题可知2C=10,即C=5,所以b=\=3,则C的渐近线方程为yx.

5.答案B

命题透析本题考查圆与圆的位置关系.

解析圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=2,圆C2的圆心C2(0,5),半径r2=3.因为|C1C2|=5=r1+r2,所以两圆

外切,则圆C1与圆C2的公切线有3条.

6.答案D

命题透析本题考查利用空间向量求点到平面的距离.

解析点A到平面BCD的距离为

7.答案A

命题透析本题考查空间向量的运算.

————7—222

解析由题可知O→C●O→A=|O→C||O→A|cOS匕AOC=×1×==a+b①,又|O→A|=a+b=1②,①②联

\0

—1—

——

●

立,结合a<b,得a因为cOS匕AOB=——==,所以当C=0时,cOS匕AOB

||

25

4

取得最大值,为.

5

8.答案C

命题透析本题考查直线、圆与双曲线的综合.

解析由题意知F1(-5,0),F2(5,0),|PF1|-|PF2|=6.如图,设圆C与线段PF1,PF2,F1F2分别相切于点

D,E,G,则|PD|=|PE|,|F1D|=|F1G|,|F2G|=|F2E|,所以|F1G|-|F2G|=|F1D|-|F2E|=|PF1|-|PF2|=6,所以

o

G(3,0),从而可知内切圆的圆心C在直线x=3上.因为PF2的斜率为\,所以倾斜角为60,因为CF2是

匕o

PF2F1的平分线,所以直线CF2的倾斜角为120,方程为y=-\(x-5),将x=3代入,得C(3,2\),所以

|CG|=2\,即圆C的半径为2\,得圆C的面积为12π.

二、多项选择题:本题共3小题'每小题6分'共18分.每小题全部选对的得6分'部分选对的得部分分'有选错的

得0分.

9.答案BD

命题透析本题考查直线的方程与性质.

解析对于A,直线l:ax+y-1=0的方程可化为y=-ax+1,则a的值越大,l的斜率-a越小,故A错误;

对于B,令x=0,可得y=1,所以l在y轴上的截距为定值,故B正确;

对于C,令y=0,可得x=,因为a是变化的,所以l在x轴上的截距不是定值,故C错误;

对于D,将(0,0)代入直线方程,可得-1=0,不成立,故D正确.

10.答案BCD

命题透析本题考查点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系.

解析对于A,圆C的方程可化为(x-a)2+y2=4,圆心为C(a,0),半径为2,所以圆C的面积为4π,为定值,

故A错误;

对于B,由圆C的方程可得圆C恒与直线y=2相切,故B正确;

对于C,当a=1时,圆C的方程为(x-1)2+y2=4,圆C与x轴交于点(-1,0),(3,0),在y轴左侧,圆C上仅

有一个点(-1,0)到y轴的距离为1,在y轴右侧,圆C上有两个点到y轴的距离为1,所以圆C上恰有3个点

—2—

到y轴的距离为1,故C正确;

对于D,当a=4时,圆心为C(4,0),圆心C到y轴的距离为4,所以圆C上的点到y轴的距离的最大值是4+

2=6,故D正确.

11.答案ABD

命题透析本题考查椭圆的方程与几何性质.

解析

由题易知a=2,b=1,C=\,所以F1(-\,0),F2(\,0).设P(x,y)(-2<x<2).

对于A,E的离心率e==\,故A正确;

1

对于B,由题可知,当点P位于E的上、下顶点处时,△PF1F2的面积最大,且最大值为×2×1=,故B

2\\

正确;

对于C,因为|PF1|+|PF2|=4,所以+=+(|PF1|+|PF2|)=

PFPF

2+2+1≥=1,当且仅当|PF|=|PF|=2时,等号成立,故C

PFPF2+212

12)\)

错误;

对于D,由题可知E的左顶点为(-2,0),上顶点为(0,1),这两点所在直线的方程为x-2y+2=0,根据对称

性可知,以E的四个顶点为顶点的四边形的内切圆半径即为原点到直线x-2y+2=0的距离,即

|2|

=2\故D正确.

,

\12+(-2)25

三、填空题:本题共3小题'每小题5分'共15分.

12.答案

命题透析本题考查两直线平行.

因为Ⅱ,a-1-1-11

解析l1l2所以=≠,解得a=.

12-12

13.答案2

命题透析本题考查抛物线的几何性质及直线的斜率.

—→—→—→

解析由题可知F(0,1).设Pi(xi,yi)(i=1,2,3),则FP1+FP2+FP3=(x1+x2+x3,y1+y2+y3-3).由题可

22

x1x2

-

y1-y244x1+x2x2+x3

知x1+x2+x3=4,直线P1P2的斜率kP1P2===,同理直线P2P3的斜率kP2P3=,直

x1-x2x1-x244

线P3P1的斜率kP3P1=,所以直线P1P2,P2P3,P3P1的斜率之和为==2.

14.答案1

命题透析本题考查空间向量在立体几何中的应用.

22——→—→——→

解析设BC=a,AC=b,则a+b=4.如图,作AM丄CP,BN丄CP,垂足分别为M,N,连接A’M,则A’B=A’M+MN+

—3—

——→2—→2———→————→—

,两边平方得A’B=A’M+M++2A’M.M+2M.+2A’M.由图可知A’M=A’Csin45ob,

—→—

MN=|BCcos45o-ACcosa-b|,NB=BCsin45o=0,A’M.=A’M.

—→22222222

NBcos120o=-ab,所以A’B=b+(a-b)+a-ab=a+b-ab≥a+b-×=1,

’

当且仅当a=b=\时等号成立,故AB的最小值为1.

四、解答题:本题共5小题'共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.命题透析本题考查空间向量的线性运算及利用空间向量求异面直线所成角的余弦值.

解析(1)因为E是PA的中点,

—→—→——→————→—

所以CE=CD+=CD+(+)=-DC+…………(6分)

(2)如图,以D为坐标原点,直线DA,DC,DP分别为x轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系,

则D(0,0,0),A(2,0,0),P(0,0,4),E(1,0,2),C(0,4,0),

——

=(1,0,2),P→C=(0,4,-4).……………(,分)

——→

因为|cos〈,PC〉|

所以直线DE与PC所成角的余弦值为\.……………(13分)

5

16.命题透析本题考查圆的弦长的计算.

解析(1)圆C的圆心为C(1,2),半径为r=2,…………(2分)

当m=0时,l的方程为y=1,圆心C到l的距离d=1,……………………(4分)

此时l被圆C截得的弦长为2\=2\=2\.………………(7分)

(2)l的方程可化为m(x-2)-(y-1)=0,

—4—

x2,

令可得

{{y1,

所以l恒过点(2,1).………………………(10分)

记点A(2,1),当AC丄l时,圆心C到l的距离最大,l被圆C截得的弦长最小.………(12分)

因为|AC|=\=\,

所以弦长的最小值为2\=2\=2\.…………………(15分)

17.命题透析本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系.

解析(1)设C的半焦距为C(C>0).

由题可知2C=2\,则C=\.………………(2分)

又b=\,所以a=\=2.……………(4分)

所以C的方程为+=1.………………(5分)

(2)设Q(x0,y0),切线的斜率为k,则切线方程为y-y0=k(x-x0).

联立方程可得

222

消去y得(1+2k)x+4k(y0-kx0)x+2[(y0-kx0)-1]=0,…………(7分)

222

由Δ=0,可得[4k(y0-kx0)]-4(1+2k)×2[(y0-kx0)-1]=0,

222

化简得(x0-2)k-2x0y0k+y0-1=0.……………………(10分)

22

x0y022

因为+=1,所以x0=4-2y0.

42

设过Q的两条切线的斜率分别为k1,k2,

222

y0-1y0-1y0-11

由根与系数的关系可得k1k2=2=2=2=-,

x0-24-2y0-2-2(y0-1)2

所以两条切线的斜率乘积为定值.…………(15分)

18.命题透析本题考查空间位置关系的证明以及利用空间向量计算空间角.

解析(1)如图,连接DE.

因为DB=DC,E是BC的中点,所以DE丄BC.……………(1分)

因为平面ACB丄平面DCB,平面ACB∩平面DCB=BC,且DEC平面DCB,

所以DE丄平面ACB,又因为AEC平面ACB,所以DE丄AE.………………(3分)

由AD=\,DE=\,可得AE=\=2,

222

又AB=\,BE=1,所以AE+BE=AB,故AE丄BC.……………………(5分)

—5—

(2)(i)由(1)知,ED,EB,EA两两互相垂直,以E为坐标原点,直线ED,EB,EA分别为x轴、y轴、么轴建立如

图所示的空间直角坐标系,

则E(0,0,0),D(\,0,0),B(0,1,0),A(0,0,2),C(0,-1,0),…………(7分)

—