华东师大数学教学测量和评估教案05教学评估的数学模型

第五章教学评估的数学模型数学模型是把现实对象的本质特征和关系，用数学语言所表达出来的一种形式化的结构。数学模型引入教学评估，使其更具有客观性、科学性和可操作性。教学评估的数学模型可以分为三类：评估对象具有确定因果联系的必然性的数学模型，具有不确定的随机性的随机数学模型，具有模糊性的模糊数学模型。在教学评估的过程中，根据评估对象的异同，或对同一评估对象的不同理解，合理地使用上述三类评估模型，能有效地揭示教学规律。除了前几章已经用到的一些数学模型以外，本章阐述在教学评估中常用的另一些数学模型，如回归模型、马尔可夫链和模糊综合模型，同时还介绍它们的一些应用。第一节回归模型回归分析是研究随机现象中变量之间关系的一种数理统计方法。它的主要内容是：从一组数据出发，确定这些变量间的关系式，对这些关系式的可信程度进行统计检验，从影响一个量的许多变量中，判断哪些变量的影响是显著的，哪些是不显著的，寻找具有较好统计性质的回归设计，利用所求得的关系式进行预报和控制。一、一元线性回归模型一元回归分析是处理随机变量y和变量x之间关系的一种方法，即通过分析数据，找出变量x和y间的一种关系。如果两个变量的关系是线性的，那就是一元线性回归分析所研究问题。那么，怎样建立一元线性回归的数学模型呢？首先，把观察得到的n对数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)表示在平面直角坐标系(图5－1)中，考察这些点的大致分布情况，如果这些点之间近似存在着线性关系y＝a＋bx，那么，由最小二乘法可得量x和y之间的规律，即y和x是否显著地存在线性关系呢？这可以用F方和为S剩，则如果在给定显著性水平α下，有P｛F≤Fα(1，n－2)｝＝1－α，于是有1－α的把握确定回归直线的显著性。否则，在给定显著性水平α下，回归不显著，即变量x和y的线性关系不显著。二、多元线性回归模型对于一元以上的线性回归，这里先讨论二元线性回归。设随机变量y和另外两个变量x1和x2近似存在线性关系y＝a＋b1x1＋b2x2，同样可以讨论二元以上的线性回归。为了书写简便，可以用矩阵的形式来表示回归系数。设随机变量y与另外p个变量x1，x2，x3，…，xp近似存在线性关系y＝β0＋β1x1＋β2x2＋…＋βpxp，经过n次试验，得到数据组(yi，xi1，xi2，…，xip)(i＝1，2，…，n)。这就有上述方程组就可以写成Y＝Xβ。经过矩阵的运算，并运用最小二乘法，(XTX)-1<>是XTX的逆矩阵。二元线性回归也可以用矩阵的形式来表示。设y＝β0＋β1x1＋β2x2，于是在数据处理过程中，两个或两个以上变量之间的回归关系，并非总是线性的。这时，选择恰当类型的曲线比直线更符合实际情况。但在许多情况下，非线性回归可以通过某些简单的变量变换，转化为线性回归。例如，假设变量y和x之间有关系式y＝β0eβx，只要两边取对数，并令y′＝lny，β′0＝lnβ0，就可以将上述非线性回归问题转化为线性回归问题。三、回归模型在教学评估中的应用举例1．同一学科成绩的一元线性回归分析从一组学生某学科的平时成绩与期中考试成绩或两次不同考试的成绩，分析这组学生学习该学科的水平状况，便是一元线性回归模型在教学评估中的一个应用。例如，从某班随机抽取15名学生两个学期的数学期末考试成绩如表5－1(x、y分别表示第一学期、第二学期的期末成绩)，下面用一元线性回归进行分析。所以，这组学生的成绩相关。根据一元线性回归计算方法，得lxy＝1117，lyy＝1365.6，下面用F检验进行方差分析，检验回归的显著性。查表得F0.01(1，13)＝9.07，可见F＞F0.01(1，13)，于是我们有99%的把握认为回归是显著的，即x和y之间存在线性关系。如果把第二次考试成绩作为基础，根据上面得到的一元线性回归方程预测第三次考试学生的成绩，可以把第三次考试的成绩填入表5－2(x表示预测成绩，y表示实际的考试成绩)。同样，用第三次考试成绩作为基础，又可以预测第四次考试成绩，依此类推。当然，每一次的预测都应该与实际分数进行比较，判断预测的准确性，并加以修正。在不需要较为精确地对学生学习水平作出预测的情况下，为避免较大的计算量，也可以采用比较简单的“平均数”法，粗略地对学生的学习状况作出回归分析。具体地可以按下面步骤完成。第一步，分组。把n个测验数据点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)分成大致均匀的两组。若n为偶数，则平分成两组；若n为奇数，可第二步，求平均数。分别求出这两组数据的各个平均数，并组成新

第三步，求过P、Q两点的直线可以认为，这条直线是过这n个点的一元线性回归直线。对上面提到的15名学生的数学成绩，按照前8名为一组，后7名为另一组，分成两组，然后用表5－3(x、y分别表示第一学期、第二学期期末成绩)的数据计算。因此，得到P(79.3，76.5)，Q(73.7，70.1)，而通过P，Q的直线这样，我们也可以用这条回归直线来预测这15名学生的学习成绩。2．同一学科成绩的二元线性回归分析利用二元线性回归，可以从一组学生某学科更多的测验数据(如平时成绩，考试成绩)中，预测这组学生该学科的成绩。现在对上述15名学生三个学期数学期末成绩(在表5－4中，x1、x2和y分别表示高一第一学期、第二学期和高二第一学期期末成绩)进行二元线性回归分析．由二元线性回归计算方法，得到：解得b1＝0.282，b2＝0.622。由此可得这组学生的二元线性回归方程是虽然通过上面回归方法得到了二元线性回归方程，但两个因素x1和x2对y的回归并不一定是显著的。这里存在着以下几种情况：因素x1对y回归显著，而因素x2对y回归不显著；因素x1对y回归不显著，而因素x2对y回归显著；因素x1和x2对y回归都显著；因素x1和x2对y回归都不显著。下面通过表5－5，对前面的二元线性回归方程进行检验。由于F0.05(2，12)＝3.89＜F，所以得到的回归直线是显著的。既然上面回归是显著的，那么，我们可以根据这15名学生的两个学期期末成绩，预测第三个学期的期末成绩，然后，照样可以把第三个学期的成绩作为一个因素(如因素x2)，去预测第四个学期的期末成绩。不过，每一次预测值与实际值都应进行检验，并且加以修正。如果用F检验法检验回归不显著，那么就应该对每个因素进行单独方差分析，剔除回归不显著的因素。一般来说，凡是偏回归平方和(所谓偏回归平方和，是指总的回归平方和，减去剔除某因素后所得的回归平方和的值)大的变量一定是显著的；凡是偏回归平方和小的变量，却并不一定不显著。3．同一学科成绩的中位数稳健性回归分析用最小二乘法求回归直线，对所有的测验数据都是一视同仁的，显然个别远离数据群体的“离群值”影响了回归的显著性(拟合度)。若用“中位数”的方法，可以求出一种较为稳健的回归，其步骤是：第一步，分组。将各数据点按某一变量(例如x)值从小到大的顺序重新排列，得x(1)≤x(2)≤…≤x(n)；另一变量y值随之相应地排列。然后将n个点大致均匀地分成左(L)，中(M)，右(R)三组，并使左右两组点数尽可能相等，如遇有相同的x值，则应该将相应的点划归为同一组，不可分割开。第二步，求中位数、综合点。在按第一步分出的左、中、右三组中各求出x值和y值的中位数，分别得到三个组的综合点：L(xL，yL)，M(xM，yM)，R(xR，yR)。这些“综合点”不一定是原始数据点。第三步，用“中位数”的综合点求回归直线。由综合点先求出斜率的初始值再取分别过这三个综合点，且以b1为斜率的三条直线的截距的平均数为截距，即第四步，求残差及其中位数，迭代。求出各点(xi，yi)(i＝1，2，…，n)与初始回归直线的初始残差：若δ1＝0或δ1≈0，迭代结束。否则继续按照上面方法迭代，直到第k步出现δk＝0或δk≈0为止。这时最终的回归直线为ak＝a1＋a。下面对前面提到的15名学生的成绩作中位数稳健性回归。第一步，由表5－6，左、中、右三组的中位数分别为xL＝66，yL＝67，xM＝73，yM＝78，xR＝89，yR＝79，于是，初始的回归直线是数，得综合点：L(66，－3.35)，M(73，1.73)，R(89，－2.83)。由于δ1≈0，所以迭代结束，最终的回归直线是从表5－6中的第五列可以看出(74，60)、(97，98)这两个“离群点”，由于中位数比平均数回归更具有稳健性，所以，在用中位数法求回归直线的过程中，自然降低了“离群值”的影响。4．题目难度的回归分析题目的难度指数对测验结果反应最敏感。为了对题目的难度有一个比较准确，又可操作的定量化估计，可以利用回归分析，根据学生的实际得分率与决定题目难度的有关因素的赋值建立回归关系，预测题目的难度。学科专家研究确认，数学测验题目的难度因素主要取决于测验涉及知识的广度、运算量、逻辑推理量、失误点、障碍点、综合度、熟悉度等因素。可以认为通常意义下的难度由这七个因素所确定，只要对这七个因素客观地赋值，可以克服主观估计带来的偏差。具体方法是：(1)利用已有测验的数据，求得各题难度指数pL(l＝1，2，…，k，k为题目数)。(2)对各题给出对应的难度因素值nil。(3)利用逻辑斯蒂回归模型：用与pL对应的nil建立回归方程。由于数学测验一般由三类题型(填空题、选择题和解答题)组成，它们的测试功能和考查要求各有所异，因此，应该分别建立三个回归方程著，以便判别回归方程本身的优劣。(5)当新的题目编制完后，通过对每题难度因素nil的赋值，代(6)计算剩余标准差，衡量估计难度值WL变差的大小，确定估计难度与实际得分率的平均误差。例如，用1989年和1990年高考数学上海试卷中的数据，分别建立三类题型的回归方程：－1.369n4－1.363n5－0.91495n6，－0.27023n4－0.13013n5－0.29579n6－1.5384n7，－0.10652n4－1.1799n5＋0.064717n6－1.2517n7。平方和之比的算术平方根)分别为R1＝0.85，R2＝0.91；R3＝0.88。可以认为估计难度与实际考试结果的拟合度较好，同时也说明了难度因素的确定是合理的。对上述三个线性回归方程的方差分析，可分别得到F1＝5.825＞F0.01(6，13)＝4.62，F2＝7.884＞F0.01(7，12)＝4.64，F3＝5.567＞F0.01(7，11)＝4.89。可见回归方程是高度显著的。利用上述回归方程对1992年高考上海数学试题(见附件二)进行模拟难度估计，先对各题的难度因素赋值，再通的大小，求得剩余标准差分别是S1＝0.80，S2＝0.55，S3＝0.85。得到的p值表明，共有28题落在允许误差的范围内，占整卷题量的97%

第二节齐次马尔可夫链一、齐次马尔可夫链的概念一个随机过程｛Xn，n＝0，1，2，…｝就是一族随机变量，而Xn能取的各个不同的值，则称为状态。如果一个随机过程｛Xn，n＝0，1，2，…｝，由一种状态转移到另一种状态的转移概率只与现在处于什么状态有关，而与在这时刻之前所处的状态完全无关，即如果过程｛Xn，n＝0，1，2，…｝中，Xn+1的条件概率分布只依赖于Xn的值，而与所有更前面的值相互独立，则该过程就是所谓马尔可夫(Markov)过程．马尔可夫链是指时间离散，状态也离散的马尔可夫过程。一个马尔可夫链，若从u时刻处于状态i，转移到t＋u时刻处于状态j的转移概率与转移的起始时间u无关，则称之为齐次马尔可夫链，简称齐次马氏链。如果把从状态i到状态j的一步转移概率记为pij，则pij＝P｛Xn+1＝j｜Xn＝i｝，i，j＝0，1，2，…，且有转移概率矩阵P，这样，一个齐次马氏链，可以由一个转移概率矩阵P以及在时刻零时状态x＝0，1，2，…的概率分布列向量Q＝(q(0)，q(1)，…)完全确定。由齐次马氏链性质知道，第i状态的行向量Ai与第i＋1状态的行向量Ai+1之间存在着关系式：Ai+1＝AiP。二、齐次马氏链在评估教学质量中的应用教学过程是一个随机过程，也就是说，对于具有相同基础知识背景的学生(个体)，在同时接受新知识时是随机的。我们可以把一个班(群体)的学生划分为不同的等级(譬如：优、良、中、及格、不及格五个等级)，近似地认为处于同一等级的学生具有相同的基础知识，用齐次马氏链，通过学生学习状态的转移概率矩阵，最终可以预测一个班学生学习成绩的稳定状态。对教师而言，也就可用来评估、预测一个班的教学质量。在教学效果指标的量化过程中，齐次马氏链评估法是将一个群体(如一个班或一个年级)的学生在某次考试中获得优(90分以上)、良(80～89分)、中(70～79分)、及格(60～69分)和不及格(59分以下)各等级学生人数占总人数之比，作为状态变量，并用向量表示之。即R(t)＝(X1(t)，X2(t)，X3(t)，X4(t)，X5(t))，由于齐次马氏链与t时刻前的状态无关(呈无后效性)，可以研究当t变化时，状态向量R(t)的变化规律，从而对教学效果进行评估。设经第一次考试，一个班n个学生中，优、良、中、及格、不及格的学生数分别为ni(i＝1，2，3，4，5)，则状态向量称作初始向量。为考察教学效果，继续分析下一次考试时，上述学生的等级变化。若经第二次考试后，原来获优等成绩的n1名学生中，仍保持优等的是n11人，转化为“良”，“中”，“及格”，“不及格”的学生分别有n12，n13，n14，n15人，于是，第一次考试成绩优等的学生考试成绩转移情况是同样，其余各个等级的学生的考试成绩转移情况是向量中nij(i，j＝1，2，3，4，5)表示从状态i变成状态j的人数。这一转移情况用矩阵表示为P为转移概率矩阵，简称转概阵。符合齐次马氏链学习状态转移概率矩阵的学生学习成绩最终必然趋于平稳状态X＝(x1，x2，x3，x4，x5)，即X＝X·P，也即X(E－P)＝0，解此线性方程组，可得状态R(t)时学生学习成绩的平稳分布X。下面，我们仍以第一节表5－1中的15名学生的成绩为例，分析这一群体在两次考试中学生等级的变化。按优、良、中、及格、不及格五等划分，分别是2人、4人、4人、5人和0人，因此，各个等级学生转移情况分别是第二次考试成绩分布状态按照这个变化规律，第三次考试成绩分布状态即在第三次考试后，学生中优等、良等的人数减少了，而中等的人数和及格的人数却在增加。这样，就可以分析这组学生群体的变化状态。设该过程的平稳状态分布列为X，由于(E－P)TX＝0，从而可以断定，最终只有中等和及格两等级的学生，其人数分别占总数的56％和44％。三、齐次马氏链在评估解题状态中的应用解决问题是数学教育的一项主要任务。如果能够把一个题目，按学生解题的认知过程的发展，分解成几个不同层次的状态，那么就可以用齐次马氏链去测量一个群体(如一个班或一个年级的学生)解决问题的能力与状况。首先，我们认为解决一个问题的过程是由分析S1、设计S2、探究S3、实施S4和验证S5这样五个状态组成的，并且这五个状态存在如图5－2的关系。分成了上面五个状态，我们可以认为解决问题的后一状态只与它的前一个状态有关，而与它的更前面的状态无关。这就完全符合齐次马氏链所要求的条件。图5－2的关系流程图，存在一个状态转移概率矩阵其中p23＋p24＝1，p31＋p32＝1。如果图5－2的关系流程图第i阶段的行向量为Ai＝(a1，a2，a3，a4，a5)，由于A0＝(1，0，0，0，0)，从而A1＝(0，1，0，0，0)，A2＝A1P＝(0，0，p23，p24，0)，A3＝A2P＝(p31p23，p23p32，0，0，p24)，p24(P23P32＋1)。应用齐次马氏链的关键在于找到一个转移概率矩阵中的pij，这就要从两个方面去控制，一是通过具体题目的解题过程划分几个不同状态(这一点相对来说是比较困难的)，二是通过解题时间来控制解题过程，以分析整个群体a的解题状态。例如，要求40名学生在10分钟内完成一个题目：求证：P1(2，3)，P2(4，6)，P3(6，9)三点共线。当然，对于这个题目，如何比较客观去分析解题状态，即究竟做到哪一步才是从分析S1到设计S2，哪一步才算是从设计S2到实施S4，这是比较困难的。但是，如果运用时间去控制解题状态，还是切实可行的。设8分钟以后，有30名学生圆满地证明了这个题目，剩下的10名学生中，经过老师的适当提示，又有6名学生完成了该题。这样对照关系流A0＝(1，0，0，0，0)，A1＝(0，1，0，0，0)，由A1可见，这40名学生全部从分析状态S1转移到设计状态S2；由A2齐次马氏链，针对在规定的时间里，有相当一部分的学生完成解答，即处于图5－2关系流程图中验证状态S5，是比较有效的。但是，如果在规定的时间里，没有学生或者有很少学生顺利地完成解答，用控制时间的方法去测算解题状态是行不通的。这时，只能通过分析题目的解题状态，具体地分清楚状态S1、S2、S3、S4和S5，才能使用上面方法，确定转概阵中的pij，从而正确使用齐次马氏链测算解题状态。

第三节模糊综合模型模糊数学是研究模糊现象的有力工具。在教学评估中，模糊综合评判和模糊综合评审这两个模型已得到越来越广泛的应用。一、模糊综合评判模型及其应用在教学评估中，为了充分体现目标制定者的意图，全面综合地考虑各相关因素对评估目标的影响，增强所得数量指标的客观可比性，有时需要应用模糊综合评判模型。1．模糊综合评判模型的数学表述表示抽象的加法，且得到几个常用的具体形式的模型。(1)突出最优因素的模型(a，b)，则bj＝max［min(a1，r1j)，min(a2，r2j)…，min(am，rmj)］，向量使主要因素起单因素控制而使评判失去综合意义的不良后果。用突出最优因素的模型进行教学评估时，由于已作了同一化处理，尽管不同学生的优因素不同，但仍然可比，同时还可以发现对同一成绩起主要作用的优因素。(2)突出最劣因素的模型从计算bj的方法可以看到，rij与bj已不再是具体意义下的隶属度，而成为新的评估指标，所求出的是突出最劣因素。将此模型用于教学评估，有利于发现学生当前学习中存在的主要问题，以及主要问题中最突出的劣因素．(3)综合评判模型可以给定，从而求出的bj值反映了指标bj的整体综合水平。据评估目的予以选用。为了提高评估的准确性，往往多次使用模型M(·，＋)构成所谓多级综合评判。有时为了充分考虑突出最优、最劣因素对整个评估的影响，还要对用模型M(·，＋)评估的结果进行适当修正，这就需要进行所谓二级指标评判。下面以某地九所中学联合举行的高中数学测试(试题见附件三)的成绩为例，分别阐述多级综合评判和二级指标评判在教学评估中的应用。2．多级综合评判应用举例＝(d31，d32，…，d39)分别表示第一、第二、第三级考试目标构造向量，其中dik表示第i级的第k个以其前一级为总体的权，背景知识为所测目标的知识载体，规定f1，f2，…，f9为试题的背景与能力要素。在测验之前只要将d11，d12，…，d38，d39按权要求确定，就可利用客观意义的A类分(A类分将在后文中定义)，A类分能在目标确立下为分数的比较提供客观的依据。根据高中数学测试所企求评估的内容和目的，并对构成试题及其评分标准的分析，可以认为本次测试是以考察T1目标为主的测试，而且T1目标下的D1、D2目标要求相当，但D1目标侧重f2，D2目标明显侧重于f4；考察T2目标时，主要是考察T2下的D3目标(D4只占整卷的6分)，D3目标又以考察f7为核心，f6和f5均服从于f7，对于T2下的D4目标，结合中学数学教学大纲和整套试题分析，其侧重点在f8。由此分析取定高中数学测试的目标等级为：d11＝0.6，d12＝0.4，d21＝d22＝0.5，d23＝0.65，d24＝0.35，d31＝0.2，d32＝0.8，d33＝0.4，d34＝0.6，d35＝0.2。d36＝0.3，d37＝0.5，d38＝0.6，d39＝0.4。其次，在分级权重表确定后，可按以下步骤进行多级评判。(1)确定试题的背景与能力要素将试题的各题按照解答所涉及到的背景与能力要素中足码最大的所在类来确定背景知识所在的类。对于客观试题由于不能细分各要素所占的分数，此时对正确解答该题所必须的背景与能力要素均赋给满分值；在陈述性试题中，由于各要素之间的衔接作用，有的知识或技能具有双重身份，对于具有双重乃至多重身份的知识或技能，按同一分值分别记入不同的要素中。例如在统计各题的f7时，把从该题第一个技能后的有关技能、知识所占的分数全部归入f7中。最后将各题的f7的分数合在一起，即可得到试题背景与能力要素f7的满分数。按此统计高中数学测试背景与能力要素值得fi，这里，f1包括第1～3、11、12、14题，计18分；f2包括第2、3、14～17题，计18分；f3与f4的题相同，均包括第4～9、13、18、19、21、22题，根据选定的评分标准可统计出f3＝33分，f4＝32分；f5、f6、f7的题相同，均包括第23～26题，类似统计f3与f4可得f5＝12分，f3＝28分，f7＝17分；f8与f9包括的题也相同，均为第10、20题，统计得f8＝6分，f9＝6分。应该指出的是，统计fi与所选定的评分标准有关，此处统计的fi都应以给定的评分标准为依据。(2)统计被试按背景与能力要素的得分率统计时对客观试题答对者，则对所涉及的要素均赋满分；相反，则全赋零分。取考分C1为52，C2为82，C3为83的三名被试分别作为被试1、被试2、被试3，其背景与能力要素得分率如表5－8。(3)求综合指标数利用模糊综合多级评判求综合指标数的过程可用矩阵运算表述：D1x＝(d31d32)(f1xf2x)T，D2x＝(d33d34)(f3xf4x)T，D3x＝(d35d36d37)(f5xf6xf7x)T，D4x＝(d38d39)(f8xf9x)T，T1x＝(d21d22)(D1xD2x)T，T2x＝(d23d24)(D3xD4x)T，rx＝(d11d12)(T1xT2x)T，其中x为被试编号数，fix表示被试x在第fi要素的得分率，rx为被试x的多级综合评判结果。通过计算，得r1＝0.6094，r2＝0.7934，r3＝0.8342。(4)结果分析对于已经求出的r1、r2、r3，使用A类分数(Ax＝100rx称为考生x的A类分数)，则A1＝60.94，A2＝79.34，A3＝83.42。A1竟高出C1近9分，A2低于C2不到2分，但A3稍高于C3，按C类分数认为不及格的被试1，但按A类分数可认为及格，被试2的A2不如C2反映的好，被试3的A3比C3反映的好。造成这种现象的原因是对被试求C类分的方法造成的，这个方法对各相关内容的重要程度的区别未能得到充分体现。在本例所给出的目标系统中分析被试1，其d31，d32，d33，d34权所对应的背景与能力要素得分率均超过0.6，而其他权的背景与能力要素得分率均很低，由于强调双基，因而最终评分对被试1有利，同时也说明被试1基本达到本次考试的目标要求；被试3的两类分数非常接近，可以认为A3就是C3所反映的目标水平；对于被试2，由于求C2时，f32，f42，f52，f62，f72等要素得分被过分强调，这与目标要求不一致，故C2不能代替A2水平。由此可见，C类分高的其A类分不一定高。这也正说明A类分一般不能用C类分代替，因而要对被试进行特定目标下的评估，以采用A类分为宜。3．二级指标评判应用举例仍以这次数学测试为例，我们将试题大致划分为了解、理解、掌握和灵活运用四个水平，并依次用E、F、G、H表示，E包括第1～3、11、12、14、15、17～19题，计30分；F包括4～10、13、16、20题，计30分；G包括第21～23题，计15分；H包括第24～26题，计25分。这里选取C类分为74、75、75、75、74的5名被试(分别记为1、2、3、4、5)作为被评学生，则U＝｛1，2，3，4，5｝，按E、F、G、H因素统计每个被试的C类分，并求出相应各水平的得分率。对于被试1，经统计E水平实得24分，F水平实得27分，G水平实得11分，H水平实得12分，相应的得分率为0.8，0.9，0.73，和0.48，类似可求出其他四名被试在相应各水平的得分率，列成表5－9。为了方便，这里就用各水平的得分率表示相应被试属各评估因素的隶属度，从而对五名被试可构造如下评估矩阵：rij表示第j名被试对第i评估因素的隶属度(在第i项上得分率)。最劣因素评估，可以发现被选取的被试群体的成绩很不理想，进一步还选出的被试按从优到劣排序为：被试2，被试4，被试5，被试1，被试3，五名被试被分为五个等级。这正体现了模糊综合评判的优点，对于按C类分评估出现的不能区分或区分不当，运用模糊综合评判可弥补这些不足。(4)求二级指标进行二级综合评判为了充分考虑突出最优、劣因素对考试成绩的影响，使评估尽可能反映被试的实际情况，需要按新的评估指标集｛最优，最劣，综合评判｝，再对被试进行一次综合评估，评估的关键是由有经验的教师或专家所组成小组确定三维因素模糊向量D＝(d1，d2，d3)，这里D为权向量。构造二级评判矩阵这里取定D＝(0.1，0.05，0.85)。差变化较小，这是正常的。由D的构造可以发现突出最优因素和突出最劣因素对考试的影响都极小，对被试发挥真实水平影响不大。尽管如此，非常熟悉，而有的被试恰与前者相反，通过二级评判可以发现这些分数都不能有效地揭示被试的真实学习水平状态。二、模糊综合评审模型及其应用模糊综合评审模型的数量指标具有相对意义。它是对同一等级水平进行再评估的有力工具。教学评估中可以利用这个模型，对同一水平的学生作更精确的评定。1．模糊综合评审模型的数学表述度，n为项目总数，m为指标总数，gi，bi分别为对于优、劣指标项目i的隶属度，w＝(w1，w2，…，wm)为权向量，则称为模糊综合评审模型，记为模型Uj。模型Uj揭示了被评估项目j相对于优的隶属度。在以虚拟的优作标准的前提下，可以通过区分数量指标Uj来区分各项目的优劣。如果把评估对象称为项目，测验内容的构成要素作为评估指标，就可运用这个模型。2．模型Uj在教学评估中的应用举例在教学评估中应用模型Uj时，通常以被试的评价者作为试题，被试在各题的得分率作为对被试的评估，这样可运用模型Uj对同一水平分的学生进行再评估。为了计算的方便，将高中数学测试试题划分为六大题：第1大题由原第1～10题组成，第2大题由原第11～20题组成，第3大题由原第21，22两题组成，第4大题由原第23题组成