2025年上学期高一数学等式性质与不等式解法试题

2025年上学期高一数学等式性质与不等式解法试题一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）若(a<b<0)，则下列不等式中不成立的是（）A.(a^2>b^2)B.(\frac{1}{a}>\frac{1}{b})C.(a+b<0)D.(\frac{b}{a}<1)解析：选项A：由(a<b<0)可知(|a|>|b|)，平方后(a^2>b^2)，成立；选项B：(a<b<0)，取倒数后不等号方向改变，(\frac{1}{a}>\frac{1}{b})，成立；选项C：两个负数相加，结果仍为负数，(a+b<0)，成立；选项D：(a<b<0)，两边同除以(a)（负数），不等号方向改变，(\frac{b}{a}>1)，故D不成立。答案：D设(a)，(b)为实数，则“(a>b>0)”是“(a^2>b^2)”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：充分性：若(a>b>0)，则(a^2-b^2=(a-b)(a+b)>0)，即(a^2>b^2)，充分性成立；必要性：若(a^2>b^2)，则(|a|>|b|)，可能(a<-b<0)（如(a=-3)，(b=1)），此时不满足(a>b>0)，必要性不成立。答案：A若(a>b)，(c>d)，则下列不等式一定成立的是（）A.(a+c>b+d)B.(a-c>b-d)C.(ac>bd)D.(\frac{a}{c}>\frac{b}{d})解析：选项A：不等式同向可加性，(a>b)且(c>d)，则(a+c>b+d)，成立；选项B：反例：(a=3)，(b=1)，(c=2)，(d=0)，则(a-c=1)，(b-d=1)，此时(a-c=b-d)；选项C：反例：(a=2)，(b=1)，(c=-1)，(d=-2)，则(ac=-2)，(bd=-2)，此时(ac=bd)；选项D：反例：(a=3)，(b=1)，(c=-1)，(d=-2)，则(\frac{a}{c}=-3)，(\frac{b}{d}=-0.5)，此时(\frac{a}{c}<\frac{b}{d})。答案：A不等式(\frac{x-1}{x+2}\leq0)的解集是（）A.([-2,1])B.((-2,1])C.((-\infty,-2)\cup[1,+\infty))D.((-\infty,-2]\cup[1,+\infty))解析：原不等式等价于((x-1)(x+2)\leq0)且(x+2\neq0)，解得(-2<x\leq1)（注意分母不为零，排除(x=-2)）。答案：B若关于(x)的不等式(ax^2+bx+2>0)的解集是(\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right))，则(a+b)的值是（）A.(-10)B.(-14)C.(10)D.(14)解析：由解集可知(a<0)，且方程(ax^2+bx+2=0)的根为(x_1=-\frac{1}{2})，(x_2=\frac{1}{3})，由韦达定理：(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{6})，(x_1x_2=\frac{2}{a}=\left(-\frac{1}{2}\right)\times\frac{1}{3}=-\frac{1}{6})，解得(a=-12)，(b=-2)，则(a+b=-14)。答案：B已知(a)，(b)为正实数，且(a+b=1)，则(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})的最小值为（）A.(2)B.(4)C.(6)D.(8)解析：(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)(a+b)=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq2+2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b}}=4)，当且仅当(a=b=\frac{1}{2})时取等号。答案：B不等式(|2x-1|<3)的解集是（）A.((-1,2))B.((-2,1))C.((-\infty,-1)\cup(2,+\infty))D.((-\infty,-2)\cup(1,+\infty))解析：原不等式等价于(-3<2x-1<3)，解得(-1<x<2)。答案：A若(a>b>1)，(0<c<1)，则（）A.(a^c<b^c)B.(ab^c<ba^c)C.(a\log_bc<b\log_ac)D.(\log_ac<\log_bc)解析：选项A：幂函数(y=x^c)在((0,+\infty))上单调递增，(a>b>1)，则(a^c>b^c)，A错误；选项B：(ab^c<ba^c)等价于(\left(\frac{a}{b}\right)^{1-c}<1)，因(\frac{a}{b}>1)，(1-c>0)，则(\left(\frac{a}{b}\right)^{1-c}>1)，B错误；选项C：(a\log_bc<b\log_ac)等价于(\frac{a\lnc}{\lnb}<\frac{b\lnc}{\lna})，因(\lnc<0)，(\lna>\lnb>0)，则(\frac{a}{\lnb}>\frac{b}{\lna})，两边同乘(\lnc)（负数）得不等式成立，C正确；选项D：(\log_ac=\frac{\lnc}{\lna})，(\log_bc=\frac{\lnc}{\lnb})，因(\lnc<0)，(\lna>\lnb>0)，则(\frac{1}{\lna}<\frac{1}{\lnb})，两边同乘(\lnc)（负数）得(\log_ac>\log_bc)，D错误。答案：C关于(x)的不等式(x^2-ax+1>0)在(\mathbf{R})上恒成立，则实数(a)的取值范围是（）A.((-2,2))B.([-2,2])C.((-\infty,-2)\cup(2,+\infty))D.((-\infty,-2]\cup[2,+\infty))解析：二次函数(y=x^2-ax+1)开口向上，要恒大于零，需(\Delta=a^2-4<0)，解得(-2<a<2)。答案：A已知(x>0)，(y>0)，且(x+2y=5)，则(\frac{(x+1)(2y+1)}{\sqrt{xy}})的最小值为（）A.(4\sqrt{3})B.(6\sqrt{2})C.(8)D.(12)解析：化简原式：(\frac{2xy+x+2y+1}{\sqrt{xy}}=\frac{2xy+6}{\sqrt{xy}}=2\sqrt{xy}+\frac{6}{\sqrt{xy}})，令(t=\sqrt{xy})，由(x+2y=5\geq2\sqrt{2xy})得(t\leq\frac{5}{2\sqrt{2}})，函数(y=2t+\frac{6}{t})在(t=\sqrt{3})时取最小值(4\sqrt{3})（验证(\sqrt{3}\leq\frac{5}{2\sqrt{2}})成立）。答案：A不等式(|x-1|+|x+2|\geq5)的解集是（）A.((-\infty,-3]\cup[2,+\infty))B.((-\infty,-2]\cup[3,+\infty))C.((-\infty,-1]\cup[4,+\infty))D.((-\infty,-4]\cup[1,+\infty))解析：分区间讨论：当(x\leq-2)时，不等式化为(-(x-1)-(x+2)\geq5)，解得(x\leq-3)；当(-2<x<1)时，不等式化为(-(x-1)+(x+2)=3\geq5)，无解；当(x\geq1)时，不等式化为((x-1)+(x+2)\geq5)，解得(x\geq2)；综上，解集为((-\infty,-3]\cup[2,+\infty))。答案：A若关于(x)的不等式(x^2-mx+4>0)对任意(x\in[1,3])恒成立，则实数(m)的取值范围是（）A.((-\infty,4))B.((-\infty,5))C.((-\infty,6))D.((-\infty,7))解析：分离参数得(m<x+\frac{4}{x})对(x\in[1,3])恒成立，函数(y=x+\frac{4}{x})在([1,2])上单调递减，在([2,3])上单调递增，最小值为(y_{\min}=4)（当(x=2)时），故(m<4)。答案：A二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）若(a)，(b)，(c)满足(c<b<a)且(ac<0)，则下列结论：①(ab>ac)；②(c(b-a)>0)；③(cb^2<ab^2)；④(ac(a-c)<0)，其中正确的是________。解析：由(c<b<a)且(ac<0)可知(a>0)，(c<0)，(b)符号不确定。①：(a>0)，(b-c>0)，则(ab-ac=a(b-c)>0)，①正确；②：(c<0)，(b-a<0)，则(c(b-a)>0)，②正确；③：当(b=0)时，(cb^2=ab^2=0)，③错误；④：(ac<0)，(a-c>0)，则(ac(a-c)<0)，④正确。答案：①②④不等式(\frac{x^2-3x+2}{x^2-7x+12}\leq0)的解集是________。解析：原不等式等价于(\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}\leq0)，穿根法解得([1,2]\cup(3,4))（注意分母不为零，排除(x=3,4)）。答案：([1,2]\cup(3,4))已知关于(x)的不等式(ax-b>0)的解集是((1,+\infty))，则关于(x)的不等式(\frac{ax+b}{x-2}>0)的解集是________。解析：由(ax-b>0)解集为((1,+\infty))得(a>0)且(\frac{b}{a}=1)，即(b=a)，原不等式化为(\frac{a(x+1)}{x-2}>0)，等价于((x+1)(x-2)>0)，解得((-\infty,-1)\cup(2,+\infty))。答案：((-\infty,-1)\cup(2,+\infty))若正实数(x)，(y)满足(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=5)，则(x+y)的最大值是________。解析：令(t=x+y)，则(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{t}{xy})，原等式化为(t+\frac{t}{xy}=5)，由(xy\leq\left(\frac{t}{2}\right)^2)得(\frac{t}{xy}\geq\frac{4}{t})，则(t+\frac{4}{t}\leq5)，解得(1\leqt\leq4)，故(t_{\max}=4)（当(x=y=2)时取等）。答案：4三、解答题（共6小题，共70分）（10分）已知(a>b>0)，(c<d<0)，(e<0)，求证：(\frac{e}{a-c}>\frac{e}{b-d})。证明：因为(c<d<0)，所以(-c>-d>0)，又(a>b>0)，故(a-c>b-d>0)，则(\frac{1}{a-c}<\frac{1}{b-d})（正数取倒数，不等号方向改变），又(e<0)，两边同乘(e)（负数），不等号方向改变，所以(\frac{e}{a-c}>\frac{e}{b-d})。（12分）解关于(x)的不等式：(ax^2-(a+1)x+1<0)（(a\in\mathbf{R})）。解析：原不等式可化为((ax-1)(x-1)<0)，当(a=0)时，不等式为(-x+1<0)，解得(x>1)；当(a>0)时，方程((ax-1)(x-1)=0)的根为(x_1=\frac{1}{a})，(x_2=1)，若(a>1)，则(\frac{1}{a}<1)，解集为(\left(\frac{1}{a},1\right))；若(a=1)，不等式为((x-1)^2<0)，解集为(\varnothing)；若(0<a<1)，则(\frac{1}{a}>1)，解集为(\left(1,\frac{1}{a}\right))；当(a<0)时，(\frac{1}{a}<1)，不等式化为(\left(x-\frac{1}{a}\right)(x-1)>0)，解集为((-\infty,\frac{1}{a})\cup(1,+\infty))。综上：(a<0)时，解集为((-\infty,\frac{1}{a})\cup(1,+\infty))；(a=0)时，解集为((1,+\infty))；(0<a<1)时，解集为(\left(1,\frac{1}{a}\right))；(a=1)时，解集为(\varnothing)；(a>1)时，解集为(\left(\frac{1}{a},1\right))。（12分）已知函数(f(x)=x^2-2ax+1)，(x\in[0,2])，求函数的最小值(g(a))。解析：函数(f(x))的对称轴为(x=a)，开口向上。当(a\leq0)时，(f(x))在([0,2])上单调递增，(g(a)=f(0)=1)；当(0<a<2)时，(f(x))在([0,a])上单调递减，在([a,2])上单调递增，(g(a)=f(a)=1-a^2)；当(a\geq2)时，(f(x))在([0,2])上单调递减，(g(a)=f(2)=5-4a)。综上：(g(a)=\begin{cases}1&(a\leq0)\1-a^2&(0<a<2)\5-4a&(a\geq2)\end{cases})（12分）已知关于(x)的不等式(|x-3|+|x-4|<a)的解集不是空集，求实数(a)的取值范围。解析：设(f(x)=|x-3|+|x-4|)，则(f(x))的最小值为(1)（当(3\leqx\leq4)时，(f(x)=1)），不等式(f(x)<a)解集非空等价于(a>f(x)_{\min}=1)，故(a)的取值范围是((1,+\infty))。（12分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品需用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品需用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该工厂现有A原料120吨，B原料100吨，求生产甲、乙两种产品各多少吨时，能获得最大利润？最大利润是多少？解析：设生产甲产品(x)吨，乙产品(y)吨，利润为(z)万元，则约束条件为：(\begin{cases}3x+y\leq120\2x+3y\leq100\x\geq0,y\geq0,x,y\in\mathbf{