2025-2026学年上海南洋模范高二上学期数学摸底考试卷（含解析）

参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.12．正方体棱长为2，为线段上一动点，为线段上一动点，则的最小值为________．【答案】【解析】如图，若点的位置确定，则当点满足时，最短，此时点是的中点，将平面转到位置，使其与平面共面，

故故答案为：．二、选择题13.B14.C15.C16.B15．如图，正方形的边长为2，是正方形的内切圆上任意一点，，则下列结论错误的是（）A．的最大值为4 B．的最大值为C．的最大值为2 D．的最大值为【答案】C【解析】以为坐标原点建立直角坐标系，如图所示，则，

内切圆的方程为，可设，

则，，

所以，当，即为的中点时取等号，

所以的最大值为正确；

因为，所以，当，即时等号成立，

所以的最大值为错误，

由，可得，

得，,

当，即时，所以所以的最大值为，B正确，

当，即时，所以所以的最大值为正确．故选C.16．已知四边形，对四条边、、、依次进行如下操作：随机抛掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则擦除该边，若反面朝上，则不擦除．在操作完成后，从点出发，沿着未擦除的边移动，则能到达点的概率是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解法一（相互独立事件的概率）：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的概率均为，且是否擦除相互独立．记沿着路线移动到达点（即同时保留）为事件，沿路线移动到达点（即同时保留）为事件，则，因为事件和事件相互独立，则，所以从点出发，沿着末擦除的边移动到达点的概率为．故选B．

解法二（古典概型）：由题意知，样本空间共有个样本点，从点出发，能到达点有以下三种情况：

①四条边均未擦除，共有1种情况；②仅擦除1条边，共有4种情况；

③擦除2条边，只有擦除与或与这2种情况

故从点出发，沿着未擦除的边移动，到达点的概率为．故选B．

解法三（间接法）：考虑从反面入手，路线不通的概率为；同理路线不通的概率为，故从点出发，沿着未擦除的边移动到达点的概率为．故选B．三、解答题17.（1）证明略（2）18.（1）（2）19.（1）证明略（2）20．已知数列、均为各项都不相等的数列，为的前项和，（）．（1）若，，求的值；（2）若是公比为的等比数列．求证：数列为等比数列；（3）若的各项都不为零，是公差为的等差数列，求证：、、…、、…成等差数列的充要条件是．【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）

证明：（2）设，则（为常数）所以数列为等比数列.

（3）：数列是公差为的等差数列，所以当时，即

∵数列的各项都不为零，所以当时，当时，，

两式相减得：当时，

先证充分性：

由轲知，当时，

又∵，即成等差数列；再证必要性：∵成等差数列，当时，

综上所述，成等差数列的充要条件是21．对于函数，，，如果存在实数，使得，那么称为，的生成函数．（1）若，，，则是否分别为，的生成函数？并说明理由：（2）设，，，，生成函数．若不等式在上有解，求实数的取值范围；（3）设，，取，，生成函数图像的最低点坐标为（2，8）．若对于任意正实数，且．试问：是否存在最大的常数．使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）是（2）（3）存在，最大值的常数．【解析】（1）因为，

又因为

所以是的生成函数；

（2）因为，生成函数，

所以，

由于不等式在上有解，即，

化简得，因为，令，所以，则有，得，

由题意可得，由于函数在上单调递增，

所以当时，，所以，

所以实数的取值范围是；

（3）因为，取，生成函数，所以，又因为函数图象的最低点坐标为，

由