专题01 集合（压轴题8大类型专项训练）数学人教A版2019必修一（原卷版）

1/10专题01集合目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"1-2"\h\u典例详解 2类型一、集合与元素的关系 2类型二、集合的包含关系及参数问题 4类型三、集合的交并补运算及参数问题 5类型四、韦恩图及容斥原理 7类型五、集合的结构不良问题 9类型六、集合的新定义问题Ⅰ—给定新概念 10类型七、集合的新定义问题Ⅱ—给定新运算 11类型八、集合的新定义问题Ⅲ—给定新性质 13压轴专练 14【说明】试题或者解析中区间的概念说明：设a，b是两个实数，而且，我们规定：定义名称符号闭区间开区间半闭半开区间半开半闭区间类型一、集合与元素的关系与集合含义及其表示有关的问题的解题技巧（1）明确集合的类型，即确定集合是数集、点集，还是其他集合.（2）理清集合中的元素满足的限制条件，确定元素的属性.（3）注意检验集合中的元素是否满足互异性，确定集合元素的个数.（4）理清描述法表示的集合中相关字母变量的取值范围及条件.一、单选题1．（24-25高一上·四川达州·期中）如果集合中只有一个元素，则实数m的值为（

）A．1 B．2 C．0或2 D．1或22．（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（

）A．7 B．9 C．11 D．133．（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）下列关于集合相等的说法正确的有（

）①；②；③；④A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．（24-25高一上·湖北·期中）已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则.则集合的个数为（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·上海宝山·月考）判断下列命题为真命题的个数（

）①0是的真子集；②；③如果集合A是集合B的子集，那么集合B就不是集合A的子集；④如果，那么除以4的余数为0或1.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个6．（23-24高一上·北京·月考）设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（

）A．集合中至多有2个元素B．集合中至多有3个元素C．集合中至少有4个元素D．集合中至少有5个元素二、多选题7．（23-24高一上·江西·月考）已知集合，，，且，，，则（

）A． B．C． D．三、填空题8．（24-25高一上·山东·期中）设集合，，已知且，则a的取值集合为.9．（24-25高一上·浙江·开学考试）若由，，1组成的集合A与由，，组成的集合B相等，则的值为．类型二、集合的包含关系及参数问题1、根据两集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对含参数的集合是否为空集进行分类讨论，做到不漏解.①若集合中的元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为方程（组）求解，此时注意集合中元素的互异性.②若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为方程（组）或不等式（组）求解，此时注意检验端点值能否取到.2、集合的子集与真子集结论（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．一、单选题1．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，满足条件的集合的个数为（

）A． B． C． D．2．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，则下列表示集合A与B的关系正确的是（

）A． B． C． D．A，B的关系不确定二、多选题3．（24-25高一上·贵州·期中）已知集合恰有4个子集，则实数a的值可以是（

）A．2 B．1 C．0 D．1三、填空题4．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，且满足：“若，则”，则满足条件的集合的个数为．5．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，则集合的真子集个数为.6．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，集合，若，那么a的取值是．四、解答题7．（25-26高一上·全国·课后作业）已知全集U=R，集合M=(1)若a=5，存在集合P，使得M⫋P⫋N，求出这样的集合P(2)是否存在集合M，N，满足M⊆N？若存在，求实数8．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知集合，．若，求实数的取值范围．（2）若（1）中条件“”改为“”，其他条件不变，求实数的取值范围．9．（23-24高一上·广东江门·月考）（1）已知集合，，若，求实数，的值.（2）已知集合或，，若，求实数的取值范围.类型三、集合的交并补运算及参数问题利用集合的运算求参数的方法（1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍.（2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解.注：在求出参数后，注意结果的验证（满足集合中元素的互异性）.一、单选题1．（24-25高一上·湖北武汉·开学考试）已知全集，，则集合（

）A． B． C． D．2．（24-25高一下·湖南长沙·月考）若全集，集合，，则集合（

）A． B． C． D．3．（24-25高一下·陕西西安·月考）已知全集，集合，，则（

）A． B．C． D．4．（24-25高一上·四川达州·期中）已知集合，．若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题5．（25-26高一上·全国·课后作业）［多选题］已知集合，，若，则实数p的可能取值为（

）A． B． C．0 D．2三、填空题6．（25-26高一上·全国·课后作业）设集合，，若，则实数a的取值范围为．四、解答题7．（24-25高一上·山东淄博·月考）设全集，集合，．(1)当时，求，；(2)若，求实数的取值范围．8．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合，．(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的值；(3)若，求实数的取值范围；(4)若将题干中集合，变为集合，或．若，求实数的取值范围．类型四、韦恩图及容斥原理容斥原理在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论：（1）（2）一、单选题1．（24-25高一上·福建福州·期中）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（）A． B．C． D．2．（24-25高一上·江苏南京·月考）设全集，，，则集合为（

）A． B．C． D．3．（24-25高一上·江西南昌·月考）如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是（

）A．图形I表示的集合为B．图形Ⅲ表示的集合为C．图形Ⅴ表示的集合为D．图形Ⅷ表示的集合为4．（24-25高一上·四川绵阳·月考）学校举行运动会时，高一（1）班共有28名学生参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有（

）人A．5 B．4 C．3 D．2二、多选题5．（24-25高一上·福建福州·期中）已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．的不同真子集个数为8三、填空题6．（24-25高一上·上海·月考）某班有名同学，参加物理竞赛的有人，参加化学竞赛的有人，两科竞赛都不参加的有人，则两科竞赛都参加的有人.7．（24-25高一上·河北石家庄·月考）某校“田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则三项比赛都参加的有人.类型五、集合的结构不良问题一、解答题1．（24-25高一上·全国·周测）设全集为，集合或，.(1)当时，求图中阴影部分表示的集合；(2)在（1）；（2）；（3）这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围.2．（24-25高一上·广东佛山·期中）在“①，②”这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题：已知集合．(1)若，求；(2)若__________（在①，②这两个条件中任选一个），求实数的取值范围．3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知集合．(1)若，求实数a的值；(2)从条件①②③中选择一个作为已知条件，求实数a的取值范围．条件：①；②；③．4．（24-25高一上·河北石家庄·月考）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题．设集合_______，集合．(1)若集合B的子集有2个，求实数a的值；(2)若，求实数a的取值范围．类型六、集合的新定义问题Ⅰ—给定新概念集合新定义问题处理步骤①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦；然后找出要素分别是什么②看：看所求是什么？③代：将已知条件代入新定义的要素④解：结合数学知识进行解答一、单选题1．（24-25高一上·广东·期中）已知，对于，且，则称为的“孤立元”．给定集合，则的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（

）A．5 B．7 C．13 D．152．（24-25高一上·陕西榆林·期末）给定数集M，若对于任意，都有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法正确的是（

）A．自然数集是闭集合B．无理数集是闭集合C．集合为闭集合D．若集合，为闭集合，则也为闭集合二、解答题3．（25-26高一上·全国·课后作业）对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则.(1)若，求；(2)若，，，，求的最大值，并写出取最大值时的一组，，.4．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知是全体复数集的一个非空子集，如果，总有，，，则称S是数环.设是数环，如果①内含有一个非零复数；②且，有，则称是数域.由定义知有理数集Q是数域.(1)求元素个数最小的数环；(2)记，证明：是数域；(3)若，是数域，判断是否是数域，请说明理由.5．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）对于非空集合U，记．若集合，且满足如下两个条件：①对任意的，有；②对任意的，有．则称集合A为集合U的一个“完美子集类”．(1)若集合，试写出集合U的所有“完美子集类”；(2)已知A是集合U的一个“完美子集类”，证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）对任意的，有．类型七、集合的新定义问题Ⅱ—给定新运算一、单选题1．（23-24高一上·河南平顶山·月考）定义集合运算：.若集合，，则（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·广东广州·月考）对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（

）A． B． C． D．二、多选题3．（25-26高一上·全国·课后作业）[多选题]对于数集A，B，它们的积，则（

）A． B．若，则C． D．集合表示y轴所在直线4．（24-25高一上·吉林长春·月考）非空集合A，B满足，且中元素个数不大于1.定义集合，，则（

）A．集合A，B中元素个数之和为10或11 B．集合中元素个数最多为17C．集合中元素个数最多为18 D．集合中元素个数最多为9三、填空题5．（24-25高一上·云南昭通·月考）在中学阶段，对许多特定集合（如实数集等）的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容.现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，规定：.则.6．（24-25高一上·四川眉山·期末）定义集合的商集运算为：，已知集合，，则集合的真子集个数是.类型八、集合的新定义问题Ⅲ—给定新性质一、单选题1．（24-25高一上·浙江·月考）若数集具有性质：对任意的与中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则（

）A．“权集”中一定有1 B．为“权集”C．为“权集” D．为“权集”2．（24-25高一上·甘肃兰州·月考）若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则，，且当时，，则称集合A是“紧密集合”．现有以下说法：①整数集是“紧密集合”；②实数集是“紧密集合”；③“紧密集合”可以是有限集；④若集合A是“紧密集合”，且x，，则．其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题3．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知整数集，或，若存在，使得，，，则称集合具有性质，则（

）A．若，则具有性质 B．若，则具有性质C．若，则一定具有性质 D．若，则一定具有性质三、填空题4．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，其中且，，若对任意的，，都有，则称集合具有性质，若集合具有性质，则的最小值为.四、解答题5．（24-25高一上·云南玉溪·期末）设是正整数，是的非空子集（至少有两个元素），如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质．(1)试判断集合是否具有性质？并说明理由；(2)若集合，证明不可能具有性质；(3)若集合具有性质和，中最多有几个元素，并说明理由．6．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知数集（，且），若，均有，则称具有性质．规定集合，集合，设集合中的元素个数为，集合中的元素个数为．(1)试判断集合和集合是否具有性质；(2)若具有性质，，证明：；(3)若具有性质，试比较a，b的大小，并说明理由．一、单选题1．（2025·辽宁·三模）已知集合，则的子集个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．42．（23-24高一下·广东茂名·月考）设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（

）A． B．C．或 D．3．（23-24高一下·江西·月考）若集合，，则中所有元素的和为（

）A． B． C． D．4．（25-26高一上·全国·课后作业）若全集，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，，且，则的值为（

）A． B． C． D．6．（24-25高一上·广东广州·月考）设集合，，那么（

）A． B． C． D．7．（24-25高一上·广东汕头·月考）若集合恰有两个子集，则实数的值是（

）A．或 B．或 C． D．或8．（24-25高一上·江苏泰州·期末）若，则的最大值为（

）A．12 B．13 C．16 D．189．（24-25高一下·浙江·月考）定义集合的“对称差集”:且.已知集合，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．若，则10．（24-25高一上·江苏泰州·月考）已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（

）A． B．的不同子集的个数为8C． D．11．（24-25高一上·河北石家庄·月考）“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四书”指《大学》《中庸》《论语》《孟子》.某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查了200位学生，其中阅读过《大学》的有60位，阅读过《论语》的有160位，阅读过《大学》或《论语》的有180位，阅读过《大学》且阅读过《论语》及《中庸》的有20位．则该校被调查的200位学生阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数值是（

）A．20 B．40 C．60 D．8012．（25-26高一·全国·假期作业）对于非空数集，用表示中所有元素之和.若非空集合，满足且，则称，为的一个划分.已知且，称为的一个划分，则的最大值为（

）A．2 B．3 C．5 D．613．（24-25高一上·河南·期中）8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕.中国体育代表团在巴黎奥运会获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩.小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为（

）A．26 B．46 C．28 D．4814．（23-24高一上·湖北·月考）在实数集R中定义一种运算“”，具有以下三条性质：①对任意，；②对任意，，；③对任意，，，，以下正确的选项是（

）A．B．C．对任意的，，，有D．对任意，，，有15．（24-25高一上·上海·期中）“群”的概念由数学家伽罗瓦在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学、晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.“群”的定义是：设为某种元素组成的一个非空集合，若在内定义一个运算“*”，满足以下条件：①任意.有②如，有；③在中有一个元素，对任意，都有，称为的单位元；④任意，在中存在唯一确定的，使，称为的逆元；此时称为一个群例如实数集和实数集上的加法运算“＋”就构成一个群，其单位元是，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（

）A．，则为一个群B．，为一个群C．，则为一个群D．，则为一个群二、多选题16．（24-25高一上·山东泰安·月考）集合U，M，N的关系如图所示，则下列关系中能表示阴影区域的是（

）A． B． C． D．17．（2025·浙江温州·模拟预测）给定，若集合，且存在，满足，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为，则（

）A．是“广义等差集合”B．是“广义等差集合”C．若P