专题05 基本不等式证明以及柯西、权方和不等式的秒杀应用（压轴题4大类型专项训练）数学人教A版2019必修一（原卷版）

1/10专题05基本不等式证明以及柯西、权方和不等式的秒杀应用目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"1-2"\h\u典例详解 1类型一、利用基本不等式证明 1类型二、二维柯西不等式 2类型三、三维柯西不等式 4类型四、权方和不等式 5压轴专练 7类型一、利用基本不等式证明基本不等式链：即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).一、解答题1．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知，且．(1)证明：；(2)求的最小值．2．（24-25高一上·福建宁德·期中）（1）已知，，且，求的最大值；（2）证明：、、，.3．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知，求证：(1)；(2)．4．（24-25高一上·四川德阳·阶段练习）已知，，，且，证明：(1)；(2).5．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）（1）已知，，.求证：.（2）已知正数满足，求的最小值6．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）（1）设、、、为正实数，证明不等式：；（2）若正实数、满足：，求的最小值；（3）若，，当时，求的最大值.类型二、二维柯西不等式1、二维形式的柯西不等式2、记忆方法：口诀：平和城，城和平平：平方城：同“乘”，相乘的意思3、二维形式的柯西不等式的变式一、单选题1．设，且，则的最小值为A． B．9 C．10 D．02．已知：，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．实数x、y满足，则的最小值是（

）A． B． C．3 D．44．已知a，，，则的最大值为（

）A．18 B．9 C． D．二、填空题5．已知正实数满足，则的最小值为．三、解答题6．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题：(1)已知，是否存在正实数，使得？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由；(2)已知，比较与的大小并说明理由；(3)利用（2）的结论解决下面问题：已知，均为正数，且，求的最大值．7．设实数，满足，求证：．类型三、三维柯西不等式，当且仅当时，等号成立.注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了.一、单选题1．已知且则的最小值是（

）A．1 B． C． D．22．柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（）A．14 B．12 C．10 D．83．已知，则的取最小值时，为（

）A． B． C．3 D．4．由柯西不等式，当时，求的最大值为（

）A．10 B．4 C．2 D．二、填空题5．已知、、，且满足，则的最小值为.6．已知为正实数，且，则的最小值为．7．（2025高一·全国·专题练习）已知正实数x、y、z的和为1，则的最小值为．三、解答题8．（2025高一·全国·专题练习）设正数，，满足．(1)求的最小值；(2)求证：．9．（2025高一·全国·专题练习）设正数，，满足．(1)求的最小值；(2)求证：．类型四、权方和不等式权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立.证明1：要证只需证即证故只要证，当且仅当时，等号成立即，当且仅当时，等号成立.证明2：对柯西不等式变形，易得在时，就有了当时，等号成立．推广1：当时，等号成立．推广:2：若，则，当时，等号成立.推广3：若，则，当时，等号成立.注：1、很多题目是不会直接可以利用权方和不等式解决的，需要进行一定的配凑与变形.2、权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化.另外，一定要验证等号成立条件.一、单选题1．已知且，a，b，c为常数，则的最小值为（

）A． B．C． D．前三个答案都不对二、填空题2．已知x>0，y>0，且，则x+2y的最小值为.3．已知a，b为正实数，，且满足，则的最小值为.4．已知正数，，满足，则的最小值为三、解答题5．（23-24高一上·江西景德镇·阶段练习）已知，，，且.(1)求证：；(2)求证：.一、单选题1．实数，，，满足，，那么的最大值为（

）．A． B． C． D．2．已知、，，求的最大值为（

）A． B． C． D．3．函数的最大值是()A． B． C．3 D．54．已知，，为实数，且，则的最小值为（

）A． B．1 C．2 D．5．已知，，，且，则的最大值为A．3 B． C．18 D．9二、填空题6．（23-24高一·全国·课堂例题）若不等式对任意正实数x，y都成立，则实数k的最小值为.7．已知，求的最小值为8．已知，，均为非负数，且，则的最小值为．9．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）存在正数使得不等式成立，则的最大值是.10．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为.11．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）已知，，则的最小值为．三、解答题12．（24-25高一上·贵州六盘水·阶段练习）已知，，且．(1)求的最小值；(2)证明：．13．（24-25高一上·河北唐山·期中）已知，，且.(1)证明：.(2)求的最小值.14．（2024·四川成都·二模）已知.(1)证明：；(2)已知，，求的最小值.15．（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题：已知，且，求的最小值．李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同．李雷的解法：由于，所以，而．那么，则最小值为．韩梅梅的解法：由于，所以，而，当且仅当，即时，等号成立则最小值为．(1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？（错误的需说明理由）(2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决：（i）设都是正数，求证：；（ii）已知，且，求的最小值．16．（2024·陕西安康·模拟预测）已知均为正数，且．(1)证明：；(2)求的最小值．17．（2024·四川成都·模拟预测）已知，且．(1)求的最小值m；(