专题12 函数的单调性、奇偶性、对称性的综合应用（压轴题10大类型专项训练）数学人教A版2019必修一（解析版）

1/10专题12函数的单调性、奇偶性、对称性的综合应用目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"1-2"\h\u典例详解 1类型一、定义法证明函数的单调性 1类型二、利用单调性比较大小 5类型三、利用单调性解不等式 7类型四、利用函数的单调性求参数 10类型五、函数奇偶性的判断（含函数图像的判断） 14类型六、利用函数的奇偶性求参数和解析式 18类型七、奇偶性结合单调性比较大小 20类型八、奇偶性结合单调性解不等式 24类型九、伪奇函数求最值问题 26类型十、函数的对称性及其应用 27压轴专练 32类型一、定义法证明函数的单调性1、定义法证明函数单调性的步骤①取值：设，为该区间内任意的两个值，且；②作差变形：做差，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形；③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论；④定论：根据定义做出结论，指出函数在给定区间上的单调性．2、利用定义证明函数的单调性时，常用的变形技巧（1）因式分解：当原函数是多项式时，通常做差变形进行因式分解；（2）通分：当原函数是分式函数时，做差后往往先进行通分合并，然后对式子进行因式分解；（3）配方：当原函数是二次函数时，做差后可以考虑配方；（4）分子有理化：当原函数是根式函数时，做差后往往考虑分子有理化．3、若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：（1）与（C为常数）具有相同的单调性.（2）与的单调性相反.（3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反.（4）若≥0，则与具有相同的单调性.（5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性.（6）与的和与差的单调性（相同区间上）:简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.一、多选题1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）函数在是减函数，且，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据函数单调性及，得到，进而判断出ABC正确，D错误.【详解】AB选项，在是减函数，且，故，，AB正确；CD选项，因为，，所以，，C正确，D错误.故选：ABC2．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在下列区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根据函数单调性定义计算化简出单调区间，应用特殊值法得出B,C选项不单调递增.【详解】的定义域为．设，则，当时，，所以，所以在单调递增，则函数在区间和上单调递增，A，D正确；当或时，，则和上不单调递增，B，C错误．故选：AD.二、解答题3．利用定义法证明：函数在上是减函数.【答案】证明见解析【分析】根据单调性的定义证明即可.【详解】证明：设则，，，，，，即，所以函数在上是减函数.4．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，试判断在区间上的单调性，并加以证明.【答案】函数在上单调递减，证明见解析【分析】函数在上单调递减，利用单调性的定义证明即可.【详解】函数在上单调递减.证明如下：任取，且，则.因为，所以，，，所以，即.所以函数在上是单调递减函数.5．（24-25高一上·全国·课前预习）用定义法证明：函数在上是增函数.【答案】证明见解析【分析】根据函数单调性定义证明即可.【详解】证明：设是上的任意两个实数，且，所以，则，.，即，函数在上是增函数.类型二、利用单调性比较大小利用单调性解不等式的相关结论（1）正向结论：若在给定区间上单调递增，则当，且时，；当，且时，．（2）逆向结论：若在给定区间上单调递增，，则当时，；当时，．当在给定区间上单调递减时，也有相应的结论．一、单选题1．（24-25高一上·天津东丽·期中）已知在上是减函数，，若，则下列正确的是（

）A． B．C． D．以上都可能【答案】C【分析】由减函数的性质求解即可；【详解】因为在上是减函数，所以，若，则，故选：C.2．，则有（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函数的单调性，判断选项即可．【详解】定义域在上的函数满足：对任意的，，有，可得函数是定义域在上的增函数，所以（1）（3）．故选：．3．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）函数为定义在上的减函数，若，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据是定义域上的减函数，且，然后比较与的大小关系，从而得出选项A错误；比较与的大小即可得出选项B错误；可得出，从而得出选项C正确；比较大小即可判断D.【详解】是定义在上的减函数，，与的大小关系不能确定，从而关系不确定，故A错误；，时，；时，，故的关系不确定，故B错误；，，，故C正确．，时，；时，，故关系不确定，D错误，故选：C．4．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数是实数集上的严格增函数，且，则（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函数单调性和不等式的性质求解.【详解】因为，所以，，又因为在R上严格增，所以，，所以.故选：A．5．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数，，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由定义法得到函数在上单调递增，然后求自变量的范围，从而得到正确结论.【详解】任取，则∵，∴，则在上单调递增．又，所以．故选：D.类型三、利用单调性解不等式一、单选题1．（24-25高一上·黑龙江黑河·月考）若函数在R上单调递减，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的单调性，求解不等式.【详解】因为函数在单调递减，且，所以，即，解得.故选：C.2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的定义域与单调性将原不等式化为，从而可得答案.【详解】因为函数是定义在上的增函数，由，得，解得，即，故选：B二、填空题3．（23-24高一上·北京·期末）已知函数是定义在上的函数，，当时，，则不等式的解集为【答案】【分析】确定函数的单调性，再利用单调性求解不等式.【详解】依题意，函数在上单调递减，不等式，解得，所以原不等式的解集为.故答案为：4．（2025高一·全国·专题练习）设函数，若，则实数的取值范围是．【答案】【分析】作出函数的图象，分析函数的单调性，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】函数的定义域为，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，在上是增函数．又因为，所以，即，解得，所以实数的取值范围是．故答案为：．5．（24-25高一上·北京西城·期末）已知函数，若，则实数的取值范围.【答案】或【分析】求出函数的单调区间及单调性，再利用单调性解不等式.【详解】函数的定义域为，函数在上都递增，因此函数在上单调递增，由，则，解得或，所以实数的取值范围是或.故答案为：或类型四、利用函数的单调性求参数利用函数的单调性求参数的取值范围首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小．若是增函数，则分界点左侧函数值小于或等于右侧函数值；若是减函数，则分界点左侧函数值大于或等于右侧函数值．一、单选题1．（24-25高一下·云南昭通·开学考试）“”是函数在上是增函数的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由函数单调性可求得，再根据不等式范围大小可判断出结论.【详解】因为在上是增函数，可得，即，显然“”能推出“”，反之则不成立，所以“”是函数在上是增函数的充分不必要条件.故选：A.2．（2025高一·全国·专题练习）已知函数满足随增大而减小，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通过，，三种情况讨论即可.【详解】当，，显然符合，当时，函数图象为开口向下的抛物线，在单调递增，不符合，当时，函数图象为开口向上的抛物线，在单调递减，此时需满足，即，综上实数的取值范围是，故选：C3．（24-25高一下·辽宁朝阳·月考）已知函数，在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，由函数在上单调递增，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，，解得，即，所以实数的取值范围为.故选：A4．（24-25高一上·上海·期末）已知函数在区间上是严格增函数，则的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】当时，函数是一次函数，结合一次函数单调性可判断选项B；当时，对函数解析式变形，结合反比例函数的单调性即可求解.【详解】当时，，∵函数在区间上是严格增函数，.故选项B错误；当时，，∵函数在区间上是严格增函数，结合反比例函数的性质可知：，即.故选项A，D错误，选项C正确.故选：C.5．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由变形得，构造函数,进而根据二次函数的单调性求参数.【详解】由，得，则，设函数，则对都有成立，所以函数在区间上单调递增，所以，解得，则.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变形为，从而构造函数.二、填空题6．（2025高一·全国·专题练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围为．【答案】【分析】利用单调性的定义来进行判断，结合分离参数，即可求出参数范围.【详解】对任意，都有，即成立，所以，即实数的取值范围为．故答案为：7．（2025高一·全国·专题练习）若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为．【答案】【分析】利用定义法判断单调性，转化为不等式恒成立问题求解即可．【详解】，则又在区间上是减函数，所以在上恒成立，又，，所以，即，又，所以,则故答案为：．8．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数在区间上不单调，则的取值范围是．【答案】【分析】将函数化成分段函数的形式，判断单调性即可得解.【详解】因为函数，所以该函数在上单调递减，在上单调递增，又在区间上不单调，所以，故的取值范围是．故答案为：.类型五、函数奇偶性的判断（含函数图像的判断）定义法若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.【注意】判断与的关系时，也可以使用如下结论：（1）如果或，则函数为偶函数；（2）如果或，则函数为奇函数．一、单选题1．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，由偶函数的定义可得，可求的值，进而可求得结论.【详解】因为是定义在上的偶函数，所以，解得，所以定义域为又，所以，所以，又，所以，所以.故选：D.2．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式.【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，，当时，，则.故选：A3．（24-25高一上·陕西西安·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函数奇偶性求对称区域解析式，再利用绝对值的意义，把分段函数又写成含绝对值的函数即可.【详解】当时，，即有，再由是定义在上的奇函数，所以，即有，所以当时，，当时，，综上可得：，故选：C.4．（24-25高三上·广西河池·期末）已知为奇函数，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】利用求出值并验证即可.【详解】函数的定义域为，而为奇函数，则，此时，，即为奇函数，所以.故选：B二、填空题5．（24-25高一上·天津宁河·期中）已知函数是奇函数，则实数a的值为.【答案】【分析】根据奇函数的定义表达式求解即可.【详解】由题知，的定义域是，又是奇函数，故对定义域中的每一个，均满足，即，即，即.故答案为：6．（24-25高一上·上海奉贤·月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，则定义域为的该函数的解析式为.【答案】【分析】由奇函数的性质求解即可；【详解】当时，则，由奇函数性质知，所以.故答案为：.7．（24-25高一上·山西·期末）若函数为偶函数，则实数．【答案】【分析】利用偶函数的性质令代入求解即可；【详解】因为为偶函数，所以，即，所以，所以．故答案为：.8．（24-25高一上·安徽·期中）已知定义域为的偶函数满足：，则函数的解析式为.【答案】【分析】先由构造法求出，再利用偶函数定义即可求出时的解析式，进而可得函数在上的解析式.【详解】因为，，所以当时，，因为是定义域在上的偶函数，所以当时，，，所以函数在上的解析式为.故答案为：.类型六、利用函数的奇偶性求参数和解析式1、由函数的奇偶性求参数若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数．2、由函数的奇偶性求函数值由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值．3、由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤（1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上；（2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得；（3）利用函数的奇偶性把改写成，从而求出．一、单选题1．（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数为定义在R上的偶函数，且对任意都有则下列关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由函数为定义在上的偶函数可得，然后利用的单调性可得答案.【详解】因为函数为定义在上的偶函数，所以，因为对任意都有，即有在上单调递减，所以，故选：D2．已知是偶函数，在上是增函数，则，，的大小关系为：（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据奇偶性可得，，根据单调性即可比较大小.【详解】因为是偶函数，所以，.因为在上是增函数，所以，所以.故选;D.3．已知定义域为的函数为偶函数，且在内单调递减，记，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知区间单调性及偶函数的对称性知在上递增，根据单调性比较的大小关系.【详解】由为偶函数且在内单调递减，所以在上递增，由，而，因为，故，所以.故选：B类型七、奇偶性结合单调性比较大小比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小．一、单选题1．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递减．若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题可得在R上的单调性，然后由奇函数性质可得答案.【详解】是定义域为的奇函数，且在上单调递减，则在上单调递减，即在R上单调递减.又，则，则.故选：C2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由偶函数知，时；当时，故，结合区间单调性和定义域列不等式求参数范围.【详解】因为是上的偶函数，所以，又在上单调递增，结合，所以，解得或，故实数的取值范围为．故选：C3．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，确定函数在上单调性，再利用函数的性质求解不等式.【详解】对于且，不等式恒成立，得在上单调递增，又是定义在上的奇函数，且，则在上单调递增且，解不等式，得或，解得或，所以不等式的解集为.故选：D4．（24-25高一上·吉林延边·期末）定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意得到，的值与的单调性，再分类讨论，，，与五种情况，结合的性质即可得解.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且，所以，，在上单调递增，当时，成立；当时，成立；当，即时，，即有，可得；当时，，，可得，可得；当时，，，可得，可得；综上，或，即的取值范围是.故选：B.【点睛】易错点睛：本题容易忽略的情况，从而出现漏解的情况.5．（24-25高一下·广东·月考）已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数是奇函数且在单调递增，即可利用函数单调性解不等式.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且，所以.因为函数在上单调递增，则该函数在上也单调递增，当时，，由可得，解得；当时，，由可得，可得，此时不存在；当时，，由可得，解得.综上所述，不等式的解集为.故选：A.6．（24-25高一上·湖北省直辖县级单位·月考）已知是定义在上的偶函数.，，且，恒有.若，则不等式的解集为（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】构造函数结合函数单调性的定义判定其单调性，根据奇偶性与单调性解不等式即可.【详解】不妨设，所以，则，所以，令，则，所以在上单调递增，又是偶函数，所以，即也是偶函数，则其在上单调递减，因为，所以，则，所以，解之得，.故选：D7．（24-25高一上·河北廊坊·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的单调性和奇偶性可取不等式的解.【详解】因为，且，都有成立，故在上为增函数，而为上的偶函数，故，故为上的奇函数，故在上为单调增函数，当时，原不等式即为，故，解得；当时，原不等式即为，故，解得，综上原不等式的解为：，故选：C.类型八、奇偶性结合单调性解不等式抽象不等式问题，解题步骤是：（1）将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；（2）利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“”，转化为解不等式（组）的问题．需要注意的是：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“”时，需转化为含符号“”的形式．一、单选题1．（24-25高一上·四川巴中·月考）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（

）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】设，根据奇函数的定义可得为奇函数，进而根据奇函数的对称性求解即可.【详解】设，，则，所以函数为奇函数，则，即.故选：D.2．（24-25高一上·山东日照·月考）已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】构造，确定函数为奇函数，，根据奇函数性质计算得到答案.【详解】设，函数定义域为，则，即为奇函数，其图象关于原点对称，则的最大值与最小值之和为0，则，故.故选：B二、填空题3．（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则=【答案】4048【分析】将函数（），化简为（），构造函数（），判断奇偶性，根据奇函数的性质，即可求得答案.【详解】由题意得，令，（）则，即为奇函数，则，又函数，（）的最大值为，最小值为，得，则，故答案为：4048.类型九、伪奇函数求最值问题伪奇函数的性质：若，其中为奇函数.则；(2).一、单选题1．（24-25高一上·四川巴中·月考）设函数在区间上的最大值是M，最小值为m，则等于（

）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】设，根据奇函数的定义可得为奇函数，进而根据奇函数的对称性求解即可.【详解】设，，则，所以函数为奇函数，则，即.故选：D.2．（24-25高一上·山东日照·月考）已知函数的最大值为，最小值为，则的值等于（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】构造，确定函数为奇函数，，根据奇函数性质计算得到答案.【详解】设，函数定义域为，则，即为奇函数，其图象关于原点对称，则的最大值与最小值之和为0，则，故.故选：B二、填空题3．（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则=【答案】4048【分析】将函数（），化简为（），构造函数（），判断奇偶性，根据奇函数的性质，即可求得答案.【详解】由题意得，令，（）则，即为奇函数，则，又函数，（）的最大值为，最小值为，得，则，故答案为：4048.类型十、函数的对称性及其应用1、(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.2、在定义域内恒满足的图象的对称轴（中心）直线直线直线点点点一、单选题1．已知函数的图象关于直线对称，且在(－∞，]上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由的图象关于对称，将问题转化为比较，，的大小.【详解】的图象关于对称，所以，又因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以.故选：B.2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函数的图象变换求解.【详解】因为函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，又函数的图象是的图象向左平移1个单位，向上平移2个单位得到的，所以函数图象对称中心的是，故选：B3．（24-25高一下·广东湛江·期中）已知函数的图象关于点中心对称，且在上单调，若，，且，则的最小值是（

）A．4 B． C．8 D．9【答案】D【分析】根据题意，可得，利用基本不等式求解.【详解】由题意可得，，则，当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值为9.故选：D.4．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知定义域为的函数在单调递增，且，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据已知可得函数关于点对称，结合单调性可得函数在上单调递增，再转化不等式为，由单调性即可列不等式得解集.【详解】因为，则，所以函数关于点对称，又函数在单调递增，所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增，不等式转化为，所以，即，解得，故不等式的解集为.故选：C.5．（23-24高一上·广西玉林·期中）已知是偶函数，对任意，且，都有，且，的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可得的图像关于对称，结合的单调性解不等式即可.【详解】因为是偶函数，可知的图像关于对称，且，则，又因为任意，且，都有，可知在单调递减，结合函数图像的对称性可知函数在单调递增．当，，可得；当，，可得；所以的解集是．故选：A.6．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数满足，对任意，且，都有成立，且，则的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由已知条件得到的图象关于对称，从而可知在上为增函数，在上为减函数，且，再画出折线图表示出函数的单调性，即可得到答案.【详解】令，由，所以，所以是偶函数，的图象关于轴对称，所以，的图象关于轴对称，所以的图象关于对称.因为函数对任意，且，都有成立，所以在上为增函数.又因为的图象关于对称，，所以在为减函数，且.用折线图表示函数的单调性，如图所示：由，可得或，结合图象可得或，所以的解集是.故选：C.【点睛】关键点点睛：关键是得出函数关于对称，以及根据函数的单调性的定义得出的单调性.7．（24-25高一上·重庆长寿·期末）已知函数在是增函数，关于轴对称，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，由函数的单调性以及对称性将不等式化简，然后代入计算，即可得到结果.【详解】因为关于轴对称，则关于对称，又函数在是增函数，所以在是减函数，由可得，由函数的单调性以及对称性可得，即，化简可得，解得或，则实数的取值范围是.故选：D一、单选题1．（24-25高一下·陕西西安·月考）若函数是定义在上的偶函数，则（

）A． B． C．3 D．1【答案】B【分析】由偶函数的性质定义域关于原点对称和可得.【详解】由题意可得，又,则，所以.故选：B2．已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函数的单调性判断即可.【详解】由得，，结合在上单调递减，则必有，显然B正确，A错误，而当时，不在定义域内，故无法比较，C,D错误.故选：B3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）函数的图象大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据奇偶性可排除B和C；根据时，可排除A.【详解】函数的定义域为，，所以函数为奇函数，故排除B和C；当时，，故排除A.故选：D.4．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在上既没有最大值也没有最小值，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次函数图象性质可得函数在上单调，进而可以求解．【详解】由已知可得函数图象的对称轴为直线，且函数在区间上单调，则或，解得或，又，即，所以或，即的取值范围是.故选：C.5．（24-25高一上·浙江台州·期中）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先判断函数的单调性，再结合分段函数，以及基本初等函数的定义，即可求解.【详解】由题意可知，，则，所以单调递减，当时，单调递减，则，得，当时，单调递减，则，得，在分界点处，，得，综上可知，.故选：A6．（24-25高一上·北京·期中）已知函数在上单调递增，且函数的图象关于直线对称，设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用对称性将不在上的自变量值转化到上对应的自变量值，再根据单调性比较函数值大小.【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以有.那么，.已知函数在上单调递增.在上，，根据单调性，当时，，所以.即，也就是.故选：A.7．（24-25高一上·湖北武汉·期末）“”是“在上单调递减”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据函数单调性的定义及充分条件、必要条件求解.【详解】当在上单调递减，设任意，且，则，又，所以可得，故“”是“在上单调递减”的充要条件，故选：C8．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将函数写成分段函数，即可得到的单调区间，从而求出参数的取值范围.【详解】因为，所以当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，即的单调递增区间为，故，解得，所以实数的取值范围为．故选：A9．（25-26高一上·全国·单元测试）已知定义在R上的函数满足，且，，，有，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先分析出的图象关于直线对称，然后分析出在和上的单调性，最后逐项分析函数值大小关系．【详解】因为，所以的图象关于直线对称，由条件可知在上单调递减，所以在上单调递增．对于A，，所以A错误；对于B，因为，所以，所以B错误；对于C，因为，所以，所以C正确；对于D，因为且，所以，所以D错误．故选：C.10．（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意函数解析式可化为，利用反比例函数图象的平移和性质可得，解不等式即可得到结果.【详解】由题意得，.∵函数在区间上单调递减，∴，解得，即的取值范围是.故选：C.11．已知函数是R上的偶函数，当时，恒成立.若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可求出函数在上单调递减，在上单调递增，即可得出的大小.【详解】函数是R上的偶函数，所以关于对称，当时，恒成立知，函数在上单调递减，在上单调递增，所以.故选：D.12．已知定义在上的偶函数，对有，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，确定函数的定义域，再由已知条件判断函数在定义域内的单调性，最后利用函数的奇偶性和单调性来求解不等式.【详解】是定义在上的偶函数，根据偶函数的定义域关于原点对称，可得，解得，的定义域为.又对有，在上单调递增，为偶函数，在上单调递减.由，不等式可化为，根据偶函数的性质，不等式可化为，由以上推出的条件可得，解得.故选：A.13．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知定义域为的奇函数，对任意，有，的解集为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根据已知条件判断函数的单调性，再利用奇函数的性质将不等式进行转化，最后求解不等式.【详解】已知对任意，有，这表明当时，；当时，.即当时，，所以函数在上是减函数.因为是定义域为的奇函数，所以，那么.所以可化为，即.由于在上是减函数，且，根据减函数的性质可得.得到.可得.所以不等式的解集为.故选：B.14．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，且是偶函数，则满足的x的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由平移法则确定函数关于直线对称，且在上单调递增，结合函数对称性和单调性求解不等式即可.【详解】因为函数是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，又在上单调递增，由，得，即，平方并化简，得，解得或，即的取值范围为．故选：D15．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）定义域为的函数满足，，且，，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意得出函数的单调性和对称性，再进行分类讨论即可.【详解】由题意，是函数的对称轴，在上是增函数，所以在上是减函数，又，所以，所以当时，，满足，当时，，，也满足，所以不等式的解集为.故选：D.16．（24-25高一上·福建泉州·期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】构造函数，由奇偶性定义可知为奇函数，知，由此可求得结果.【详解】，设，定义域为，则，所以函数为奇函数，所以，则，即.故选：C.17．（24-25高一上·山东日照·期中）已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件可得在上单调递增，再分类讨论即可求解．【详解】函数的定义域为R，当时，，令函数，依题意，对任意的，恒成立，因此函数在上单调递增，当时，则，解得，因此；当时，函数在单调递增，因此；当时，则恒成立，因此，实数a的取值范围是．故选：B18．（24-25高一上·河北石家庄·期中）已知函数，是定义在上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且.若对任意，都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据函数奇偶性求的解析式，再由转化为，设，由在上单调递增求参数的取值范围.【详解】因为，，用代替得，所以，结合，所以，因为，，所以，设，所以在单调递增，所以或或，所以或或，所以.故选：C.【点睛】方法点睛：二次函数在给定区间上的单调性问题，一般要讨论抛物线开口方向与区间与对称轴的位置关系.19．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（

）A．0 B． C．2025 D．【答案】B【分析】根据偶函数的性质，结合可求得函数的解析式，再利用即可求值.【详解】由题意知，函数的定义域为，因为函数是偶函数，所以，即，化简得，则；所以，又，则，解得，则，因为，所以故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于根据所求和式的特征，通过计算得，即可求值.二、多选题20．（23-24高一上·广东潮州·期中）已知的定义域是区间，则“是单调函数”的充分条件可以是（

）A．B．C．D．【答案】AB【分析】AB由单调增减函数定义判断，CD举反例结合充分条件判断即可.【详解】当，则是单调递增函数；也即，是单调递增函数；当，则是单调递减函数；也即，是单调递减函数；故AB正确；对C，令，，但不是单调函数，故C错误，对D,令,定义域为,满足，但在不单调，故D错误.故选：AB21．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知定义在的函数满足：当时，恒有，则（

）A．B．函数在区间为增函数C．函数在区间为增函数D．【答案】BD【分析】令可判断A；不妨设，可得，即，即可判断B；结合选项B，可取判断C；结合选项B及不等式的性质判断D.【详解】令，则有，即，故A错误；不妨设，由，可得，∴，∴函数在区间为增函数，故B正确；由选项B可知，函数在区间为增函数，可取，此时在区间为增函数，而，可知函数在上为减函数，在上为增函数，故C错误；∵函数在区间为增函数，，∴，∴，∴，故D正确.故选：BD.三、填空题22．（24-25高一上·上海·随堂练习）设函数为奇函数，则．【答案】－1【分析】利用函特殊函数值求出，再验证即可.【详解】因为函数为奇函数，所以，即，解得，可得，因为函数定义域关于原点对称，，所以为奇函数，故.故答案为：.23．（24-25高一下·上海宝山·期末）已知函数的定义域为，满足，且在上为严格减函数，则不等式的解集为.【答案】【分析】根据题设有关于对称，在上为严格增函数，利用对称性和单调性有，即可求解.【详解】由，即关于对称，又在上为严格减函数，则在上为严格增函数，由，则，即，所以不等式的解集为.故答案为：24．（24-25高一上·天津·期中）已知函数，若在单调递增，则m的范围为.【答案】.【分析】由题意，结合二次函数性质得单调区间，进一步结合已知即可列不等式求解.【详解】由题意，所以在单调递减，在单调递增，在