专题13 抽象函数性质全归纳（压轴题7大类型专项训练）数学人教A版2019必修一（解析版）

1/10专题14抽象函数性质全归纳目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）TOC\o"1-2"\h\u典例详解 3类型一、抽象函数的定义域 3类型二、抽象函数求值 5类型三、抽象函数的值域 7类型四、抽象函数的解析式（简单应用） 9类型五、抽象函数的单调性 12类型六、抽象函数的奇偶性 16类型七、抽象函数的对称性 22压轴专练 26【注意：掌握模型可以快速解题】1、常见的抽象函数模型【反比例函数模型】反比例函数：，则，【一次函数模型】模型1：若，则；模型2：若，则为奇函数；模型3：若则；模型4：若则；【指数函数模型】（供提前了解）模型1：若，则；模型2：若，则；模型3：若，则；模型4：若，则；【对数函数模型】（供提前了解）模型1：若，则模型2：若，则模型3：若，则模型4：若，则模型5：若，则【幂函数模型】（供提前了解）模型1：若，则模型2：若，则代入则可化简为幂函数；【正弦函数模型】（供提前了解）对于正弦函数

，与其对应的抽象函数为注：

此抽象函数对应于正弦平方差公式：【余弦函数模型】（供提前了解）对于余弦型函数

，涉及2种余弦的和差化积公式1、公式一：其抽象函数模型是：2、公式二：其抽象函数模型是：3、若，则【正切函数模型】（供提前了解）模型：若，则2、其他技巧（1）观察不等式两端的特点，化为同类函数；（2）借助函数的单调性，脱掉“”；（3）注意定义域及单调区间，特别是对数函数中真数大于0.类型一、抽象函数的定义域抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.1．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可；【详解】由题意：要使有意义，则解得，所以的定义域为．故选：C2．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】应用抽象函数定义域求解即可.【详解】函数的定义域为，在中，由，得，所以的定义域为.故选：A3．（24-25高一上·重庆·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据定义域满足的不等式关系，即可列不等式组求解.【详解】由于函数的定义域为，所以的定义域需要满足：，解得或，故定义域为：故选：D4．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求．【详解】在中，，∴，∴的定义域是，故在中，解得，∴的定义域是.故选：A.类型二、抽象函数求值一般采用赋值法，，x,-x是常见的赋值手段1．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）若对任意恒成立，且，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】赋值可解.【详解】由对任意恒成立，令，得，解得.故选：B.2．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数满足，且，则的值为（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】利用赋值法，分别令和令，列方程求得，再令，可得，最后令，可得.【详解】由题意取令，可得，令，可得，所以，令，可得，所以，令，可得，所以.故选：A.3．已知函数的定义域为，且，，则的值是（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【分析】由赋值法先得，再由与关系列式求解．【详解】中令，则，中令，，则，又中令，则，所以，中，令，则，再令，，则．故选：D4．已知函数的定义域为，且，则（

）A．0 B．1 C．2024 D．2025【答案】D【分析】利用赋值法，先令求出，再令，结合方程组法可求解析式，则答案可得.【详解】令可得，所以，再令可得，即①，将上式中的全部换成可得②，联立①②可得,所以，故选：D5．（24-25高一上·河南开封·期中）已知函数的定义域为，都有，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】采用“赋值法”探索函数的性质.令，则，根据递推关系，可以求解.【详解】当时，，所以；令，得，所以；，，……，.故选：B【点睛】方法点睛：根据函数方程，采用“赋值法”，探索函数值之间的递推关系，再求出，根据递推关系可最终求解.类型三、抽象函数的值域1．（24-25高一上·北京·期中）定义域为的函数的值域为，则函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由函数图像的平移变换，即可得到结果.【详解】因为函数是由函数向右或向左平移个单位得到，所以函数的值域与函数的值域相同.故选：B2．已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域及值域求解判断即可.【详解】函数的定义域为，则在函数中，，解得，因此函数的定义域为；由函数的值域为，得函数的值域为，即，则，故函数的值域为.故选：C3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，值域为，则（

）A．函数的定义域为B．函数的值域为C．函数的定义域和值域都是D．函数的定义域和值域都是【答案】B【分析】根据题意，由抽象函数单调性的求解，逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误；对于B选项：因为的值域为，所以的值域为，可得向下平移两个单位的函数的值域也为，故B选项正确；对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误；对于D选项：若函数的值域为，则，此时无法判断其定义域是否为，故D选项错误.故选：B4．（24-25高一上·广东广州·月考）（多选题）已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据给定条件，结合图象变换判断AC；求出函数值域判断BD.【详解】对于A，的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的，值域不变，A正确；对于B，由，得，即的值域为，B错误；对于C，函数与函数的图象关于轴对称，则函数的值域与函数的值域相同，为，C正确；对于D，由，得，即的值域为，D错误.故选：AC5．（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知定义在上的函数的值域是，则函数的值域是.【答案】【分析】根据函数图象的关系，结合值域的定义分析即可【详解】函数的图象向左平移3个单位得到的图象，因此函数的值域为，则函数的值域是.故答案为：.类型四、抽象函数的解析式1．（25-26高一上·江西南昌·月考）已知函数满足，则的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分别将替换为和，即可联立方程求解.【详解】当时，（1）在（1）中将替换为，则

（2）在（1）中将替换为，则

（3）可得：且故选：B.2．（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（

）A． B． C．为增函数 D．为奇函数【答案】C【分析】利用赋值法求出、及的值，从而判断AB；令，结合的值，可得，从而判断CD.【详解】对于A，令，则，又因为，所以，令，则，解得，故A错误；对于B，令，则，又，解得，故B错误；对于C，令，则有，又因为，所以，所以函数为单调递增函数，故C正确；对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误.故选：C.3．（25-26高一上·广东佛山·月考）已知定义在上的函数满足（其中，），请写出满足条件的一个函数表达式．【答案】（答案不唯一）【分析】根据给定条件，取代入给定等式，再令并验证即可.【详解】由，取，得，令，此时，且，，符合题意，所以满足条件的一个函数表达式为.故答案为：4．已知函数为定义在上的函数满足以下两个条件：（1）对于任意的实数x，y恒有；（2）在上单调递减.请写出满足条件的一个.【答案】（答案不唯一）【分析】由（1）（2）可设,由可求，从而可求解.【详解】由（1）（2）可设,由，可得，化简可得.故的解析式可为.取可得满足条件的一个.故答案为:.5．（2024高一·全国·专题练习）已知函数，对，都有恒成立，且．求的解析式；【答案】【分析】根据条件，通过赋值，，得到，再令，即可求出结果.【详解】令，，则，又因为，所以，令，则，所以．类型五、抽象函数的单调性1、令式子中出现的变换判定单调性；2、单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题①在上是奇函数，且单调递增若解不等式，则有；在上是奇函数，且单调递减若解不等式，则有；②在上是偶函数，且在单调递增若解不等式，则有（不变号加绝对值）；在上是偶函数，且在单调递减若解不等式，则有（变号加绝对值）；③关于对称，且单调递增若解不等式，则有；关于对称，且单调递减若解不等式，则有；④关于对称，且在单调递增若解不等式，则有（不变号加绝对值）；关于对称，且在单调递减若解不等式，则有（不变号加绝对值）；1．（2025高一上·黑龙江·专题练习）已知函数对任意的，都有，且当时，．(1)求证：是上的增函数；(2)若，解不等式．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由已知条件，结合函数单调性的定义证明；（2）利用赋值法求得，再利用（1）所得函数单调性解不等式.【详解】（1）设，且，则，即，∴，∴，∴是上的增函数；（2）∵，取，则，于是等价于，即，由（1）知是上的增函数，∴，解得，∴原不等式的解集为.2．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，，当时，.(1)求的值；(2)判断函数在上的单调性，并给出证明；(3)解不等式.【答案】(1)(2)单调递减，证明见解析(3)【分析】（1）令，代入题意中的等式即可求解；（2）由题意可得，令，，利用定义法即可证明函数的单调性；（3）将原不等式转化为，由（1）得，利用函数的单调性建立不等式组，解之即得.【详解】（1）在中，令，则，得.（2）函数在上单调递减.证明如下：当时，有，且当时，，且，则，.由，得，有，即，所以函数在上单调递减.（3）由，得，由，得，即，由（1）知，所以，由（2）知函数在上为单调减函数，所以，解得，即原不等式的解集为.3．（25-26高一上·河南南阳·月考）已知函数的定义域为，且，当时，．(1)求，的值．(2)证明：．(3)判断在上的单调性，并给出证明．(4)求不等式的解集．【答案】(1)，(2)证明见解析(3)在上单调递减，证明见解析(4)【分析】（1）根据条件，通过赋值，即可求解；（2）利用（1）中结果得，再结合条件，即可求证；（3）利用单调函数的定义，令，，结合条件，得到，再结合（2）中结果，即可求解；（4）根据函数，利用（3）中结果，得的单调性，从而将问题转化成解不等式，即可求解.【详解】（1）令，，得．由题意得，所以，得．令，得，得．（2）由（1）得．当时，，，得．又，当时，，所以．（3）在上单调递减．证明如下，任取，且，令，，则，得．因为，所以，得．由（2）可知，由，得，所以在上单调递减．（4）设函数，因为在上单调递减，所以在上单调递减．由，得．由，得，则等价于，所以，得．故不等式的解集为．类型六、抽象函数的奇偶性令式子中出现及判定抽象函数的奇偶性1．若函数是定义在上的奇函数，函数是偶函数，则（

）A．2 B．0 C．60 D．62【答案】B【分析】根据题意，可得，又，令，得解.【详解】因为函数是R上的奇函数，所以，又函数是偶函数，则，令，.故选：B.2．已知是定义在上不恒为的函数，为奇函数，为偶函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根据为奇函数，得，然后根据为偶函数，得，然后通过对进行赋值进行求解即可.【详解】由于为奇函数，可得：，令，得：，解得：；又为偶函数，则，令，得：.故选：A3．（23-24高一上·湖北·期中）（多选题）已知函数的定义域为R，，则（

）A． B． C．是奇函数 D．是偶函数【答案】ABD【分析】A选项，令得到；B选项，令得到；CD选项，先赋值求出，进而令得到，得到C错误，D正确.【详解】A选项，中，令得，，A正确；B选项，中，令得，，解得，B正确；CD选项，中，令得，，解得，中，令得，，函数的定义域为R，故为偶函数，C错误，D正确.故选：ABD4．已知定义在上的奇函数满足，则.【答案】2026【分析】法一：由题意利用列举法写出函数值，整理等式可得递推公式，根据累加法，可得答案；法二：由题意利用列举法写出函数值，设出函数解析式，利用等式检验，可得答案.【详解】法一：由函数是上的奇函数，则，由，令，则；则，由.法二：由函数是上的奇函数，则，由，令，则；由，令，则；设，则，，即，符合题意，所以.故答案为：.5．定义在上的函数，对任意，，都有，且当时，.(1)证明：在上单调递减.(2)求不等式的解.【答案】(1)证明见解析(2)或【分析】（1）对变量进行合理的赋值，令，，可证得的单调性；（2）先证明偶函数，利用单调性与奇偶性解抽象不等式.【详解】（1）证明：令，，设，则，且，所以，即，又当时，，所以所以，所以在上单调递减.（2）令，则，令，则.令，则，所以为偶函数.又在上单调递减，由，可得或，则或，所以不等式的解集为或.6．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，.(1)求；(2)证明：为奇函数；(3)解不等式.【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）由题意赋值得，再赋值和即可求解.（2）赋值结合奇函数定义即可证明.（3）先由函数单调性的定义证明函数在R上单调递减，再结合即可将不等式等价转化为，解该不等式即可得解.【详解】（1）令，则，，令，，则，，，.（2）函数的定义域为，则定义域关于原点对称，对任意，都有，由（1）知，.令，则，即，是奇函数.（3）任取，且，所以，则由题意得，所以，，，在上为减函数.因为，，解得，的解集为.7．（2025高一上·吉林·专题练习）定义在非零实数集上的函数满足且是区间上的递增函数.(1)求的值；(2)证明：函数是偶函数；(3)解不等式.【答案】(1),(2)证明见解析(3)或【分析】（1）分别令，令即可求解.（2）令，根据偶函数的定义即可判断；（3）利用函数的性质把不等式变形为，画出函数的大致图像即可解出不等式.【详解】（1）令，则,令，则,.（2）令，则，∴为定义域上的偶函数.（3）据题意可知，函数图象大致如下：

，或，或所以原不等式的解集为或类型七、抽象函数的对称性1、对称轴：或者关于对称；2、对称中心：或者关于对称；3、如果同时关于对称，又关于对称，则的周期1．已知函数的图象关于直线对称，且在(－∞，]上单调递增，，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由的图象关于对称，将问题转化为比较，，的大小.【详解】的图象关于对称，所以，又因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以.故选：B.2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）若函数是奇函数，则下列各点一定是函数图象对称中心的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函数的图象变换求解.【详解】因为函数是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，又函数的图象是的图象向左平移1个单位，向上平移2个单位得到的，所以函数图象对称中心的是，故选：B3．（23-24高一上·北京大兴·期中）定义在R上的函数在上是增函数，且对任意恒成立，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数单调性和对称性求解即可.【详解】因为对任意恒成立，所以函数关于对称，所以，又因为函数在上是增函数，所以，所以.故选：A4．（25-26高一上·贵州铜仁·月考）已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析函数的对称性与单调性，逐项判断即可.【详解】因为函数的定义域为，且是偶函数，则对任意的，，故函数的图象关于直线对称，所以，因为函数在单调递增，故函数在上单调递减，对于A选项，，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，与的大小关系不确定，D错.故选：B.5．已知函数满足为奇函数，为偶函数，则下列一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，分析函数的性质，再逐项判断.【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得，即，得函数的图象关于对称由为奇函数，得，得函数的图象关于点对称，所以，由，令，得，故A项正确；由函数的图象关于点对称，得，但无法判断，故B，C两项错误；由，令，得，由，令，得，得，则也无法判断，故D项错误．故选：A6．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，，，则下列结论错误的是（）A． B．是奇函数C． D．的图象关于点对称【答案】D【分析】利用赋值法可得，即可判断A，利用，即可根据奇函数的定义判断B，结合奇函数的性质，即可求解C，利用可判断的图象关于点对称，即可判断D.【详解】对于A，取，则，即，得，故A正确；对于B，取，则，得，故是奇函数，B正确；对于C，对任意的都有，可得，即，因此，故C正确；对于D，由于，因此的图象关于点对称，故D错误.故选：D.7．（25-26高一上·甘肃·期中）（多选题）定义在上的奇函数满足，则下列结论一定成立的是（

）A．B．C．是函数图象的一个对称中心D．为偶函数【答案】BCD【分析】由给定等式可得，再利用奇偶函数的性质，结合对称性的意义逐项判断得解.【详解】由函数的定义域为，，得，对于A，由函数是定义在上的奇函数，得，令，得，A错误；对于B，由，且为奇函数，得，B正确；对于C，由，得，，因此，是函数图象的一个对称中心，C正确；对于D，由，得，函数是偶函数，因此函数为偶函数，D正确.故选：BCD1．（24-25高一上·吉林长春·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抽象函数的定义域即可得到答案.【详解】令，则，则，解得，即定义域为.故选：A.2．（24-25高一上·浙江·月考）已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【分析】根据题意，由抽象函数定义域的求法代入计算，即可得到结果.【详解】因为函数的定义域和值域都是，令，解得，所以函数的定义域为，由的值域得的值域为．故选：D3．（24-25高一上·湖北黄冈·月考）若函数的值域是，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由条件，结合不等式性质求的范围即可.【详解】因为函数的值域是，所以，所以，所以，所以，故函数的值域是.故选：C.4．设函数的定义域为，若在上单调递减，且关于对称，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函数的单调性和对称性求解即可；【详解】∵函数的图象关于直线对称，则，又在上单调递减，故在上单调递增，，，即故选：C．5．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数定义域为，满足，当时，总有，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在等式中，分别令、可得出、的关系式，再由，可得出，即可得出关于、的方程组，即可解得的值.【详解】在等式中，令可得，令可得，当时，总有，则，所以，，解得，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数求值，对自变量赋值是解题的关键，要注意所求函数值对应的自变量与所赋的自变量值之间的关系.6．（23-24高一上·湖北荆州·期中）定义在R上的函数满足：对任意的（），都有，且，函数关于直线对称，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意得到在上单调递减，且为偶函数，故在上单调递增，分和，结合函数单调性求出解集.【详解】因为对任意的（），都有，所以在上单调递减，因为关于直线对称，所以关于轴对称，即为偶函数，所以在上单调递增，因为，所以，当时，，令得，即，所以，所以，当时，，令得，即，所以，所以，综上，的解集为.故选：C7．（23-24高一上·江苏连云港·期中）是定义在上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【分析】从的结构来看，要用递推的方法，先用赋值法求得，，再由依次求解.【详解】若，，则有，取，则有，即，是定义在上的偶函数，，则，解得：，则，取，则有，即，故选：A.8．函数的定义域为R，对任意的，都有成立，且函数为偶函数，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函数的对称性和减函数的性质判断即可判断.【详解】因为函数为偶函数，所以函数图象关于直线对称，所以，对任意的，，都有成立，所以，故在上单调递减，所以在上单调递增，故.故选：A.9．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，的定义域均为，且，，的图象关于对称，当时，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题设得到、，结合已知求相关函数值，即可求结果.【详解】由，则①，由，则②，由①有，结合②有，所以，故，由的图象关于对称，则③，由①有，结合②③有，所以，则，由知：，由知：，且，综上，.故选：C【点睛】关键点点睛：根据题设得到、为关键.10．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）（多选题）已知定义在上的函数在上单调递增，且为偶函数，则（）A．的对称轴为直线B．的对称轴为直线C．D．不等式的解集为【答案】BD【分析】由偶函数的定义确定对称轴即可判断AB；根据和函数的单调性即可判断C；利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可判断D.【详解】A：因为为偶函数，其图象关于y轴对称，所以函数的对称轴为直线，故A错误；B：由选项A可知，B正确；C：因为函数的对称轴为直线，所以，又函数在上单调递增，所以，则，故C错误；D：因为函数的对称轴为直线，且在上单调递增，所以函数在上单调递减，且，由，得，即，解得，故D正确.故选：BD.11．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）（多选题）已知定义域为的函数满足，且，则下列结论一定正确的是（

）A．B．函数的图象关于点对称C．函数是偶函数D．【答案】BC【分析】推导出可判断A选项的正误；推导出可判断B选项的正误；分析得出可判断C选项的正误；推导出可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，因为，且，则，即，A错；对于B选项，因为，则，因为，则，即，即，故函数的图象关于点对称，B对；对于C选项，因为，故函数是偶函数，C对；对于D选项，因为，则，即，D错．故选：BC12．（24-25高一上·河北承德·期末）（多选题）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则（

）A．B．的图象关于点对称C．D．【答案】ACD【分析】根据函数的奇偶性结合“赋值法”可求，判断A的真假，根据奇函数的性质，可判断B的真假；根据函数满足的条件，递推可判断C的真假，再结合奇函数的性质，可判断D的真假.【详解】对A：因为为奇函数，所以，令，则，A正确．对B：由，得，则，即的图象关于点对称，B错误．对C：当时，，则，，，故C正确；对D：根据C选项，递推可得：，因为，所以，则，得，故D正确．故选：ACD13．（25-26高一上·广西贵港·月考）（多选题）已知函数和的定义域均为R，为奇函数，为偶函数，，则（

）A． B．C． D．的图象关于直线对称【答案】BCD【分析】由为奇函数，令，可判断B，由，令可判断A，由是偶函数，通过方程组法可判断C，由对称性的概念可判断D.【详解】由为奇函数，得，令，得，B正确．对于，令，得，A错误．因为是偶函数，所以，对于，以代替x得①，则②，所以，C正确．①与②相减得，即，则的图象关于直线对称，D正确．故选：BCD14．设函数定义域为R，满足，且对任意，都有，则=.【答案】2021【解析】利用赋值法求出的解析式，即可求解.【详解】令，得，令得，即，所以，所以，故答案为：2021【点睛】关键点点睛：解决本题的关键点是准确赋值求出的解析式.15．若函数满足方程且，则：（1）；（2）．【答案】【分析】令可得；用替换，再解方程组可得答案.【详解】令可得：，所以；由①得，②，联立①②可得：.故答案为：①；②.16．已知满足，且，则的值域为【答案】【分析】根据题意，令，求得，再令，求得，令，可得，即，再令，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】由函数满足，且，令，可得，因为，可得，再令，可得，所以，令，可得，即，再令，可得，所以，则，当且仅当时，等号成立，所以的值域为.故答案为：.17．设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数．【答案】【分析】运用赋值法可求解.【详解】由①，在①中，令可得②，在②中，令，则③，由②可得，④，由①可得，⑤，由②可得，⑥，则由③④⑤⑥可得，，即，因，则.故答案为：18．（23-24高一·江苏·假期作业）设是R上的函数，，并且对于任意的实数都有，求.【答案】【分析】利用赋值法可求的解析式.【详解】由已知条件得，又，设，则，所以即∴.此时,而,符合题设