专题08 （优.质好题速递）一元二次函数、方程和不等式必刷题型（9大题型64题）（原卷版）

1/10专题08一元二次函数、方程和不等式必刷题型（9大题型64题）题型01题型01利用不等式的性质求取值范围一、单选题1．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·月考）已知实数且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题2．（23-24高一上·河北廊坊·月考）已知实数x，y满足，，则（

）A． B．C． D．三、填空题3．（23-24高一上·黑龙江鹤岗·月考）正实数、满足：，则的取值范围为.4．（24-25高一上·上海·月考）已知实数x、y满足:则的取值范围是5．（24-25高一上·河北石家庄·期中）设表示，，中最大的数，设，且，则的最小值为．题型02利用基本不等式求最值题型02利用基本不等式求最值一、单选题1．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知，，则的最小值为（

）A．2 B． C． D．2．已知，，且，则的最小值为（

）A．8 B．9 C．10 D．113．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，且，，则的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．4．（24-25高一下·浙江·月考）若正实数满足，则的最大值是（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·云南玉溪·期中）若正数a，b满足，则的最小值是（

）A．15 B．18 C．24 D．36二、多选题6．设正数满足，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为 B．的最小值为4C．的最大值为 D．的最小值为7．已知，为正实数，且，则（

）A．的最小值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最小值为三、填空题8．（24-25高一上·陕西渭南·月考）已知，则的最大值为．已知，，且，则的最小值为9．（24-25高一上·广东江门·期中）已知，（1）若，都是正数，且，则的最小值为；（2）若，则的最大值为.题型03题型03证明不等式一、解答题1．（24-25高一上·山西·期中）设，均为正数，且.(1)求的最小值；(2)证明：，2．（24-25高一上·陕西西安·月考）已知，且.(1)求的最大值；(2)证明:.3．（24-25高一上·重庆万州·期中）（1）已知，且，求的最大值.（2）证明：.（3）求的最小值.4．（24-25高一上·重庆·月考）学习了不等式的内容后，老师布置了这样一道题：已知，，且，求的最小值.李雷和韩梅梅两位同学都“巧妙地用了”，但结果并不相同.李雷的解法：由于，所以，而，.那么，则最小值为.韩梅梅的解法：由于，所以，而，则最小值为.(1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误?（错误的需说明理由）(2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决：（i）已知，，，且，求证：.（ii）已知，，，求的最小值.5．（24-25高一上·上海奉贤·月考）问题：正实数满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号，故而的最小值是.学习上述解法并解决下列问题：(1)已知是正实数，且，求的最小值；(2)①已知实数，满足，求证：；②求代数式的最小值，并求出使得最小的的值.6．（24-25高一上·安徽·期中）我们知道，若，则有不等式成立（当且仅当时等号成立）．从可以得到．即正数a，b，c的算术平均数的平方不大于a，b，c平方的算术平均数．请运用这个结论解答下列三道题：(1)求代数式的最大值；(2)已知，若不等式恒成立，求实数m的取值范围；(3)若a，b，，证明：．7．（24-25高一上·陕西西安·月考）已知．(1)若，证明：；(2)若，证明：；(3)若，证明．8．（24-25高一上·福建泉州·月考）（1）已知，，均为正实数，且满足．证明：①．②．（2）已知，若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值．题型04题型04基本不等式在实际问题中的应用一、单选题1．（24-25高一上·福建福州·期中）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的面积最大是（

）A．36 B．144 C．60 D．722．（24-25高一上·江苏盐城·期末）对于直角三角形的研究，中国早在商朝时期，就有商高提出了“勾三股四弦五”这样的勾股定理特例，而西方直到公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯才提出并证明了勾股定理．如果一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值等于（

）A． B．12 C． D．3．（24-25高一上·陕西西安·月考）小明､小红两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小明每次购买3千克葡萄，小红每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（

）A．小明两次购买葡萄的平均价格比小红低B．小红两次购买葡萄的平均价格比小明低C．小红与小明两次购买葡萄的平均价格一样D．两次购买葡萄的平均价格无法比较二、解答题4．（24-25高一上·四川成都·期末）利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）．(1)求a与b满足的关系式；(2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值；(3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值．5．（24-25高一上·浙江丽水·期末）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，.(1)当时，求的值；(2)设的面积为，求的最大值.6．已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题．(1)请根据基本不等式，证明：；(2)请利用（1）的结论，证明：；(3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米?题型05题型05基本不等式中的恒成立与有解问题一、单选题1．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（24-25高一上·四川达州·月考）“”是“不等式对于任意正实数x，y恒成立”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（24-25高一上·安徽亳州·月考）对一切x，，都有，则实数a的最小值是（

）A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对5．（24-25高一上·辽宁大连·期中）不等式对所有的正实数，恒成立，则的最大值为（

）A．2 B． C． D．1二、填空题6．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是．7．（24-25高一上·天津·期中）不等式对于恒成立，则m的取值范围.8．（24-25高一上·贵州·期中）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为.题型06题型06一元二次不等式恒成立问题一、单选题1．（2025高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（

）A． B．或C． D．2．（24-25高一上·重庆·期中）当时，恒成立，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题3．（24-25高一上·广东广州·期末）使不等式对一切实数都成立的一个充分条件是（

）A． B． C． D．三、填空题4．（24-25高一上·安徽宿州·期中）已知关于的不等式在上恒成立，则的最小值为.5．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数，a为实数，若对于恒成立，则实数a的取值范围是．6．（24-25高一上·重庆·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为.7．（24-25高一上·上海杨浦·月考）若不等式对所有恒成立，则的取值范围为.四、解答题8．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）已知关于的不等式．(1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立；(2)若不等式对于恒成立，求的取值范围；(3)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围．题型07题型07一元二次不等式有解问题一、单选题1．（23-24高一上·山东聊城·月考）若存在，使不等式成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．2．（24-25高一上·江苏常州·月考）方程在区间[1,3]内有解，则实数的取值范围是（

）A．[2,5] B．[1,7] C． D．[1,5]3．（24-25高一上·山西·期中）若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（24-25高一上·福建莆田·月考）若，使得成立，则实数的范围是（

）A． B． C． D．二、多选题5．（24-25高一上·陕西渭南·月考）已知命题，的否定是真命题，则命题成立的一个充分条件可以是（

）A． B． C． D．三、填空题6．（24-25高一上·四川德阳·月考）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是.7．（24-25高一上·江苏苏州·月考）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是．题型08题型08含参一元二次不等式分类讨论一、单选题1．（24-25高一上·广东湛江·月考）已知关于的不等式的解集为，则的最大值是（

）A． B．C． D．二、多选题2．（24-25高一上·云南昭通·月考）关于x的不等式的解集可能为（

）A． B．C． D．三、解答题3．（24-25高一下·安徽亳州·开学考试）已知，．(1)若不等式的解集为或，求的值；(2)若，解不等式．4．设函数．(1)若，求的解集；(2)解关于的不等式：．5．（24-25高一上·浙江杭州·开学考试）解关于x的不等式.6．（24-25高一上·广东梅州·期末）已知函数．(1)若关于x的不等式的解集为，求实数k，b的值；(2)对于参数，解关于x的不等式．7．（24-25高一上·江苏连云港·月考）解关于x的不等式：(1)；(2).题型09题型09一元二次不等式整数解问题一、单选题1．（24-25高一上·福建·期中）已知关于的不等式的解集中不含有整数，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．2．（24-25高一上·江苏苏州·月考）关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（

）A．或 B．或C．或 D．或二、填空题3．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）设，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是.4．（23-24高一上·江苏常州·月考）若，关于的