2026年高考数学复习讲义（新高考）第9节 极值点偏移（原卷版）_第1页
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第三章一元函数的导数及其应用第9节极值点偏移学习导航站核心知识库：重难考点总结，梳理必背知识、归纳重点考点1极值点不偏移★★★☆☆考点2极值点偏移★★★☆☆（星级越高，重要程度越高）限时【变式训练】挑战场：感知真题，检验成果，考点追溯【知识梳理】1.极值点不偏移★★★☆☆已知函数f(x)图象的顶点的横坐标就是极值点x0,若f(x)=c的两根的中点刚好满足x1+x22=x0,即极值点在两根的正中间,也就是说极值点没有偏移.此时函数f(x)在x=x0两侧,(无偏移,左右对称,如二次函数)若f(x1)=f(x2),则x1+x2=2x0.2.极值点偏移★★★☆☆若x1+x22≠x0,则极值点偏移,此时函数f(x)在x=x0两侧,(左陡右缓,极值点向左偏移)若f(x1)=f(x2),则x1+x2>2x0;(左缓右陡,极值点向右偏移)若f(x1)=f(x2),则x1+x2<2x0.题型一对称化构造辅助函数【典例】1(2025·湛江模拟节选)已知函数f(x)=1+lnxax.若方程f(x)=1有两个根x1,x2,求实数a的取值范围,并证明:x1x【变式训练】1已知函数f(x)=x2lnx−32,f′(x1)=f′(x2),x1<x2,证明:x1+x题型二比、差值换元构造辅助函数【典例】2已知函数f(x)=lnx-ax(x>0),a为常数,若函数f(x)有两个零点x1,x2(x1≠x2),求证:x1x2>e2.【变式训练】2(2025·镇江调研改编)已知函数f(x)=aex-x,a∈R.若f(x)有两个不同的零点x1,x2,证明:x1+x2>2.【限时训练】（限时：30分钟）1.已知函数g(x)=lnx+1x+2,若方程g(x)=m(m为常数)有两个不等实根x1,x2,求证:x1+x22.已知函数f(x)=xlnx-12mx2-x,m∈R有两个极值点x1,x2,求证:x1x2>e23.(2025·北京海淀区质检)已知函数f(x)=xe2-x.(1)求f(x)的极值;(2)若a>1,b>1,a<b,f(a)+f(b)=4,证明:a+b<4.4.(2025·宁波调研)已知函数f(x)=lnx-ax.(1)设函数g(x)=f(x)-2x+1,若g(x)≤0在其定义域内恒成立,求实数a的最小值

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