备战2026年高考数学考试易错题（新高考）【消灭易错】专题02 函数与导数（解析版）

专题02函数与导数

考点01函数的定义域

1．（2025高三·全国·专题练习）下列函数中，定义域为0,的是（）

1

A．fxexB．fx3x1xC．fxD．fxx

x

【答案】B

【分析】求出各选项中函数的定义域，可得出合适的选项．

【详解】对于A选项，函数fxex的定义域为；

�

对于B选项，由3x10，得x0，故函数fx3x1x的定义域为0,；

对于C选项，函数的定义域为xx0；

1

��=�

对于D选项，函数fxx的定义域为．

�

故选：B．

1

2．（24-25高三上·河北沧州·期中）函数fxln2x2的定义域为（）

x1

A．(1,)B．(0,1)(1,)C．(,1)D．(1,1)(1,)

【答案】D

x10

【分析】由解析式可得函数的定义域应满足，求解即可.

2x20

1

【详解】函数fxln2x2的定义域应满足：

x1

x10

,解得x1且x1，

2x20

1

所以函数fxln2x2的定义域为(1,1)(1,).

x1

故选:D.

1x13

3．已知函数fx4x，则函数gxf2f的定义域为（）

x2x

35

A．,1B．1,

42

2

C．0,D．0,1

3

【答案】A

【分析】先求出fx的定义域，然后由抽象函数的定义域的求法求解即可.

1

【详解】因为fx4x，

x2

x20

由得：2x4，

4x0

所以fx的定义域为：2,4，

22x140x1

3

由3得33，所以x1，

24x4

x42

x133

故gxf2f的定义域为：,1.

x4

故选：A

易错分析：已知函数f(x)的定义域为[a,b]，求f[g(x)]的定义域应由agxb求得.

f(2x)

y

．已知函数f(x)的定义域为[3,6]，则函数的定义域为（）

4log1(2x)

2

3331

A．,+B．,2C．,+D．,2

2222

【答案】B

【分析】由函数的定义域得到2x的范围，根据分母不为0及被开方数非负得到关于x的不等式，求出不等

式的解集．

【详解】解：由函数f(x)的定义域是3,6，得到32x6，

3

x3

32x62

故2x0即2x

log(2x)01x2

1

2

3

解得：x2；

2

3

所以原函数的定义域是：,2．

2

故选：B．

【点睛】本题考查学生掌握复合函数的定义域，考查了对数不等式的解法，属于基础题．

5．已知函数f(x)的定义域为(2,)，值域为R，则（）

A．函数fx22的定义域为R

B．函数fx222的值域为R

C．函数fx22x3的定义域和值域都是R

D．函数f(f(x))的定义域和值域都是R

【答案】B

【分析】根据题意，由抽象函数单调性的求解，逐一判断，即可得到结果.

2

【详解】对于A选项：令x222，可得x0，所以函数fx2的定义域为{x∣x0}，故A选项错误；

2

对于B选项：因为f(x)的值域为R,x222，所以fx2的值域为R，可得向下平移两个单位的函数

2

fx22的值域也为R，故B选项正确；

对于C选项：令x22x3(x1)22，得x1，所以函数fx22x3的定义域为{x∣x1}，故C选

项错误；

对于D选项：若函数f(f(x))的值域为R，则f(x)2，此时无法判断其定义域是否为R，故D选项错误.

故选：B

fx2

6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数fx的定义域为[3,3]，则函数gx的定义域

x2

为．

【答案】5,22,1

【分析】根据fx的定义域为[3,3]，得到fx2的定义域为5,1，再由x20求解.

【详解】解：因为fx的定义域为[3,3]，

则x2[3,3]，即x5,1，

所以fx2的定义域为5,1，

又x20，

fx2

所以函数gx的定义域为5,22,1.

x2

故答案为：5,22,1

考点02函数的单调性

1．函数f(x)32xx2的单调递增区间是（）

A．-，1B．1，C．1,3D．1,1

【答案】D

【分析】先求出f(x)定义域，再利用二次函数单调性判断出结果.

【详解】函数f(x)32xx2的定义域需要满足32xx20，解得f(x)定义域为1，3，

2

因为y32xx在1，1上单调递增，所以f(x)32xx2在1，1上单调递增，

故选：D.

易错分析：求函数的单调区间应先求函数的定义域，因为单调区间一定是函数定义域的子

集.

1

2．函数y的单调增区间为（）

43xx2

3333

A．,B．1,C．,4和4,D．,11,

2222

【答案】C

【分析】由43xx20可得x1且x4，然后求出y43xx2的减区间即可.

【详解】由43xx20可得x1且x4，

3

因为y43xx2开口向下，其对称轴为x，

2

3

所以y43xx2的减区间为,4和4,

2

13

所以的单调增区间为,4和4,

y2

43xx2

故选：C

3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数f(x)(2a1)logax（a0且a1）在(0,)上单调递增，则实

数a的取值范围是（）

1

A．(1,)B．(0,)

2

11

C．(,1)(1,)D．(0,)(1,)

22

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用对数型复合函数单调性列式求解即得.

0a1a11

【详解】由函数f(x)(2a1)logax在(0,)上单调递增，得或，解得0a或a1，

2a102a102

1

实数a的取值范围是(0,)(1,).

2

故选：D

易错分析：函数在(0,)上单调递增，则函数一定在区间(0,)上有意义.

2

4．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）若函数fxlog0.5axx在区间1,0上单调递增，则a的取值

范围是()

A．0,2B．2,0C．2,D．,2

【答案】D

【分析】利用复合函数的单调性，结合对数函数、二次函数的单调性即可求解.

2

【详解】由于ylog0.5x在0,上单调递减，令txax，x1,0，

2

因为ylog0.5x为减函数，又fxlog0.5axx在区间1,0上单调递增，

由复合函数的单调性法则可知，tx2ax在1,0上单调递减，

且tx2ax0在1,0上恒成立，因为tx2ax为二次函数，开口向下，

aa

对称轴为x，由tx2ax在1,0上单调递减，可得1，解得a2，

22

由tx2ax0在1,0上恒成立，即axx2，x1,0，

可得ax在1,0上恒成立，则a1，

综上，实数a的取值范围为,2.

故选：D.

x

5．（2024·湖北·二模）已知函数fxlog5a2在1,上单调递增，则a的取值范围是（）

A．1,B．ln2,C．2,D．2,

【答案】C

【分析】先由题设条件证明a2，再验证a2时条件满足即可.

x

【详解】若fxlog5a2在1,上单调递增，

则必然在x1处有定义，所以a120，即a2；

若a2，则当x1时ax2a20，所以fx在1,上有定义，

再由a1知ax2在上单调递增，所以fx在1,上单调递增.

�

故选：C.

6．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知函数f(x)lg(x24x5)在(a,)上单调递增，则a的取值范围是

（）

A．(,1]B．(,2]C．[2,)D．[5,)

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性、结合对数型复合函数的单调性列不等式求解作答.

【详解】由x24x50x1x50x1或x5.

所以函数fx在,1上单调递减，在5,上单调递增.

又函数fx在(a,)上单调递增，所以a5.

即a的取值范围为：[5,).

故选：D

a4lnx2a1,2x1

p:

7．（24-25高三上·四川眉山·期中）命题fx2在x2,2上为减函数，

x2ax7,1x2

ax4

命题q:gx在1,为增函数，则命题p是命题q的（）条件

x1

A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分又不必要

【答案】A

【分析】根据分段函数fx的单调性得到不等式得到5a4，分离常数后，由gx的单调性得到a4，

结合集合的包含关系得到p是q的充分不必要条件.

a4lnx2a1,2x1

【详解】要在上单调递减，

fx2x2,2

x2ax7,1x2

2a

2

2

则a40，解得5a4，

a112a7

ax4ax14a4a

q:gxa在1,为增函数，则4a0，解得a4，

x1x1x1

因为5a4是a4的真子集，故命题p是命题q的充分不必要条件.

故选：A

易错分析：分析分段函数的单调性时要注意两方面，一是各段的单调性，二是分段处函数

值的大小关系.

3ax1,x1

8．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知fx的最小值是f1，那么a的取值范围是（）

logax,x1

3

A．,3B．0,3C．1,3D．3,4

2

【答案】D

【分析】因为函数fx有最小值f(1)，所以当x1时，函数fx单调递减，当x1时，函数fx单调递

增，再结合3a1loga1，即可解得结果.

3ax1,x1

【详解】因为函数fx的最小值是f(1)，

logax,x1

所以当x1时，函数fx单调递减，即3a0，解得a3①

当x1时，函数fx单调递增，即a1②

又因最小值为f(1)，得3a1loga1，解得a4③，联立①②③可得3a4.

故选：D

考点03导数的几何意义

2π3

1．（24-25高三上·黑龙江·期末）设函数fxsin2x，则曲线yfx在0,处的切线方程为（）

32

A．2x2y30B．x2y30

C．x2y30D．2x2y30

【答案】D

【分析】先求出导函数，再得出切线的斜率进而得出点斜式方程即可.

2π

【详解】由题意得fx2cos2x，

3

32π

于是当时，曲线在点0,处的切线斜率为ky2cos1，

x0x0

23

�=��

3

此时切线方程为yx0，即2x2y30.

2

故选:D.

2．过坐标原点作曲线yex21的切线，则切线方程为（）

1

A．yxB．y2xC．yxD．yex

e2

【答案】A

【分析】设切点坐标为(t,et21)，求得切线方程为y(et21)et2(xt)，把原点(0,0)代入方程，得到

(t1)et21，解得t2，即可求得切线方程.

【详解】由函数yex21，可得yex2，

设切点坐标为(t,et21)，可得切线方程为y(et21)et2(xt)，

把原点(0,0)代入方程，可得0(et21)et2(0t)，即(t1)et21，

解得t2，所以切线方程为y(e01)e0(x2)，即yx.

故选：A.

易错分析：求曲线的切线方程时要区分在P点和过P点的切线的不同.

1

3．（2024·湖南·模拟预测）曲线yln2x在点,0处的切线方程为（）

2

A．2xy10B．2xy10C．2xy20D．2xy20

【答案】B

【分析】根据导数的几何意义求解即可.

1

【详解】由题意，yln2x的导函数y，故曲线yln2x在点处的切线斜率为k2，

x1

12,0

则切线方程y2x2x1，即2xy10，

2

故选：B.

1

4．（2024·河北邯郸·二模）设函数fxx的图像与x轴相交于点P，则该曲线在点P处的切线方程

x2

为（）

A．yxB．y=x1C．y0D．yx1

【答案】C

【分析】令fx0可计算出切点坐标，结合导数的几何意义可得切线斜率，即可得解.

12

【详解】令x0，即xx210，即x10，解得x1，

x2

11

故P1,0，fx12，则f1120，

x212

则其切线方程为：yf1f1x1，即y0.

故选：C.

exe

5．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线y在点1,处的切线方程为（）

x12

eeeee3e

A．yxB．yxC．yxD．yx

424424

【答案】C

【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方

程即可求解.

exee

【详解】设曲线y在点1,处的切线方程为ykx1，

x122

ex

因为y，

x1

exx1exx

xe

所以y22，

x1x1

e

所以ky|

x14

ee

所以yx1

24

exeee

所以曲线y在点1,处的切线方程为yx.

x1244

故选：C

6．（2024·河南信阳·三模）动点P在函数yln(4x)lnx的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围

是（）

ππ3π

A．0,B．0,,π

444

π3π3π

C．,D．,π

244

【答案】C

【分析】求出定义域，求导，结合基本不等式得到y1，求出以P为切点的切线的倾斜角取值范围.

x0

【详解】令，解得0x4，故yln(4x)lnx的定义域为0,4，

4x0

1144

y21

4xx4xx4xx，当且仅当4xx，即x2时，等号成立，

2

π3π

故y1，故以P为切点的切线的倾斜角取值范围是,.

24

故选：C

易错分析：复合函数求导时要注意正确应用复合函数的求导法则.

7．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线yx23lnx的一条切线方程为yxm，则实数m（）

A．B．1C．1D．2

【答案】−2D

3

y|2x1

【分析】根据切线的斜率的几何意义可知xx00，求出切点，代入切线即可求出m.

x0

【详解】设切点为(x0,y0)

因为切线yxm，

3

y|2x1

所以xx00，

x0

3

解得x1,x（舍去）

002

2

代入曲线yx3lnx得y01，

所以切点为1,1

代入切线方程可得11m，解得m2.

故选：D.

8．（2024·四川宜宾·模拟预测）若曲线yexa在x0处的切线也是曲线ylnx的切线，则a（）

A．B．1C．1D．e

【答案】−2A

【分析】求出yexa的导数，求得切线的斜率为1，可得切线方程yx1a，再设与曲线ylnx相切

的切点为(x0,y0)，求得函数ylnx的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得x0,y0的值，进

而得到a的值.

【详解】由曲线yexa，得yex，

在x0处的切线斜率为1，当x0时，y1a，

曲线yexa在x0处的y(1a)1(x0)，即yx1a，

1

曲线ylnx，导数为y，

x

1

设切点为(x0,y0)，则1，解得x01,y00，切点在切线yx1a上，

x0

即有011a，得a2.

故选：A.

9．已知直线yx是曲线fxlnxa的切线，则a（）

A．1B．1C．2D．2

【答案】B

【分析】根据给定条件，求出函数f(x)的导数，再利用导数的几何意义求解作答.

1

【详解】函数fxlnxa，求导得f(x)，令直线yx与曲线fxlnxa相切的切点为(x,lnxa)，

x00

1

于是1且lnx0ax0，所以ax01.

x0

故选：B

x

10．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知定义在R上的函数fx满足2fxfx6e，则曲线yfx在

点0,f0处的切线方程为.

【答案】2xy60

【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程.

【详解】因为2fxfx6ex，所以2fxfx6ex，

令x0，得2f0f06e0，解得f02，所以切线斜率为2，

因为2fxfx6ex，令x0，得2f0f06e0，

解得f06，所以切点坐标为(0,6).

所以yfx在点0,f0处的切线方程为y62(x0)，即2xy60.

故答案为：2xy60.

11．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）若直线ykxb是曲线fxlnx2的切线，也是曲线

gxlnx1的切线，则k.

【答案】2

11

【分析】设出两个切点坐标，根据导数的几何意义可得k．将切点代入两条曲线，联立方程可

x1x21

分别求得k.

【详解】直线ykxb是曲线fxlnx2的切线，也是曲线gxlnx1的切线，

则两个切点都在直线ykxb上，设两个切点分别为(x1,kx1b)，(x2,kx2b)，

11

则两个曲线的导数分别为y，y，

xx1

11

由导数的几何意义可知k，则x1x21，

x1x21

①

kx1blnx12,

且切点在各自曲线上，

②

kx2blnx21,

则将x1x21代入①可得，k(x21)bln(x21)2，③

③②可得k2，

故答案为：2．

考点04导数与函数的单调性

1．函数fxlnxx的递增区间是（）

A．,01,B．,0和1,

C．1,D．1,

【答案】C

【分析】利用导数求f(x)的递增区间.

1

【详解】由题设，f(x)10且x(0,)，可得x1，

x

所以f(x)递增区间为1,.

故选：C

易错分析：利用导数求函数的单调区间时要先求函数的定义域，再在定义域上求函数的

单调区间.

1

2．函数f(x)x2lnx的单调递减区间为（）

2

A．(1,1)B．(0,1)C．(1,)D．(0,2)

【答案】B

【分析】求导，解不等式f(x)0可得.

【详解】f(x)的定义域为(0,)

1(x1)(x1)

解不等式f(x)x0，可得0x1，

xx

1

故函数f(x)x2lnx的递减区间为(0,1).

2

故选：B．

3．若函数f(x)xlnxax1在[e,)上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A．(,2)B．(,2]C．(2,)D．[2,)

【答案】B

【分析】求导，导函数在[e,)上恒非负，根据恒成立的问题的办法解决.

【详解】f(x)1lnxa，又f(x)在[e,)上单调递增，故f(x)0在[e,)上恒成立，而x[e,)时，

易见f(x)min2a，只需要2a0即可，故a2.

故选：B.

1

4．若函数fxx29lnx在区间a1,a上单调递减，则实数a的取值范围是（）

2

A．1<a£3B．a4

C．2a3D．1a4

【答案】A

【分析】先求得导函数，根据函数单调递减可知fx0在区间[a1,a]上恒成立，即可由定义域及不等式

求得a的取值范围.

1

【详解】函数fxx29lnx，x0.

2

9x29

则fxx，

xx

因为fx在区间[a1,a]上单调递减，

则fx0在区间[a1,a]上恒成立，即x290，

所以0x3在区间[a1,a]上恒成立，

a10

所以，解得1<a£3，

a3

故选：A.

1

5．若函数f(x)lnxax22在区间,1内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（）

4

1

A．(,2)B．,C．(2,)D．(8,)

8

【答案】D

1111

【分析】把题意转化为a在x,1上有解，设gx,x,1，利用导数判断单调性，即

2x242x24

可求解.

1

【详解】由f(x)lnxax22可得：f(x)2ax.

x

1

因为函数f(x)lnxax22在区间,1内存在单调递增区间，

4

111

所以f(x)0在x,1上有解，即a在x,1上有解.

42x24

11311

设gx,x,1，由gxx0在x,1上恒成立，所以gx在x,1单调递增，所以

2x2444

1

ggxg1.

4

1

所以ag8.

4

故选：D

易错分析：已知函数的单调性求参数问题往往要转化为函数的最值问题处理.

11

6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数fx2x2ax1eax1a0在,上存在单调递减区间，

24

则a的取值范围为（）

11

A．0,14,B．1,4C．0,8,D．,8

88

【答案】A

11

【分析】根据题意，只需存在区间c,d,，使得当xc,d时，fx0，根据导数的零点大小

24

分a2，a2和0a2讨论求解.

【详解】由题意得fx4xaeax12x2ax1aeax12xaax2eax1，

1111

要使fx在,上存在单调递减区间，只需存在区间c,d,，使得当xc,d时，fx0，

2424

2

当a2时，fx4x1e2x10，显然不存在满足条件的区间c,d；

a2a1

当a2时，fx0的解集为,，因为1，

2a22

1121

所以要使fx在,上存在单调递减区间，则，解得a4；

24a2

2a21

当0a2时，fx0的解集为,，因为1，

a2a2

11a1

所以要使fx在,上存在单调递减区间，则，解得0a1.

2422

综上，a的取值范围为0,14,.

故选：A.

x21

7．若函数f(x)lnx在区间(m,m)上不单调，则实数m的取值范围为（）

23

22

A．0mB．m1

33

2

C．m1D．m>1

3

【答案】B

1

【详解】首先求出f(x)的定义域和极值点，由题意得极值点在区间(m,m)内，且m0，得出关于m的

3

不等式组，求解即可．

x2

【分析】函数f(x)lnx的定义域为(0,)，

2

1x21(x1)(x1)

且f(x)x，

xxx

令f(x)0，得x1，

1

因为f(x)在区间(m,m)上不单调，

3

m0

2

所以1，解得：m1

m1m3

3

故选：B.

8．若0x1x2a都有x2lnx1x1lnx2x1x2成立，则a的最大值为（）

1

A．B．1C．eD．2e

2

【答案】B

lnx1lnx1lnx1

【分析】将所给不等式转化为12，构造函数fxx0，利用导数研究函数fx的

x1x2x

单调性，由此得出正确的选项.

lnx1lnx211lnx11lnx21

【详解】根据题意，若0x1x2a，则x2lnx1x1lnx2x1x2.

x1x2x2x1x1x2

lnx1

设fxx0.

x

lnx1

所以可得fxx0在0,a，函数fx为增函数.

x

lnx11lnx1lnx

对于fx，其导数fx.

xx2x2

lnx1

若fx0，解得0x1，即函数fx的递增区间为0,1；

x

若0x1x2a都有x2lnx1x1lnx2x1x2成立，即在0,a，函数fx为增函数，则a的最大值为1.

故选：B.

2

9．（24-25高三上·山东烟台·期末）已知函数fxalnx,aR.

x1

(1)若曲线yfx在x1处的切线方程为axby10，求实数a,b的值；

(2)讨论函数fx的单调性.

1

a

a1

2

【答案】(1)或；

b21

b

2

(2)答案见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义结合切线方程，列式求解，即得答案.

（2）求出函数的导数，结合二次函数的判别式，分类讨论，判断导数正负，即可求得答案.

2

【详解】（1）由于fxalnx,aR，则f11，

x1

点1,1在axby10上，故ab10；

a2

1

又fx2，则f1a，

xx12

1

ab10a

a12

则1a，解得或；

ab21

2bb

2

（2）由题意得fx的定义域为，

0,+∞

ax22a1xa

a2

则fx22，

xx1xx1

令gxax22a1xa,x0,，

当a0时，gx0即fx0，所以fx在上单调递减；

20,+∞

当a0时，Δ4a14a2412a，

1

当a时，0,g(x)0,f(x)0，则fx在上单调递增；

2

120,+∞1a12a1a12a

当0a时，0，gxax2a1xa0的根为x,x，

21a2a

22

由于1a12aa0,1a0,12a0,1a12a，即x10,x20，

1a12a1a12a

当x0,或x,时，f(x)0，

aa

1a12a1a12a

fx在0,和,上单调递增；

aa

1a12a1a12a

当x,时，f(x)0，

aa

1a12a1a12a

fx在,上单调递减；

aa

综上，当a0时，fx在上单调递减；

0,+∞

11a12a1a12a

当0a时，fx在0,和,上单调递增，

2aa

1a12a1a12a

在,上单调递减.

aa

1

当a时，fx在上单调递增.

2

0,+∞考点05导数与函数的极值

1．（24-25高三上·北京海淀·期末）设函数f(x)(xa)(x1)2，则“a1”是“f(x)没有极值点”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】求出函数f(x)的导数，利用极值点的意义，及充分条件、必要条件的定义判断得解.

【详解】函数f(x)(xa)(x1)2，求导得f(x)(x1)22(xa)(x1)(x1)(3x2a1)，

当a1时，f(x)3(x1)2≥0，当且仅当x1时取等号，则f(x)在R上单调递增，无极值点；

12a

若f(x)没有极值点，则f(x)没有变号零点，因此1，解得a1，

3

所以“a1”是“f(x)没有极值点”的充分必要条件.

故选：C

x3

2．（24-25高三上·江苏常州·期末）若函数f(x)ax22a24x3在x2处取得极小值，则实数a（）

3

A．2B．2C．2或0D．0

【答案】D

【分析】对函数求导，根据极小值点求参数，注意验证即可得答案.

【详解】由fxx22ax2a24，则f22a24a0，得a0或2，

a2时，fxx24x4(x2)20，f(x)在R上单调递增，不满足；

a0时，fxx24，在(,2),(2,)上，在(2,2)上，

′