备战2026年高考数学考试易错题（新高考）专题07 导数及其应用（解析版）

专题07导数及其应用

目录

易错点01对导数的概念理解不到位

易错点02错用函数的求导法则

易错点03混淆“在某点”和“过某点”切线的区别

易错点04利用导数求函数单调区间忽略定义域

易错点05混淆极值点与导数等于零的点的区别

易错点06已知单调性求参数时混淆条件

易错点07判断函数零点个数时画图出错

易错点01：对导数的概念理解不到位

f(1x)f(1)

典例（24-25高二上·全国·课后作业）若函数f(x)可导，则lim等于（）

x02x

111

A．2f(1)B．f(1)C．f(1)D．f

222

【答案】C

【分析】根据导数的定义即可求解.

f(1x)f(1)1f[1(x)]f(1)1

【详解】limlimf(1)．

x02x2x0x2

故选：C

【易错剖析】

f(xx)f(x)

在解题时要注意y00，本题容易忽略分母不是分子函数值对应自变

fx0limlim

x0xx0x

量的差而出错.

【避错攻略】

1．导数的概念

yf(x0x)f(x0)

函数f(x)在xx0处瞬时变化率是limlim，我们称它为函数yfx在xx0

x0xx0x

处的导数，记作或y．

f(x0)xx0

【解读】①增量x可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．x0的意义：x与0之间距离要

多近有多近，即|x0|可以小于给定的任意小的正数；

②当x0时，y在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与

yf(xx)f(x)

00无限接近；

xx

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时

yf(x0x)f(x0)

刻的瞬间变化率，即f(x0)limlim．

x0xx0x

2．几何意义

，

函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义即为函数yf(x)在点P(x0y0)处的切线的斜率．

3．物理意义

函数ss(t)在点t0处的导数s(t0)是物体在t0时刻的瞬时速度v，即vs(t0)；vv(t)在点t0的导

数v(t0)是物体在t0时刻的瞬时加速度a，即av(t0)．

f(xx)f(x)

易错提醒：y00，要注意定义式中的分母一定是分子两个函数值

(1)fx0limlim

x0xx0x

对应自变量的差，如果不是要通过调整系数实现对应；的代数意义表示函数在处的瞬时

(2)fx0fxx0

变化率；的几何意义表示曲线在处切线的斜率．

(3)fx0yfxxx0

fx

1．（24-25高二上·全国·课后作业）若可导函数fx的图象过原点，且满足lim1，则f0等于

x0x

（）

A．2B．2C．1D．1

【答案】C

【分析】由题得f00，再利用导数定义求解.

【详解】∵fx图象过原点，∴f00，

f0xf0fx

∴f0limlim1，

x0xx0x

故选：C

fx1f1

2．（24-25高二下·全国·课后作业）如果函数yfx在x1处的导数为1，那么lim（）

x02x

11

A．B．1C．2D．

24

【答案】A

【分析】利用导数的定义求解.

f(1x)f1

【详解】因为f11，所以lim1，

x0x

f(x1)f11f1xf11

所以limlim．

x02x2x0x2

故选：A．

3．（24-25高二下·河北石家庄·阶段练习）设函数fx在点x0附近有定义，且有

2

fx0xfx0axbx（a，b为常数），则（）

A．fxaB．fxbC．fx0aD．fx0b

【答案】C

【分析】由导函数的定义可得答案.

2

ΔyaΔxbΔx

【详解】因为abΔx，

ΔxΔx

Δy

所以fx0limlimabΔxa，

Δx0ΔxΔx0

即fx0a.

故选：C

fx0fx0x

1．（24-25高二上·全国·课后作业）若fx02，则lim（）

x0x

A．1B．2C．1D．2

【答案】D

【分析】根据瞬时变化率的定义即可求解.

【详解】根据题意fx02，

fxfxxfxxfx

则0000．

limlimfx02

x0xx0x

故选:D．

f(xh)f(x)

2．（24-25高三上·广西玉林·期中）设fx是定义在R上的可导函数，若lim002a（a为常

h0h

数），则f(x0)（）

A．2aB．2aC．aD．a

【答案】A

【分析】根据导数的定义计算即可求解.

f(x0h)f(x0)f(x0h)f(x0)

【详解】f(x0)limlim2a．

h0hh0h

故选：A

f1xf1

3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数fxxlnx，则lim的值为（）

x0x

A．2eB．0C．1D．e

【答案】C

【分析】利用导数定义求极限即可.

f1xf1

【详解】根据导数定义，得limf1，

x0x

又fx1lnx，所以f11.

故选：C.

fx02xfx0

4．（24-25高三上·上海·期中）若函数yf(x)在xx0处的导数等于a，则lim的值为

x0x

（）

1

A．0B．aC．aD．2a

2

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算可求解.

fx2Δxfxfx2Δxfx

【详解】0000

lim2limfx02a.

Δx0ΔxΔx02Δx

故选：D.

5．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）若函数yfx在区间a,b内可导，且x0a,b，则

fxfxh

lim00的值为（）

h0h

．．2fx．．

Afx0B0C2fx0Dfx0

【答案】D

【分析】由导数的定义即可求解.

fxfxhfxfxh

【详解】0000，

limlimfx0

h0hh0h

故选：D.

fx03xfx0

6．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数fx在xx0处可导，且lim3，则

x02x

fx0（）

3

A．3B．2C．D．2

2

【答案】B

【分析】利用导数的定义求解.

fx3xfx

【详解】解：因为lim003，

x02x

3fx03xfx03

所以lim3，即fx03，

2x03x2

所以fx02，

故选：B

fx0hfx0

7．（24-25高二·全国·课后作业）（多选）若函数fx在xx0处存在导数，则lim的值（）

h0h

A．与x0有关B．与h有关C．与x0无关D．与h无关

【答案】AD

【分析】由导数的定义判断即可.

fxhfx

【详解】由导数的定义可知，00，

limfx0

h0h

函数fx在xx0处的导数与x0有关，与h无关，

故选：AD．

nn

11

8．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知：当n无穷大时，1的值为e，记为lim1e.运用上述

nnn

ln(12x)

结论，可得lim(x0).

x0x

【答案】2.

1

【分析】利用换元法和对数运算性质将所求式子化简为lim(1)n的结构，即可求得.

nn

11

【详解】令2x，则x，x0,x0，则t0,t，

t2t

1

因为lim(1)ne，

nn

1

ln1t

ln12xt11

则limlim2limtln12limln12lne2.

1

x0x01tttt

2t

2t

故答案为：2.

易错点02：错用函数的求导法则

2π

典例（24-25高三上·山东聊城·期末）函数yxcos2x的导数为（）

3

π2π

A．y2xcos2xxsin2x

33

π2π

B．y2xcos2x2xsin2x

33

2ππ

C．yxcos2x2xsin2x

33

π2π

D．y2xcos2x2xsin2x

33

【答案】B

【分析】利用导数的运算法则以及复合函数求导法则可求出原函数的导数.

22π2ππ

【详解】yxcos2xxcos2x2xcos2xxsin2x2x

33333

π2π

2xcos2x2xsin2x．

33

故选：B.

【易错剖析】

本题容易错用复合函数的求导法则而出错，要注意求导公式和求导法则的适用前提.

【避错攻略】

1．求导的基本公式

基本初等函数导函数

f(x)c（c为常数）f(x)0

f(x)xa(aQ)f(x)axa1

f(x)ax(a0，a1)f(x)axlna

1

f(x)logx(a0，a1)f(x)

axlna

f(x)exf(x)ex

1

f(x)lnxf(x)

x

f(x)sinxf(x)cosx

f(x)cosxf(x)sinx

2．导数的四则运算法则

（1）函数和差求导法则：[f(x)g(x)]f(x)g(x)；

（2）函数积的求导法则：[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)；

f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

（3）函数商的求导法则：g(x)0，则[]．

g(x)g2(x)

3．复合函数求导数

复合函数yf[g(x)]的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间关系为：

yxyuux

易错提醒：（1）复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导

数即；（）求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展

,yxyuux2

开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，

先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要

时可换元.

1

1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知某函数的导数为y，则这个函数可能是（）

2(x1)

11

A．yln1xB．ylnC．yln(1x)D．yln

1xx1

【答案】A

【分析】利用复合函数导数的运算法则逐项计算即可得到结果.

【详解】对于A，函数yln1x可以看作ylnu,uv和v1x的复合函数，

1

1121111

∴yxyuuvvx(lnu)(v)(1x)v(1)(1)，符合题意；

u21x21x2(1x)2(x1)

11

对于B，ylnln1x，∴y，不符合题意；

1x2(x1)

对于C，yln(1x)可以看作ylnu和u1x的复合函数，

11

∴yyu(lnu)(1x)(1)，不符合题意；

xuxux1

11

对于D，ylnln(x1)，∴y，不符合题意．

x1x1

故选：A.

2．（2025高三·全国·专题练习）下列求导运算错误的是（）

1

A．tanxtanxB．log2x

xln2

x2xx2x11

C．2e4x2eD．

x2xx

【答案】A

【分析】利用导数的运算法则与复合函数导数公式求解判断即可.

sinxcosxcosxsinxsinx1

【详解】A项，tanx，故A错误；

cosxcos2xcos2x

1

B项，logx，故B正确；

2xln2

222

C项，2exx2exx2x14x2exx，故C正确；

13

111

D项，x2x2，故D正确.

x22xx

故选：A.

ππ

3．（24-25高三·全国·联考）已知函数f(x)cos2x，则f（）

34

11

A．1B．C．1D．

22

【答案】A

π

【分析】先利用复合函数的求导法则求出导函数，将x代入求值即可.

4

ππ

【详解】因为f(x)cos2x，则f(x)2sin2x，

33

ππππ

所以f2sin2cos1．

4233

故选：A

1．（2025高三·全国·专题练习）函数yxln2x5的导数为（）

x

A．y2xln2x5B．y

2x5

x2x

C．yln2x5D．yln2x5

2x52x5

【答案】D

【分析】根据乘法的导数以及复合函数的导数等知识来求得正确答案.

【详解】因为yxln2x5，

所以

yxln2x5xln2x5xln2x5

12x

ln2x5x2x5ln2x5.

2x52x5

故选：D

2．（24-25高三上·北京·开学考试）在下列函数中，导函数值不可能取到1的是（）

A．yxlnxB．ycosxC．y2xD．yxlnx

【答案】D

【分析】分别对各选项中函数求导，由导函数值等于1时，判断能否求出对应的x的值，即可确定.

【详解】对于A，y¢=lnx+1，令lnx11，得x1，即A选项导函数值可以取到1；

3π

对于B，ysinx，令sinx1，得x2kπ，kZ，即B选项导函数值可以取到1；

2

x1

对于C，y2xln2，令2xln21，得2，

ln2

11

由于1，所以xlog，即C选项导函数值可以取到1；

ln22ln2

111

对于D，y1，令11，则0，不存在x使其成立，即D选项导函数值不可能取到1，

xxx

故选：D.

3．（24-25高三上·上海宝山·阶段练习）已知yexcosx，则（）

A．yexsinxB．yexsinx

xπxπ

C．y2esinxD．y2esinx

44

【答案】D

【分析】根据导数的运算法则计算即可．

xxxxπ

【详解】由yexcosx，则yecosxesinxecosxsinx2esinx.

4

故选：D.

1

4．（24-25高三上·山西·期中）若函数fx满足fxx3f2x23x，则f2的值为（）

2

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【分析】求解导函数，再赋值x2，解关于f(2)的方程可得.

1

【详解】由fxx3f2x23x，得f(x)3x2f(2)x3，

2

则f(2)122f(2)3，解得f(2)3，

故选：C.

5．（24-25高二下·辽宁·阶段练习）（多选）下列求导运算正确的是（）

11

A．ln2022B．(log4x)

20224xln4

11

．11．32

CDx3x2

tanxsin2xxx

【答案】BC

【分析】根据基本函数的导数公式及复合函数导数求法判断各项正误.

【详解】由ln2022为常数，则ln20220，A错误；

1

由log4x1logx，则(log4x)(1logx)，B正确；

4444xln4

1cosxsin2xcos2x1

由，C正确；

tanxsinxsin2xsin2x

3121

由x3x，D错误．

xx2

故选：BC

6．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）（多选）下列求导运算正确的是（）

11

．sinxxcosxsinx．

ABx12

xx2xx

．．2x2x

Clog230Dxe2xxe

【答案】ABC

【分析】利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则可得选项A，B，C正确，选项D错误.

sinx(sinx)xsinxxxcosxsinx

【详解】A.，选项A正确.

xx2x2

111

B.xx1，选项B正确.

xxx2

C.log23为常数，选项C正确.

D.x2exx2exx2ex2xexx2ex2xx2ex，选项D错误.

故选：ABC.

7．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）（多选）下列导数运算正确的是（）

1111

A．()B．(ex)exC．(tanx)D．(lnx)

xx2cos2xx

【答案】ACD

【分析】利用求导公式逐项判断即可.

11

【详解】对于A，()，故A正确；

xx2

对于B，(ex)ex，故B错误；

sinxcos2xsin2x1

对于C，(tanx)()=，故C正确；

cosxcos2xcos2x

(lnx),x01

对于D，(lnx)，故D正确.

lnx,x0x

故选：ACD

8．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）（多选）下列导数运算正确的是（）

'

11'

．．xx

A2Bee

xx

11

C．(tanx)'D．(lgx)'

cos2xxln10

【答案】ACD

【分析】根据求导公式、运算法则和简单复合函数的求导依次计算，即可求解.

11

【详解】A：()(x1)x2，故A正确；

xx2

B：(ex)(ex)(x)ex，故B错误；

sinx(sinx)cosxsinx(cosx)cos2xsin2x1

C：(tanx)()，故C正确；

cosxcos2xcos2xcos2x

1

D：(lgx)，故D正确.

xln10

故选：ACD

易错点03：混淆“在某点”和“过某点”切线的区别

典例（2024·新疆·二模）过点1,4且与曲线fxx3x2相切的直线方程为（）

A．4xy0B．

C．4xy0或D．74�x−y4�+0或9=0

【答案】C7�−4�+9=04�−7�+24=0

【分析】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线.

【详解】设过点的曲线的切线为：，

2

000

有1,4�=�(�)�:�−�=3�+1�−�

2,

3�0+11−�0=4−�0

3

�0=�0+�0+2

解得或1,

0�0=−2

�=19

0

�=40

代入l可得4xy�0=或8.

故选：C7�−4�+9=0

【易错剖析】

本题容易误将（1,4）点当做函数的切点而出错，要注意过P点的切线P不一定是切点.

【避错攻略】

1．在点P的切线方程

，

切线方程yf(x0)f(x0)(xx0)的计算：函数yf(x)在点A(x0f(x0))处的切线方程为

y0f(x0)

yf(x)f(x)(xx)，抓住关键．

000

kf(x0)

2．过点P的切线方程

，

设切点为P(x0y0)，则斜率kf(x0)，过切点的切线方程为：yy0f(x0)(xx0)，又因为切线方

，

程过点A(mn)，所以ny0f(x0)(mx0)然后解出x0的值．（x0有几个值，就有几条切线）

【注意】在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．

易错提醒：（1）利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：

（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．

（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．

（）曲线＝在点处的切线与过点的切线的区别：曲线＝在点

3yfx“”P(x0,y0)“”P(x0,y0)yfxP(x0,y0)

＝

处的切线是指点为切点，若切线斜率存在，切线斜率为＝，是唯一的一条切线；曲线yfx过

Pkfx0

点的切线，是指切线经过点，点可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．

P(x0,y0)PP

（2）利用导数的几何意义求参数的基本方法

利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程（组）或者参数满足的不等式（组），

进而求出参数的值或取值范围．

（3）求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点

（1）注意曲线上横坐标的取值范围；

（2）谨记切点既在切线上又在曲线上．

1．（24-25高三上·广东·阶段练习）函数fxlnx2x的图象在点1,2处的切线与坐标轴所围成的三角形

的面积为（）

1111

A．B．C．D．

2368

【答案】C

【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线方程，进而可切线与坐标轴交点，即可得三角形面积.

1

【详解】由fxlnx2x，得fx2，f13，

x

则fx的图象在点1,2处的切线方程为y23x1，即y3x1，

1

令x0，得y1，令y0，得x，

3

111

则该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为1，

236

故选：C.

2．（23-24高二下·山西晋城·期末）过原点O作曲线f(x)exax的切线，其斜率为2，则实数a（）

A．eB．2C．e+2D．e2

【答案】D

【分析】设出切点，求导，得切点处的切线方程，即可代入原点0,0求解.

x

【详解】设切点x0,y0，则fxea，

xx

00x0

故切点处的切线方程为yeaxx0eax0，故ea2，

x0

将0,0代入得02x0eax0，故02x0a2ax0，解得a2或x01，

若a2，则ex022，此时无解，故a2不符合题意，

若x01，则ea2，故ae2，此时满足题意，

故选：D

3．（24-25高三·山东临沂·期中）若过点a,b可以作曲线yex1的两条切线，则（）

A．eb1aB．ea1bC．0bea1D．0aeb1

【答案】C

【分析】根据题意，求出切线方程，然后对b进行讨论即可.

【详解】设切点为Px0,y0,

对yex1求导可得：yex1,

切线的斜率为ex01,

x01x01

可得切线方程为：yeexx0,

x01x01

把点a,b代入可得beeax0,

x01

化为beax01,

令fxex1ax1,xR,

fxex1ax,

令fx0得xa;令fx0得xa

所以函数fx在,a上单调递增,在a,上单调递减,

可得xa时函数fx取得极大值faea1.

当x时,fx0,fx0,

当x时,fx.

b0时，yb与函数fx的图象最多有一个交点,不符合题意,舍去.

b0时,由过点a,b可以作曲线yex1的两条切线,

yb与函数fx的图象有两个交点,

0bea1.

故选：C.

1．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）曲线yx2x1在x1处的切线方程为（）

A．x1B．y1C．yxD．yx1

【答案】D

【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程.

【详解】因为yx2x1，所以y3x22x，

所以曲线yx2x1在x1处的切线的斜率为1，

当x1时，y0，所以切点为1,0，

所以切线方程为y0x1，即yx1.

2．（24-25高三上·河南·阶段练习）曲线yex2ax在x0处的切线经过点2,1，则实数a的值为（）

A．1B．0C．1D．2

【答案】C

【分析】求导，由导数几何意义得到函数在x0处的切线斜率，结合两点间斜率公式得到方程，求出实数a

的值.

【详解】yex2a，由导数几何意义知，

yex2ax在x0处的切线斜率为e02a12a，

11

当x0时y1，切线经过点2,1，故有12a，解得a1.

02

故选：C．

x1

3．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数y在点0,1处的切线与两坐标轴围成的封闭

x1

图形的面积为（）

111

A．B．C．D．1

842

【答案】B

【分析】求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而可得交点坐标和面积.

2

x12y

【详解】因为y1，则2，可得y|x02，

x1x1x1

即切点坐标为0,1，切线斜率为2，

1

则切线方程为y2x1，其与x轴交点为,0，

2

111

所以切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为1.

224

故选：B.

1

4．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）若直线ykx与曲线ylnx相切，则k（）

2x

111

A．ln2B．C．D．4

424

【答案】B

【分析】设出切点坐标，求导并利用导数的几何意义与两点间的斜率公式计算可得直线斜率.

001

【