备战2026年高考数学考试易错题（新高考）专题11 立体几何与空间向量（原题版）

试卷第=page22页，共=sectionpages2727页专题11立体几何与空间向量目录题型一：立体几何初步易错点01对斜二测法规则掌握不牢出错易错点02线面位置关系考虑不全面出错易错点03对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻题型二空间向量及其应用易错点04忽略建系的条件而出错易错点05忽略异面直线所成角的范围出错易错点06混淆线面角与法向量与直线方向向量的夹角题型一：立体几何初步易错点01：对斜二测法规则掌握不牢出错典例（2024·山西太原高三模拟）如图，是用斜二测画法得到的△AOB的直观图，其中则AB的长度为．【答案】【解析】把直观图还原为,如图所示：根据直观图画法规则知,,所以的长度为.故答案为：.【易错剖析】直观图还原原图时容易混淆长度的“变”与“不变”，即与轴平行(重合)的线段长度不变，与轴平行(重合)的线段长度直观图是原图的一半.【避错攻略】1.空间几何体的直观图的概念直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形.2.水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法）（1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或）（2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段.（3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半.（4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图.方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有.3.空间几何体的直观图的绘制方法（1）画轴.在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点,画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点,且使”(或）,它们确定的平面表示水平面；（2）画底面.已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段；（3）画侧棱.已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半；（4）成图.连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.4.斜二测画法保留了原图形中的三个性质①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．易错提醒：斜二测画法要注意：①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半.1．（2025高三·全国·专题练习）已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，则直角梯形边的长度是（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·浙江·期中）水平放置的的直观图如图，其中，，那么原是一个（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中以原四边形的边为轴旋转一周得到的几何体体积为（

）

A． B．C． D．1．（23-24高三下·山西运城·期末）如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则（

）A． B． C．6 D．3．（24-25高三·安徽池州·期中）一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（

）A． B． C．3 D．4．（23-24高三上·河北邢台·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若，且，则原图形中边上的高为（

）A． B． C． D．5．（2025高三·专题测试）已知梯形按斜二测画法得到的直观图为如图所示的梯形，且，，，现将梯形绕㯀转一周得到一个几何体，则该几何体的侧面积为（

）A． B． C． D．6．（2025高三·全国·专题练习）（多选）如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（

）A． B．C． D．7．（24-25高三上·广东湛江·阶段练习）（多选）已知水平放置的正方形的边长为，利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的直观图四边形，则（

）A．的最小值小于 B．的最大值小于C．的最小值大于 D．的最大值大于8．（24-25高三上·江西·阶段练习）已知在斜二测画法下的直观图(其中A与对应，B与对应)为下图所示的，其中，，则的面积为；以该为底面的三棱锥中，，，则三棱锥的外接球半径为.易错点02：线面位置关系考虑不全面出错典例（2024·甘肃兰州校考模拟预测）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】当，时，可能有，但也有可能或，故A选项错误；当，时，可能有，但也有可能或，故选项B错误；在如图所示的正方体中，取为，为，为平面，为平面，这时满足，，，但不成立，故选项C错误；当，，时，必有，从而，故选项D正确；故选：D.【易错剖析】本题求解时容易因为考虑不全面而出错.【避错攻略】1、平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．【解读】①此公理是判定直线在平面内的依据；②此公理是判定点在面内的方法公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(注意：三点不一定能确定一个平面)．【解读】①此公理是确定一个平面的依据；②此公理是判定若干点共面的依据.推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．【解读】①此推论是判定若干条直线共面的依据；②此推论是判定若干平面重合的依据；③此推论是判定几何图形是平面图形的依据.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．【解读】①此公理是判定两个平面相交的依据；②此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）；③此推论是判定几何图形是平面图形的依据.2、空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),异面直线：不同在任何一个平面内))【解读】①两条异面直线不能确定一个平面．②不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线.易错提醒：确定空间中点线面位置关系，热点是线线、线面位置关系，空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线,可采用直接法或反证法；对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决，确定位置关系时要考虑到所有可能,一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断。1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知直线平面，点，那么过点且平行于直线的直线（

）A．有且只有1条，且在平面内 B．有且只有1条，不在平面内C．有无数条，不都在平面内 D．有无数条，都在平面内2．（24-25高二上·上海·阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．两个平面可以有且仅有一个公共点 B．三条相互平行的直线必在同一个平面内C．两两相交的三条直线一定共面 D．过不在一直线上的三点有且仅有一个平面3．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）在三棱锥中，点E，F，G，H分别在AB，BC，CD，DA上，且，则下列说法中正确的是（

）A．直线EH与FG一定平行 B．直线EH与FG一定相交C．直线EH与FG可能异面 D．直线EH与FG一定共面1．（2024·陕西铜川·模拟预测）下列说法正确的是（

）A．若直线两两相交，则直线共面B．若直线与平面所成的角相等，则直线互相平行C．若平面上有三个不共线的点到平面的距离相等，则平面与平面平行D．若不共面的4个点到平面的距离相等，则这样的平面有且只有7个2．（2024·宁夏银川·三模）是两个不同的点，为两个不同的平面，下列推理错误的是（

）A．B．C．D．3．（2024·四川南充·三模）如图，在直三棱柱中，，，E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法中错误的是（

）A．B．E、F、G、H四点共面C．设，则平面截该三棱柱所得截面的周长为D．、、三线共点4．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）在空间中，下列命题是真命题的是（

）A．经过三个点有且只有一个平面B．垂直同一直线的两条直线平行C．如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等D．若两个平面平行，则其中一个平面中的任何直线都平行于另一个平面5．（2025高三·全国·专题练习）在正方体中，下列选项错误的是（

）A．与异面 B．C．平面平面 D．平面6．（24-25高三上·天津·阶段练习）m，n为空间两条不重合直线，为空间平面，下列命题正确的是（

）A．，，则B．m，n与所成角均为30°，则C．，，，则直线m，n到的距离相等D．，，则m，n可以是异面直线易错点03：对垂直的性质定理、判定定理理解不透彻典例（2025高三上·专题训练）已知四棱锥的底面为菱形，其中，点在线段上，若平面平面，则．【答案】/0.4【详解】设平面与直线交于点，连接，取中点，连接，与交于点，连接，因为，平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，从而，又菱形中，，所以是等边三角形，则，而，所以，又，平面，所以平面，而平面，所以，从而，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，设，则由已知得，，，，中，，从而，，，，所以.故答案为：.【易错剖析】在利用面面垂直的性质定理的过程中，往往以为两个面内的任意两条直线都垂直而出错。【避错攻略】空间中的垂直关系（1）线线垂直①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直②勾股定理的逆定理证线线垂直③菱形、正方形的对角线互相垂直（2）线面垂直的判定定理判定定理：一直线与平面内两条相交直线垂直，则线面垂直图形语言符号语言（3）线面垂直的性质定理性质定理1：一直线与平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条直线图形语言符号语言性质定理2：垂直于同一个平面的两条直线平行图形语言符号语言（4）面面垂直的判定定理判定定理：一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则两个平面垂直（或：一个平面经过另一个平面的垂线，则面面垂直）图形语言符号语言（5）面面垂直的性质定理性质定理：两平面垂直，其中一个平面内有一条直线与交线垂直，则这条直线垂直于另一个平面图形语言符号语言易错提醒：线面垂直的判定定理使用时一定要注意直线与平面内两相交直线垂直；面面垂直的性质定理要注意一个平面内直线和两个平面的交线垂直，才能推出直线与平面垂直.1．（24-25高三上·天津河西·期末）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知在三棱锥中，平面平面，，，，，则三棱锥的体积的最大值为（）A． B． C． D．3．（24-25高三上·湖南怀化·期中）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上一点（不同于，）且，则二面角的大小为（

）

A．15° B．30° C．45° D．60°1．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，，，，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（24-25高三上·上海浦东新·期末）设、为两条直线，、为两个平面，且．下述四个命题中为假命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若且，则 D．若，则或3．（2025高三·全国·专题练习）设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（

）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，，，则或与相交4．（2025高三·全国·专题练习）已知三棱柱的棱长均为3，为的中点，在上，且平面，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．5．（24-25高三上·山西大同·阶段练习）已知菱形的边长为，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且平面平面.若点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．6．（24-25高三上·山东·阶段练习）（多选）如图，在棱长为1的正四面体中，点是顶点在底面内的射影，为的中点，则（

）A．B．C．点到平面的距离为D．三棱锥的外接球体积为7．（2025高三·全国·专题练习）（多选）如图，在三棱柱中，平面，点分别为棱，的中点，，则（

）A．若，则 B．平面C． D．题型二空间向量及其应用易错点04：忽略建系的条件而出错典例（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．(1)若为线段中点，求证：平面．(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值.【详解】（1）取的中点为，接，则，而，故，故四边形为平行四边形，故，而平面，平面，所以平面.（2）因为，故，故，故四边形为平行四边形，故，所以平面，而平面，故，而，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，则设平面的法向量为，则由可得，取，设平面的法向量为，则由可得，取，故，故平面与平面夹角的余弦值为【易错剖析】在建立空间坐标系以前，必须要先证明需要的垂直关系，以防因步骤不全而丢分.【避错攻略】1.空间直角坐标系的定义在空间中选定一点O和一个单位正交基底i,j,k，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫作原点，i，j，k都叫作坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面，分别称为Oxy平面，2.画法：画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°（或45°），3.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.4.空间点的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量OA，且点A的位置由向量OA唯一确定，由空间向量基本定理得，存在唯一的有序实数组x,y,z，使OA=xi+yj+zk.在单位正交基底i,j,k下与向量OA对应的有序实数组x,y,5.建立空间直角坐标系策略策略一：建立空间直角坐标系时，可以按照以下步骤进行（1）确定空间直角坐标系的三个坐标轴方向，一般选择为某轴、y轴和z轴。（2）确定空间直角坐标系的原点，一般选择为三个轴的交点。（3）确定坐标轴的正方向，一般按照右手定则确定，即当右手的大拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向时，中指所指的方向即为z轴正方向。（4）确定坐标轴的长度和间距，一般选择适当的数值，方便计算。（5）根据需要，可以在空间直角坐标系中建立坐标系网格和标注坐标轴上的刻度值，方便进行坐标计算和表示几何体。策略二：利用共顶点且相互垂直的三条棱建系：策略三：利用线面垂直建系策略四：利用面面垂直建系策略五：利用正棱锥的中心与高所在直线建系易错提醒：利用空间坐标系处理空间角、空间距离问题，是高考中的重点题目，但在建立坐标系以前必须先证明要用到的垂直关系，而不能相当然的利用图中的直线作为空间坐标系的坐标轴.1．（24-25高三上·江苏扬州·期末）（多选）如图，在棱长为1的正四面体中，点是顶点在底面内的射影，为的中点，则（

）A．B．C．点到平面的距离为D．三棱锥的外接球的表面积为2．（24-25高三上·天津河西·期末）如图所示，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，，点在平面上的投影为线段的中点分别是线段的中点.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求点到平面的距离.3．（2024·广西·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，四边形是菱形，，是棱上的动点，且.

(1)证明：平面.(2)是否存在实数，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.1．（24-25高三上·江苏·阶段练习）在空间几何体中，四边形均为直角梯形．如图，设，，．(1)求证：平面平面；(2)若二面角的余弦值为，求的值．2．（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，平面平面ABCD，，，，，，点E为线段PD上的动点．(1)若平面平面，求证：；(2)若平面ABE与平面PCD的夹角的余弦值为，求的值．3．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）如图，在三棱柱中，平面．(1)证明：．(2)求平面与平面夹角的余弦值．4．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面是菱形，平面平面，分别是棱，的中点，是棱上一点，且(1)证明：平面；(2)在菱形中，若，（ⅰ）求三棱锥的体积；（ⅱ）若二面角的余弦值为，求的值5．（24-25高三上·山东·阶段练习）如图，在四棱锥中，分别为棱的中点，平面，四边形是边长为4的正方形.

(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．易错点05：忽略异面直线所成角的范围出错典例（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）已知正方体，E为棱的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求出异面直线夹角的余弦.【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，令，

则，，因此，所以异面直线，所成角的余弦值为.故选：A【易错剖析】本题在求异面直线所成角的余弦时易忽略异面直线所成角的范围而错选B.【避错攻略】1.两条异面直线所成的角的定义如图，已知两异面直线a，b，经过空间任一点O，分别作直线a′∥a，b′∥b，相交直线a′，b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．【解读】（1）在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以判定a′，b′所成的角的大小与点O的位置无关．为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．（2）研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线，即把求空间角问题转化为求平面角问题，这是研究空间图形的一种基本思路．2．异面直线所成的角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，则这个角α的取值范围为．3．两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a，b，记作a⊥b．求异面直线所成的角的步骤4．求异面直线所成的角的方法（1）几何法一作，即依据定义作平行线，作出异面直线所成的角二证，即证明作出的角是异面直线所成的角三求，解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角（2）向量法已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为θ，则cosθ=|易错提醒：求解异面直线所成角相关问题时，要注意两点：一是几何法所做的角和异面直线所成角相等或互补；二是异面直线的方向向量所成角一异面直线所成角也是相等或互补的关系，而区分的依据都是异面直线所成角的范围.1．（2025高三·全国·专题练习）若异面直线的方向向量与的方向向量的夹角为，则与所成的角为（

）A． B．C．或 D．以上均不对2．（24-25高三上·湖南·开学考试）两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知则线段的长为（

）A．8 B． C． D．3．（2024·全国·模拟预测）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，点为上靠近点的三等分点，点为上靠近点A的四等分点，则异面直线与所成角的余弦值为．

1．（2024·贵州毕节·三模）在正四棱锥中，底面边长为，侧棱长为4，点是底面内一动点，且，则当，两点间距离最小时，直线与直线所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·重庆北碚·阶段练习）已知正方体的棱长为1，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则线段的长为（

）A． B． C． D．3．（24-25高三上·陕西榆林·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为的中点，，直线与所成角的大小为，则四校锥的体积为.4．（23-24·高三上·海阶段练习）已知四面体中，，E、F分别为、的中点，且异面直线与所成的角为，则___________.5．（24-25·高三·上海复旦附中期中）如图所示，在三棱锥中，，、分别为与的中点，，则异面直线与所成角的大小是______．6．（2024·海南·模拟预测）如图，已知线段为圆柱OO1的三条母线，AB为底面圆的一条直径，是母线的中点，且.(1)求证：A1O⊥平面(2)求平面与平面的夹角的余弦值.7．（2024·上海宝山·一模）如图，四棱锥中，底面为矩形，，且该四棱锥的体积为.

(1)证明：平面底面；(2)求异面直线和所成角的余弦值.8．（24-25高三上·江苏扬州·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，点E，F分别为棱，的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与直线的夹角的余弦值．易错点06：混淆线面角与法向量与直线方向向量的夹角典例（2024·四川广安统考二模）已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为点在底面的射影为中点，则平面，又因为四边形为正方形，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，因为平面，平面，则，因为，，则，则、、、，所以，，易知平面的一个法向量为，，因此，直线与平面所成角的余弦值为.故选：B.【易错剖析】本题容易误认为直线与平面所成角的余弦值等于与法向量的夹角的余弦而出错.【避错攻略】1.直线与平面所成角（1）斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.【解读】斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.如图，直线是平面的一条斜线，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影.直线和平面所成角①平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；②直线与平面垂直时，它们的所成角为；③直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.故直线与平面所成角的范围为.2.直线与平面所成角的求法（1）几何法①在直线上任取一点（通常都是取特殊点），向平面引（通常都是找+证明）垂线；②连接斜足与垂足；③则斜线与射影所成的角，就是直线与平面所成角.（2）等体积法①利用等体积法求垂线段的长；②（3）向量法设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有①②.（注意此公式中最后的形式是：）易错提醒：易错点为线面角与向量夹角转化不清等问题，若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则sin=|cos<,>|。容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值.1．（2024高三·全国·专题练习）已知向量，分别是直线与平面的方向向量、法向量，若，则与所成的角为（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·河北石家庄·期末）已知圆锥的侧面积为，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为（

）A．15° B． C． D．3．（24-25高三上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，已知是的中点，则与平面所成角的余弦值为．1．（2024高三·全国·专题练习）已知正四棱台的侧面积为，，，则与平面所成的角为（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）在平行六面体中，，则与平面ABCD所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．3．（2024·四川攀枝花·一模）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵中，，若，，直线与平面所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．4．（2025高三·全国·专题练习）已知三棱锥，，，，则直线与平面所成角的正切值为，三棱锥外接球的体积为.5．（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图，在直三棱柱中，．(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．7．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）如图（1），在平面四边形中，，，过点作，垂足为．如图（2），把沿折起，使得点A到达点处，且．(1)证明：．(2)若点为的点，求直线与平面所成角的正弦值．8．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，E是棱上的动点（不含端点），F是棱上的动点．(1)求证：无论E点如何运动，总存在点F为使得；(2)若为等边三角形，二面角的大小为，直线BD与平面所成角的正弦值为，求的值.易错点06：混淆线面角与法向量与直线方向向量的夹角【典例】（2025高三阶段性训练）在正方体中，设，分别为棱，的中点.

(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值.【解析】（1）连接交于，连接，，.

在正方体中，，，四边形是平行四边形，所以，.正方形中，，故是的中点，所以，且，在中，，分别是，的中点，所以，且，所以，且，故四边形是平行四边形，故，又平面，平面，所以平面.（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.

不妨设正方体的棱长为2，故，，，，.在正方体中，平面，故是平面的一个法向量.设是平面的法向量，，，故即取，则所以是平面的一个法向量.故，设二面角的大小为，据图可知，，所以二面角的余弦值为.【易错剖析】本题在