备战2026年高考数学真题分类汇编（全国）专题03 函数的概念与性质（解析版）

专题03函数的概念与性质

1

1．（2023广西）已知函数fx，则f4（）

x

111

A．B．C．D．1

432

【答案】A

【知识点】求函数值

【分析】直接代入计算即可.

1

【详解】f4.

4

故选：A.

x

2．（2023吉林）函数y的定义域为（）

x1

A．xx0且x1B．x|x0且x1

C．xx1D．xx0

【答案】B

【知识点】具体函数的定义域

【分析】根据根式、分式的意义直接运算求解即可.

x0

【详解】由题意可得：，解得x0且x1，

x10

x

所以函数y的定义域为x|x0且x1.

x1

故选：B.

2

3．（2024浙江）函数fx6x的定义域为（）

A．RB．0,C．,0D．,00,

【答案】B

【知识点】具体函数的定义域

【分析】根据偶次根式有意义的条件求解即可

2

【详解】函数fx6x的定义域为0,，

故选：B

3x

4．（2024浙江）函数fx的定义域是（）

x2

A．3,B．,3C．,22,3D．R

【答案】C

【知识点】解不含参数的一元一次不等式、具体函数的定义域

【分析】由解析式中根号下为非负数，分母不为零，解不等式即可求得结果.

3x0x3

【详解】根据函数解析式可得，解得；

x20x2

所以该函数的定义域为,22,3.

故选：C

5．（2024浙江）下列各组函数表示同一函数的是（）

A．yx和y(x)2B．y3x3和yx2

x,x0.x2

C．yx和yD．yx1与y1

x,x0.x

【答案】C

【知识点】判断两个函数是否相等

【分析】逐项判断两个函数的定义域、表达式和值域是否相同即可.

【详解】对于A，yx的定义域为R，y(x)2的定义域为[0,)，定义域不同，不是同一函数，故A

错误；

对于B，y3x3x，yx2|x|，表达式不同，不是同一函数，故B错误；

对于C，两函数的定义域，表达式和值域均相同，是同一函数，故C正确；

x2

对于D，yx1的定义域为R，y1的定义域为{x|x0}，定义域不同，不是同一函数，故D错误.

x

故选：C.

1

6．（2024广东）函数fxx的定义域是（）

4

1111

A．,B．,C．,0D．,

4444

【答案】D

【知识点】具体函数的定义域

【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域.

111

【详解】令x0，解得x，故定义域为,.

444

故选：D

1

7．（2023新疆）函数y12x的定义域为（）

x1

1

A．xx1B．xx

2

11

C．x0xD．xx

22

【答案】B

【知识点】具体函数的定义域

【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0、分式分母不为0可求结果.

12x01

【详解】因为，所以x，

x102

1

所以定义域为xx，

2

故选：B.

1

8．（2023天津）函数fxx1的定义域为（）

x

A．1,B．1,C．1,00,D．,00,

【答案】C

【知识点】具体函数的定义域

【分析】根据根号下大于等于零，分母不为零列出条件，解出即可.

x10

【详解】由，得x1且x0，

x0

故选：C.

1

9．（2023北京）函数fx的定义域是．

x1

【答案】{x|x1}

【知识点】具体函数的定义域

【分析】根据函数解析式有意义求解即可.

【详解】由x10可得x1，

1

所以函数fx的定义域是{x|x1}，

x1

故答案为：{x|x1}

x10

10．（2024广东）函数fxx3的定义域为.

x2

【答案】1,22,33,

【知识点】具体函数的定义域

【分析】利用具体函数的定义域求解.

x10

【详解】解：因为fxx3，

x2

x10

所以x20,解得x≥1且x≠2，x≠3，

x30

即函数的定义域为1,22,33,，

故答案为：1,22,33,.

1．（2024福建）某工厂生产零件x件，当x10时，每生产1件的成本为100元，超过10件时，每生产1

件的成本为150元，当x=15时，生产成本为（）元

A．1000B．1750C．1500D．1300

【答案】B

【知识点】求函数值、解析法表示函数

【分析】根据给定条件，求出生产成本y与产量x的函数关系，再代入求出函数值.

【详解】令生产零件x件的成本为y元，

当x10,xN时，y100x，

当x10,xN时，y10100150(x10)150x500，

100x,x10,xN

因此y，当x15时，y1750，

150x500,x10,xN

所以当x15时，生产成本为1750元.

故选：B

x,x0

2．（2024北京）已知函数fx1，若fx02，则x0（）

,x0

x

11

A．B．C．2D．2

22

【答案】A

【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、分段函数的性质及应用

【分析】根据分段函数的解析式，代入求值，即可得答案.

1

【详解】当x0时，f(x)x0，当x0时，f(x)0，

x

11

故由fx02，得2,x0，

x02

故选：A

3．（2023北京）某小区的公共交流充电桩每小时的充电量为6.5kWh，收费标准如下表所示：

00：07：10：15：18：21：23：

时间段

00—07：0000—10：0000—15：0000—18：0000—21：0000—23：0000—24：00

收费（元

1.21.41.61.41.61.41.2

/kWh）

小王的新能源汽车于17：30开始在该小区的公共交流充电桩充电，当天21：00还未充满，21：30来查看，

发现已充满，则小王应缴纳的充电费可能为（）

A．31.5元B．37.5元C．45.3元D．51.1元

【答案】B

【知识点】求分段函数解析式或求函数的值

【分析】根据题意算出各时间段的充电费用即可判断选项.

【详解】由题知，小王在15：00—18：00时段充电0.5小时，费用为6.50.51.44.55元；

在18：00—21：00时段充电3小时，费用为6.531.631.2元；

记在21：00—23：00时段充电时间为x小时，费用为6.5x1.49.1x元.

综上，小王应缴纳的充电费y4.5531.29.1x9.1x35.75，

因为0x0.5，所以35.75y40.3.

故选：B

4．（2023新疆）已知f(x1)x21，则f(x)的解析式可取为（）

A．x22x1B．x22x1

C．x22xD．x22x

【答案】C

【知识点】已知f（g（x））求解析式

【分析】利用配凑法求得fx的解析式.

2

【详解】由于f(x1)x21x12x1，

2

所以fxx2x.

故选：C

5．（2023湖南）如图是周老师散步时所走的离家距离（y）与行走时间（x）之间的函数关系的图象，则周

老师散步的路线可能是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】函数关系的判断、函数图像的识别

【分析】根据y关于x的函数关系的图象确定正确答案.

【详解】根据y关于x的函数关系的图象可知，

周老师先远离家，然后有一段时间和家的距离相同，然后再回家（离家越来越近），

所以D选项对应图象符合.

故选：D

6．（2023河北）某家庭利用十一长假外出自驾游，为保证行车顺利，每次加油都把油箱加满，如表记录

了该家庭用车相邻两次加油时的情况．

加油时间加油量/升加油时的累计里程/千米

2020年10月1日1232000

2020年10月6日4832600

（注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．）在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）

A．6升B．8升C．10升D．12升

【答案】B

【知识点】列表法表示函数

【分析】根据表格数据求出行驶里程与耗油量，即可解得.

【详解】由表格中的信息可知，2020年10月1日油箱加满了油，此时的累计里程为32000千米，

到2020年10月6日，油箱加满油需要48升，说明这段时间的耗油量为48升，累计里程为32600千米，

48

说明这段时间汽车行驶了3260032000600千米，则在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为8

6

（升）．

故选：B．

x21,x2

7．（2023河北）已知函数fx，则ff4的值为（）

x3,x2

A．1B．0C．1D．2

【答案】D

【知识点】求分段函数解析式或求函数的值

【分析】代入数据直接计算得到答案.

x21,x2

【详解】fx，f4431，ff4f1112.

x3,x2

故选：D

x,x0

8．（2023广东）设函数f(x)2，若f(a)4，则实数a的值为（）

x,x0

A．±2或±4B．±2或－4C．2或4D．2或－4

【答案】D

【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量

【分析】讨论a0与a0两种情况，分别代入对应解析式进行求解即可.

【详解】当a0时，f(a)a24，得a2（舍去－2）；

当a0时，f(a)a4，得a4.

综上，a2或a4.

故选：D.

9．（2022宁夏）如图，可以表示函数fx的图象的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知识点】函数关系的判断、图象法表示函数

【分析】根据函数的概念判断

【详解】根据函数的定义，对于一个x，只能有唯一的y与之对应，只有D满足要求

故选：D

10．（多选）（2022浙江）矩形的面积为10，如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周长为l，下列正

确的（）

2010

A．l2x（x0）B．y（x0）

xx

2100

C．l2d220（d0）D．dx（x0）

x2

【答案】ABD

【知识点】解析法表示函数

【分析】根据已知条件逐个分析判断即可

【详解】对于A，因为矩形的面积为10，矩形的长为x，宽为y，

1020

所以xy10，得y，所以矩形的周长为l2x（x0），所以A正确，

xx

10

对于B，由选项A，可知y（x0），所以B正确，

x

对于C，因为矩形的面积为10，对角线为d，长为x，宽为y，

所以x2y2d22xy20，当且仅当xy10时等号成立，

所以x2y22xyd220，(xy)2d220，

因为xy0，所以xyd220，所以矩形的周长为l2d220（d25），所以C错误，

100

对于D，由选项C可知x2y2d2，xy10，所以d2x2，

x2

100

因为d0，所以dx2（x0），所以D正确，

x2

故选：ABD

x,x0

11．（2022广西）设函数f(x)2，则f(1)．

x1,x0

【答案】2

【知识点】求分段函数值

【分析】根据已知，直接求解分段函数的函数值，即可得出答案.

2

【详解】由已知可得，f(1)112.

故答案为：2.

2x,x0

12．（2023上海）已知函数fx，则方程f(x)1的解为.

x,x0

【答案】1

【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量

【分析】根据分段函数解析式求得正确答案.

【详解】当x0时，fx2x0，

由于fx1，所以fxx1,x1.

故答案为：1

13．（2022北京）对于温度的计量，世界上大部分国家使用摄氏温标（℃），少数国家使用华氏温标（℉），

两种温标间有如下对应关系：

摄氏温标（℃）…01020304050…

华氏温标（℉）…32506886104122…

根据表格中数值间呈现的规律，给出下列三个推断：

①25℃对应77℉；

②20℃对应4℉；

③存在某个温度，其摄氏温标的数值等于其华氏温标的数值．

其中所有正确推断的序号是．

【答案】①②③

【知识点】函数关系的判断、解析法表示函数、求函数值

【分析】根据条件可得y1.8x32，然后逐项分析即得.

【详解】设摄氏温标为x℃，对应的华氏温标为y℉,

503268328632

根据表格数据可知1.8,1.8,1.8,

100200300

y32

∴1.8，即y1.8x32，

x0

∴x25℃时，y77℉，x20℃时，y4℉，故①②正确；

由y1.8x32x，可得x40，即摄氏温标40℃对应的华氏温标为40℉，故③正确.

故答案为：①②③.

2x,x0,

14．（2022北京）已知函数fx则f(1)；方程f(x)1的解为．

x,x0,

【答案】－21

【知识点】求分段函数值、已知分段函数的值求参数或自变量

【分析】根据分段函数的性质求解即可.

【详解】f(1)2×(－1)＝－2；

x＜0时，f(x)＜0，故f(x)＝1＞0时，x≥0，则x1，解得x＝1.

故答案为：－2；1.

15．（2023广东）某移动公司推出两种不同的通话套餐类型供客户选择：

套餐一：零月租，按照0.4元/分钟计算话费；

套餐二：月租为40元，包含通话100分钟，若通话时长超过100分钟，则按照0.2元/分钟计算话费.

(1)写出两种套餐对应的话费与月通话时长之间的函数关系.

(2)如果某用户月通话时长为200分钟，则他选择哪个套餐会更划算？

【答案】(1)答案见解析

(2)他选择套餐二会更划算

【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求函数值

【分析】（1）根据题意直接进行求解即可；

（2）运用代入法进行求解判断即可.

【详解】（1）设通话时长为x（分）

设套餐一话费与月通话时长之间的函数关系yfx，

由题意可知：yfx0.4xx0；

设套餐二话费与月通话时长之间的函数关系ygx，

40,0x10040,0x100

由题意可知：ygx；

40x1000.2,x1000.2x20,x100

（2）如果某用户用套餐一，当用户月通话时长为200分钟，

他的话费为f2000.420080元；

如果某用户用套餐二，当用户月通话时长为200分钟，

他的话费为g2000.22002060元，

显然8060，因此他选择套餐二会更划算.

1．（2024福建）已知函数yf(x)在1,2上的图像如图，则函数单调递增区间为（）

A．B．C．1,2D．

【答案】−B�,��,��,�

【知识点】定义法判断或证明函数的单调性

【分析】根据函数单调性与图象的关系进行判断即可．

【详解】若函数单调递增，则对应图象为上升趋势，

由图可知：yf(x)的单调递增区间为0,1.

故选：B．

2．（2023广西）函数yx1x5的最大值为（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】D

【知识点】利用函数单调性求最值或值域

【分析】根据函数单调性求出最大值.

【详解】因为yx是单调增函数，

又因为x1,5,所以z5,ymax5.

故选：D.

9

3．（2024湖南）已知函数fxxx0，则fx的最小值是（）

x

A．2B．3C．6D．10

【答案】C

【知识点】利用函数单调性求最值或值域

【分析】方法一：运用基本不等式可求得最小值.

方法二：求出函数fx在(0,)上的单调性，根据单调性判断函数的最值.

99

【详解】方法一：当x0时，fxx2x6，

xx

9

所以fxxx0得最小值是6.

x

9

方法二：因为函数fxxx0在(0,3)上单调递减，在(3,)上单调递增，

x

所以fminxf(3)336.

故选：C

4．（2024北京）下列函数中，存在最小值的是（）

A．fxx1B．fxx22xC．fxexD．fxlnx

【答案】B

【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域

【分析】根据函数的单调性及值域分别判断最小值即可.

【详解】fxx1单调递减值域为R,无最小值，A选项错误；

在,1单调递减，在1,单调递增，当取得最小值，B选项正确；

�

x

�f�x=e�单−调��递增，值域为0,，无最小值，C选项错误�；=�

单调递增，值域为R,无最小值，D选项错误.

�故�选:=B.ln�

5．（2024江苏）若函数f(x)x22bx3在1,上单调递减，则实数b的取值范围是（）

A．1,B．1,C．(,1)D．(,1)

【答案】B

【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围

【分析】由二次函数的性质直接求得答案.

2b

【详解】函数f(x)x22bx3开口向下，对称轴为xb，

21

由于函数f(x)x22bx3在1,上单调递减，

所以b1，解得b1，

故选：B.

2

6．（2023云南）已知函数fxx2x,x2,5，则函数的最大值为（）

A．15B．10C．0D．1

【答案】A

【知识点】求二次函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域

【分析】根据给定函数的单调性，求出在指定区间上的最大值作答.

22

【详解】函数f(x)x2x在[2,5]上单调递增，则f(x)maxf(5)52515，

所以函数f(x)的最大值为15.

故选：A

7．（2023安徽）下列函数中，对任意x1,x2(0,)且x1x2，同时满足性质：（1）(x1x2)[f(x1)f(x2)]0；

xxf(x)f(x)

（2）f(12)12的函数是（）

22

1

A．f(x)2x1B．f(x)

x

C．f(x)x2D．f(x)ex

【答案】B

【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、函数新定义、定义法判断或证明函数的单调性

【分析】根据性质（1）可得fx在0,上单调递减，从而排除AD；根据性质（2）可得fx的图像在

0,上是凹形曲线，从而排除C，再检验B选项即可得解.

【详解】对于AD，因为对任意x1,x2(0,)且x1x2，(x1x2)[f(x1)f(x2)]0，

不妨设0x1x2，则x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，

所以fx在0,上单调递减，

而f(x)2x1与f(x)ex在0,上单调递增，故AD错误；

x1x2f(x1)f(x2)

对于BC，因为对任意x,x(0,)且x1x2，f()，

1222

所以fx的图像在0,上是凹形曲线，

而f(x)x2的图像在0,上是凸形曲线，故C错误；

1

而f(x)的图像在0,上是凹形曲线，同时在0,上单调递减，故B正确.

x

故选：B．

4

8．（2022贵州）已知函数f(x)x，若f(x)m对任意x[1,4]恒成立，则实数m的取值范围为（）

x

A．(,3)B．(,3]C．(3,)D．[3,)

【答案】D

【知识点】函数不等式恒成立问题

4

【分析】先判断出f(x)x在x[1,4]单调递增，求出f(x)，即可求出实数m的范围.

xmax

4

【详解】因为yx在x[1,4]单调递增，y在x[1,4]单调递增，

x

4

所以f(x)x在x[1,4]单调递增.

x

4

所以f(x)f(4)43.

max4

因为f(x)m对任意x[1,4]恒成立，所以mf(x)max3.

故选：D

9．（多选）（2023浙江）下列函数在,0上是减函数的是（）

1

A．yxB．yxC．yD．yx21

x

【答案】BCD

【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性

【分析】由各选项对应函数在,0上的单调性判断正误即可.

【详解】A选项，函数yx为在R上递增函数，故A错误；

B选项，函数yx在,0上单调递减，在0,上单调递增，故B正确；

1

C选项，函数y在,0，0,上单调递减，故C正确；

x

D选项，函数yx21在,0上单调递减，在0,上单调递增，故D正确.

故选：BCD

2

10．（2024福建）若函数fxxkx20在区间2,上单调递增，则k的取值范围是．

【答案】,4

【知识点】由函数在区间上的单调性求参数

kk

【分析】求得抛物线的对称轴方程为x，可得2，求解即可.

22

kk

【详解】由题意得抛物线的对称轴方程为x

22

∵函数f(x)x2kx20在[2,)上单调递增，

k

∴2，∴k4，则k的取值范围为(,4].

2

故答案为：(,4]

23

11．（2023山西）设函数fxx1，对任意x1,,mfx1x1恒成立，则实数m的取

m

值范围是．

【答案】1,03,

【知识点】函数不等式恒成立问题

【分析】

3x13

变换得到m，计算yt2t的最大值得到m2，解得答案.

mx2m

【详解】

323x1

原不等式可化为mxx1，x1,，则m，

mmx2

13

令tx1，则0t1，因为yt2t最大值为2，所以m2，

xm

m22m3

即0，解得m1,03,.

m

故答案为：1,03,.

9

12．（2022浙江）已知1a9，函数f(x)x，存在x1[1,a]，使得对任意的xa,9，都有

x2

fx1fx280，则a的取值范围是．

【答案】47a9

【知识点】函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题

【分析】将题意转化为，结合可得，再根据函数的单

fx1maxfx2min80fx1maxf110fx2min8

调性，分1<a£3和3a9两种情况讨论求解即可.

9

【详解】根据对勾函数的性质，函数fxx在0,3上单调递减，在3,上单调递增.且

x

9

f1f910.又fxx在1,9上恒为正，且存在x1[1,a]，使得对任意的xa,9，都有

x2

，故，因为，故只需即可

fx1fx280fx1maxfx2min80fx1maxf110fx2min8.

（）当<£时，不成立；

11a3fx2minf368

992

（2）当3a9时，fxfaa，故a8，即a28a90，a47，解得47a9.

2minaa

综上有47a9.

故答案为：47a9.

13．（2024北京）已知fx是定义在R上的函数．

fx2fx1

如果对任意的x1,x2，当x1x2时，都有01，则称fx缓慢递增．

x2x1

fx2fx1

如果对任意的x1,x2，当x1x2时，都有10，则称fx缓慢递减．

x2x1

(1)已知函数fxkxb缓慢递增，写出一组k,b的值；

(2)若fx缓慢递增且f12，直接写出f2024的取值范围；

(3)设gxfxx，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，从结论①、结论②中选择一个作为结

论，构成一个真命题，并说明理由．

条件①：fx缓慢递增；条件②：fx单调递增．

结论①：gx缓慢递减；结论②：gx单调递减．

1

【答案】(1)k,b0

2

(2)2,2025

(3)条件①和结论①为真命题，条件①和结论②为真命题，答案见解析

【知识点】函数新定义、定义法判断或证明函数的单调性

【分析】（1）根据缓慢递增函数定义，代入可求得0k1,b为任意值，即可求解；

（2）根据缓慢递增函数定义，代入可求得f2024的取值范围；

（3）先确定条件条件①：fx缓慢递增；根据缓慢递增函数定义可确定结论①：gx缓慢递减，根据

条件条件①：fx缓慢递增，根据缓慢递增函数定义可确定结论①：gx单调递减.若fx单调递增不

fx2fx1

妨设fx3x，代入20，可得两结论都不满足.

x2x1

【详解】（1）已知fxkxb是定义在R上的缓慢递增，

fx2fx1kx2bkx1b

如果对任意的x1,x2，当x1x2时，都有01，

x2x1x2x1

1

则可得0k1,b为任意值，所以可得k,b0；

2

（2）若fx缓慢递增且f12，

f2024f1

根据定义可得01，将已知代入化简可得2f20242025，

20241

所以f2024的取值范围为2,2025

（3）若选择条件①和结论①，构成的真命题为如果fx缓慢递增，那么gx缓慢递减．

理由如下：因为fx在R上缓慢递增，

fx2fx1

所以对任意的x1,x2，当x1x2时，都有01．

x2x1

因为gxfxx，

gxgxfxxfxxfxfx

所以212211211．

x2x1x2x1x3x1

gxgx

所以1210．

x2x1

所以gx在R上缓慢递减．

若选择条件①和结论②，构成的真命题为如果fx缓慢递增，那么gx单调递减．

理由如下：

因为fx在R上缓慢递增，

fx2fx1

所以对任意的x1,x2，当x1x2时，都有01．

x2x1

因为gxfxx，

gxgxfxxfxxfxfx

所以212211211．

x2x1x2x1x2x1

gxgx

所以210．

x2x1

所以gx在R上单调递减．

而条件②：fx为单调递增函数，

不妨设fx3x，则gxfxx2x，

gxgx2x2x

根据题意代入212121，不满足新的定义，

x2x1x2x1

所以fx为单调递增函数不能推出gx缓慢递减；也不能推出gx单调递减.

【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：

（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；

（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；

（3）将已知条件代入新定义的要素中；

（4）结合数学知识进行解答.

14．（2023新疆）用定义证明函数f(x)2x3在R上的单调性，并求在x1,2上的最值.

【答案】证明见解析，f(x)max7，f(x)min5

【知识点】利用函数单调性求最值或值域、定义法判断或证明函数的单调性

【分析】取x1x2，计算f(x1)f(x2)0得到证明，再根据函数的单调性计算最值得到答案.

【详解】任取x1x2，则x1x20.

f(x1)f(x2)(2x13)(2x23)2(x1x2)0，即f(x1)f(x2)，

故函数f(x)2x3在R上是增函数，

x1,2，故f(x)maxf27，f(x)minf15.

2

15．（2022天津）已知函数fxx4axa，其中aR.

(1)若f14，求a的值；

(2)当a1时，

（i）根据定义证明函数fx在区间2,上单调递增；

fx,x0

（ii）记函数gx，若gb3gb3，求实数b的值.

fx8x,x0

【答案】(1)1

35

(2)（i）证明见解析；（ii）b0或b

2

【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、分段函数的性质及应用、已知函数值求自变量或参数

【分析】（1）根据函数值直接代入求参即可；

＞＞

（2）（i）任取x1,x22,，且x1x2，从而证明fx1fx2即可；

（ii）根据题意研究该分段函数单调性，根据gb3gb3分类讨论求值即可.

2

【详解】（1）因为函数fxx4axa，所以f114aa4，

解得a1，所以a的值为1

2

（2）当a1时，fxx4x1，

＞

（i）任取x1,x22,，且x1x2，

2222

则fx1fx2x14x11x24x21x1x24x2x1

x1x24x1x2，

＞＞＞,＞

因为x1x22，所以x1x240x1x20，

＞＞

所以fx1fx20，即fx1fx2，

所以函数fx在区间2,上单调递增

x24x1,x0

（）由题意得，，

iigx2

x4x1,x0

函数在,2和2,单调递增，在2,0和0,2单调递减，

作出函数图像如下图所示，

若gb3gb3，显然b3＞b，

①b3＞b0，即b0时，

2

b34b31b24b13，解得b0，符合题意；

②0＞b3＞b，即b＜3时，

2

b34b31b24b13，解得b3，不符合题意；

③b30＞b，即3b＜0时，

2

b34b31b24b13，即b23b10，

35

解得b，均符合题意.

2

35

综上所述，b0或b

2

2

16．（2023浙江）已知函数f(x)xax1.

(1)当a2时，判断f(x)在R上的单调性；

(2)记f(x)在R上的最小值为g(a)，写出g(a)的表达式并求g(a)的最大值.

【答案】(1)fx在,1上单调递减，在1,上单调递增.

a2

a,a2

，

(2)g(a)4gamax1

1a2

【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、分段函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域

【分析】（1）讨论分段函数中二次函数的对称轴与1的大小关系即可得到答案.

（2）分a2，2a2和a2讨论即可.

2

aa2

xa,x1

x2axa,x124

【详解】（）f(x)，即f(x)

122

xaxa,x1aa2

xa,x1

24

aa

当a2时，1，1，

22

则函数fx在,1上单调递减，在1,上单调递增，

x2axa,x1

（），，

2aRf(x)2

xaxa,x1

aa

当1，即a2时，1，

22

aa

函数fx在,,1,上单调递减，

22

aa

在,1,,上单调递增，

22

aa2aa2aa

fa，fa，ff，

242422

aa2

g(a)fa，

24

aa

当1且1，即2a2时，

22

aa

函数fx在,上单调递减，在,上单调递增，

22

aa2

g(a)fa，

24

aa

当1，即a2时，1，

22

函数fx在(,1)上单调递减，在1,上单调递增，

所以gaf11，

a2

a,a2

综上g(a)4，

1a2

12

当a2时，gaa211，

4

所以

gamax1.

【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是讨论二次函数的对称轴与分界点1的关系，同时要注意在最后得

到ga的表达式之后，还需继续求出其最大值.

2

17．（2023浙江）已知函数fxxx2xa，其中aR.

(1)当a0时，求fx的单调区间；

fx1fx2

(2)若对任意的x1,x20,3，且x1x2，都有1成立，求实数a的取值范围.

x1x2

11

【答案】(1)单调递减区间为0,，单调递增区间为,0