备战2026年高考数学真题分类汇编（全国）专题01 集合与常用逻辑用语（解析版）

专题01集合与常用逻辑用语

1,xP,

1．（2023北京）已知集合P2,4,6,8，定义函数fx则f2f3（）

1,xP.

A．2B．0C．1D．2

【答案】B

【知识点】判断元素与集合的关系、求分段函数解析式或求函数的值

【分析】由2P，3P，结合分段函数的解析式可得答案.

【详解】由题意可知2P，3P，

所以f(2)f(3)1(1)0，

故选：B.

2．（2023黑龙江）方程x2x的所有实数根组成的集合（）

A．0B．1C．0,1D．

【答案】C

【知识点】列举法表示集合

【分析】求解一元二次方程的根组成的集合

【详解】解方程x2x，得x0或x1，

方程x2x的所有实数根组成的集合为0,1.

故选：C

3．（2021广西）若1a,2,3，则a（）

A．0B．1C．4D．5

【答案】B

【知识点】根据元素与集合的关系求参数

【分析】由元素与集合的关系即可得出答案.

【详解】因为1a,2,3，则a1.

故选：B.

4．（2023河北）下列各组对象不能构成集合的是（）

A．所有直角三角形B．抛物线y=x2上的所有点

C．某中学高一年级开设的所有课程D．充分接近3的所有实数

【答案】D

【知识点】判断元素能否构成集合

【分析】根据集合所具有的性质逐一判断即可得出结论.

【详解】A，B，C中的对象具备互异性、无序性、确定性，而D中的对象不具备确定性．

故选：D．

5．（2022江苏）已知集合Ax|x5,xZ，则A中元素个数为（）

A．8B．9C．10D．11

【答案】B

【知识点】列举法求集合中元素的个数

【分析】由列举法即可判断

【详解】A4,3,2,1,0,1,2,3,4，共有9个元素.

故选：B

6．（2022广西）已知M是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M可表示为（）

A．{x|x=1}B．{x|x=2}C．{1，2}D．{1，2，3}

【答案】D

【知识点】列举法表示集合

【分析】根据集合的知识确定正确选项.

【详解】由于集合M是由1,2,3三个元素构成，

所以M1,2,3.

故选：D

7．（2020广西）设M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合M等于（）

A．{长江，黄河}B．{长江，黑龙江}

C．{长江，珠江}D．{长江，黄河，黑龙江，珠江}

【答案】D

【知识点】列举法表示集合

【分析】根据集合的概念及表示即得.

【详解】∵M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，

∴M={长江，黄河，黑龙江，珠江}.

故选：D.

8．（2023河北）设集合A1,2,3，B4,5，Mxxab,aA,bB，则M中的元素个数为．

【答案】4

【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数

【分析】求出所有ab的值，根据集合元素的互异性可判断个数.

【详解】因为集合M中的元素xab，aA，bB，所以当b4时，a1，2，3，此时x5，6，7．当

b5时，a1，2，3，此时x6，7，8．

根据集合元素的互异性可知，x5，6，7，8．即M5,6,7,8，共有4个元素．

故答案为：4．

9．（2023上海）“notebooks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是

【答案】7

【知识点】集合元素互异性的应用、利用集合中元素的性质求集合元素个数

【分析】根据集合中元素的互异性知集合中不能出现相同的元素.

【详解】根据集合中元素的互异性，“notebooks”中的不同字母为“n，o，t，e，b，k，s”，共7个，故该集

合中的元素个数是7；

故答案为：7.

*

10．（2023高北京）已知数集A含有n（nN*）个元素，定义集合Axyx,yA．

(1)若A1,2,3，写出A*；

(2)写出一个集合A，使得AA*；

*

(3)当n4时，是否存在集合A，使得A2,3,4,6,7,8,10？若存在，写出一个符合条件的集合A；若不存

在，说明理由．

【答案】(1)2,3,4,5,6

(2)0

(3)不存在，理由见解析.

【知识点】判断元素与集合的关系、集合新定义

【分析】（1）根据集合的新定义，写出A中元素即可得解；

（2）根据条件分析集合中元素即可得解；

（3）根据题意可得不存在，利用反证法证明即可.

*

【详解】（1）因为A1,2,3，Axyx,yA，

所以112,123,134,224,235,336为A中元素，

故A*xyx,yA2,3,4,5,6.

*

（2）取A0，此时Axyx,yA0，

满足AA*.

*

（3）当n4时，不存在集合A，使得A2,3,4,6,7,8,10.

（反证法）

*

假设n4时，存在集合A，使得A2,3,4,6,7,8,10，

不妨设A{a,b,c,d}，且abcd，

则2aabacbcbdcd2d，

所以2a,ab,ac,bc,bd,cd,2d为A*中7个不同的元素，

所以2a2,ab3,ac4,bc6,bd7,cd8,2d10，

由2a2,ab3,ac4解得a1,b2,c3.

此时，bc5A与5A矛盾，

所以假设不成立，

故不存在这样的集合A.

2

1．（2023重庆）设aR，集合Axxx20，Bxylnxa，BA，则a的取值范围是（）

A．,1B．1,C．2,D．2,

【答案】C

【知识点】根据集合的包含关系求参数、求对数函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式

【分析】求出集合A、B，利用集合的包含关系可求得实数a的取值范围.

【详解】因为Axx2x20xx1或x2，Bxylnxaxxa，

又因为BA，则a2.

故选：C.

ðð2

2．（2023广东）已知UMUM，设集合M1,3，UM=xZx<9，则（）

A．1U​B．{3,1}U​

C．2,3}U​D．{1,3}U​

【答案】D

【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系

【分析】先求出全集U，从而判断四个选项的正误，可得答案.

ð2，，，，

【详解】由题意，UM=xZx<9={21012},

ð，，，，，，，，，，

得U=MUM={13}21012={210123},

故1U，A错误；3U,故B错误，

2,3}U，故2,3}U属于集合间符号使用不正确，C错误，

{1,3}U,D正确，

故选：D

3．（2022浙江）已知集合M3,4,Nx∣x3xa0,aR，若M=N，则a（）

A．3B．4C．3D．4

【答案】D

【知识点】根据两个集合相等求参数

【分析】依题意可得3N，且4N，即可得到x3和x4为方程x3xa0的两个实数根，从而得

解；

【详解】解：因为M3,4且M=N，

所以3N，且4N，

又Nx∣x3xa0,aR，

所以x3和x4为方程x3xa0的两个实数根，

所以a4；

故选：D

1．（2024福建）集合A1,2,3,4，B0,1,2，则AB（）

A．0,1B．1,2C．2,3D．3,4

【答案】B

【知识点】交集的概念及运算

【分析】由交集的运算求解即可；

【详解】由题意可得AB1,2，

故选：B.

ð

2．（2022河北）设全集U1,0,1,2，集合M0,2，则UM（）

A．1,0,1B．1,2C．1,0D．1,1

【答案】D

【知识点】补集的概念及运算

【分析】直接由补集的定义即可求解.

ð

【详解】若全集U1,0,1,2，集合M0,2，则UM1,1.

故选：D.

22

3．（2024江苏）已知集合Ax,yxy4,Bx,yy2cosx，则AB的真子集个数为（）

A．5个B．6个C．7个D．8个

【答案】C

【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、交集的概念及运算、余弦函数图象的应用、由标准方程确

定圆心和半径

【分析】作出几何图形，确定AB的元素个数即可得解.

【详解】集合A{(x,y)|x2y24}是坐标平面内，以原点为圆心，2为半径的圆上的点的集合，

集合B{(x,y)|y2cosx}是坐标平面内，函数y2cosx图象上的点的集合，

在同一坐标系内作出圆x2y24及函数y2cosx的部分图象，如图，

观察图象知，圆x2y24及函数y2cosx的图象有3个公共点，

所以AB有3个元素，共有2317个真子集.

故选：C

2

4．（2024安徽）已知集合M1,0,1,2,3,Nxx2x30，则MN（）

A．1,0,1B．1,0,1,2,3

C．0,1,2D．1

【答案】C

【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式

【分析】先解一元二次不等式，再结合交集求解.

【详解】因为Nxx22x30x1x3，

所以MN0,1,2.

故选：C.

xm

5．（2024云南）已知集合A1,0,1,2,3,Bx93,mR,xR，若AB有且仅有3个不同元素，

则m的值可以为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】A

【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、由指数函数的单调性解不等式

【分析】先求出集合B，然后结合集合的交集运算即可求解．

1

【详解】因为集合A1,0,1,2,3,Bx9x3m,mR,xRxxm，

2

若AB有且仅有3个不同元素，则这3个元素为3，2，1，

1

1m

2

故，即0m2．故m可取1，

1

0m

2

故选：A．

ð

6．（2024浙江）设全集U{0,1,2,4}，A{1,4}，则UA（）

A．{0,4}B．{0,2}C．{1,2}D．{2,4}

【答案】B

【知识点】补集的概念及运算

【分析】根据补集的定义计算可得.

【详解】因为U{0,1,2,4}，A{1,4}，

ð

所以UA{0,2}.

故选：B

7．（2024湖南）已知集合M1,0,1,2，N0,2,4，若MNa,2，则a（）

A．0B．1C．2D．4

【答案】A

【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数

【分析】根据集合的交集求解即可.

【详解】因为M1,0,1,2，N0,2,4，

所以MN{0,2}a,2，故a0.

故选：A

8．（2024广东）已知集合A{2,5,7},B{1,2,5}，则AB=（）

A．{2,5}B．{2,5}C．{2}D．{1,2,7}

【答案】A

【知识点】交集的概念及运算

【分析】根据交集概念求出答案.

【详解】AB2,5,71,2,52,5.

故选：A

B1,3,7ð

9．（2023新疆）设全集U1,3,5,7，集合A3,5，，则A(UB).

【答案】3,5

【知识点】交并补混合运算

ð

【分析】确定UB5，再计算并集得到答案.

B1,3,7ð

【详解】U1,3,5,7，，则UB5，

ð

A3,5，则A(UB)3,5.

故答案为：3,5.

xm

10．（2023河北）已知集合AxR|x2<3，集合BxR|<0，且AB1,n，则

x2

m，n．

【答案】11

【知识点】根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式

【分析】根据不等式解法可解得集合A,B，再利用交集结果以及一元二次不等式与一元二次方程的关系即

可求得m,n的值.

【详解】由AxR|x2<3可得Ax|-5x1；

xm

由BxR|<0可得Bx|xmx2<0

x2

∵AB1,n，∴1是方程xmx20的根，

则1m0，可得m1

∵Bx1x2，∴AB1,1，

则n1．

故答案为：1，1

1

11．（2022广东）已知集合A{x|3x2}，Bx|2x8，Cx|2a1xa5．

2

(1)求AB；

(2)若BCB，求a的取值范围．

【答案】(1)AB{x|1x2}

(2)[2,0]

【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、由指数函数的

单调性解不等式

【分析】（1）解指数不等式，确定集合B，即可得出答案；

（2）由BCB得出BC，列式求解即可.

1

【详解】（1）2x8212x231x3，

2

所以B{x|1x3}，又A{x|3x2}，

所以AB{x|1x2}.

（2）∵BCB，∴BC，

由（1）得B{x|1x3}，又Cx|2a1xa5，

2a11

∴a53，解得2a0，

2a1a5

∴a的取值范围为[2,0].

12．（2023北京）给定正整数k2，设集合Mx1,x2,,xkxi0,1,i1,2,,k．对于集合M的子集

A，若任取A中两个不同元素y1,y2,,yk，z1,z2,,zk，有y1y2ykz1z2zk，且y1z1，

y2z2，…，ykzk中有且只有一个为2，则称A具有性质P．

(1)当k2时，判断A1,0,0,1是否具有性质P；（结论无需证明）

(2)当k3时，写出一个具有性质P的集合A；

(3)当k4时，求证：若A中的元素个数为4，则A不具有性质P．

【答案】(1)A不具有性质P；

(2)A1,1,0,1,0,1；

(3)证明见解析.

【知识点】集合的应用、集合新定义

【分析】（1）根据题设新定义即可判断；

（2）根据定义即可写出；

（3）若A中的元素个数为4，假设A具有性质P，设y1y2y3y4z1z2z3z4m，然后根据条件

推出矛盾，进而即得.

【详解】（1）根据题设定义可知A1,0,0,1不具有性质P；

（2）当k3时，A1,1,0,1,0,1，110101，且11，10，0+1中有且只有一个为2，满足性

质P；

（3）当k4时，若A中的元素个数为4，假设A具有性质P，

即任取A中两个不同元素y1,y2,y3,y4，z1,z2,z3,z4，

有y1y2y3y4z1z2z3z4，①

y1z1，y2z2，y3z3，y4z4中有且只有一个为2．②

设y1y2y3y4z1z2z3z4m；则m0,1,2,3,4．

当m1时，由①得A1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1，不满足②，矛盾．

当m2时，由①得A1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1，

由②得1,1,0,0与0,0,1,1不同时在A中；1,0,1,0与0,1,0,1不同时在A中；1,0,0,1与0,1,1,0不同时

在A中，所以A中元素个数至多为3，矛盾．

当m3时，由①得A1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1，不满足②，矛盾．

当m0或m4时，不满足A中的元素个数为4，矛盾．

所以假设不成立，即A不具有性质P．

【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进

行再迁移.

2x2

13．（2023河北）已知全集Uxx4，集合Axx2x30，Bx0．求：

x2

(1)AB；

ð

(2)UAB．

【答案】(1)ABx1x2

ð

(2)UABx|x2或3x4

【知识点】交集的概念及运算、交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式

【分析】（1）根据不等式的运算得出集合A与B，再根据集合的交集运算得出答案；

（2）根据集合的交并补混合运算直接得出答案.

2

【详解】（1）由x2x3x3x10，可得1x3，

所以Ax1x3．

x2

由0可得，x2x20且x20，解得2x2，

x2

所以Bx2x2，

所以ABx1x2．

ð

（2）因为UAxx1或3x4，

ð

所以UABx|x2或3x4.

1．（2024北京）已知xR，则“x4”是“x1”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【知识点】判断命题的充分不必要条件

【分析】判断两个命题的关系，当pq时，p是q充分条件；当pq时，p是q不充分条件；当qp

时，p是q必要条件；当qp时，p是q不必要条件.

【详解】当x4时，x421，∴“x4”是“x1”充分条件；

当x1时，x1，此时x3满足要求，而34，故x4不一定成立，∴“x4”是“x1”不必要条件.

故选：A.

2．（2023高三上·广西）下列命题中，含有存在量词的是（）

A．存在一个直角三角形三边长均为整数B．所有偶函数图象关于y轴对称

C．任何梯形都不是平行四边形D．任意两个等边三角形都相似

【答案】A

【知识点】判断命题是否为特称（存在性）命题

【分析】根据存在量词的含义判断即可.

【详解】“存在”、“有一些”、“某些”等等，这些叫做存在量词.

故选：A.

3．（2023安徽）设命题p:aR，a212a，则p的否定是（）

A．aR,a212aB．aR,a212a

C．aR,a212aD．aR,a212a

【答案】A

【知识点】全称命题的否定及其真假判断

【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解.

【详解】p的否定是:aR,a212a,

故选：A

4．（2023吉林）“x2”是“x24”的（）

A．充分必要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【知识点】判断命题的充分不必要条件

【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断即可.

【详解】因为x2可以推出x24，即充分性成立；

但x24不能推出x2，例如x2，即必要性不成立；

综上所述：“x2”是“x24”的充分不必要条件.

故选：B.

1

5．（2023浙江）已知a为实数，则“x0，ax2”是“a1”的（）

x

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求和的最小值、充要条件的证明

【分析】利用分离参数法求出a的取值范围判断充分性，利用基本不等式反推必要性成立即可.

1121

【详解】若x0,ax2,则a(1)21,

xx2xx

当x1时，不等式的右边取得最大值1，故a1,充分性成立；

1

若a1,则x0时,ax2a2,当且仅当xa1时取等，

x

11

即ax2恒成立，因此，由a1可以推出"x>0,ax2，故必要性成立.

xx

1

综上所述，x0,ax2是a1的充要条件.

x

故选：C.

6．（2024福建）命题“xR,x|x|0”的否定是（）

A．xR,x|x|0B．xR,x|x|0C．xR,x|x|0D．xR,x|x|0

【答案】D

【知识点】全称命题的否定及其真假判断

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可.

【详解】命题“xR,x|x|0”为全称量词命题，

其否定为：xR,x|x|0.

故选：D

9

7．（2024浙江）命题“x0，x6”的否定是（）

x

99

A．x00，x06B．x00，x06

x0x0

99

C．x00，x06D．x00，x06

x0x0

【答案】D

【知识点】全称命题的否定及其真假判断

【分析】根据全称量词命题的否定形式直接求解即可.

【详解】全称量词命题：xM,p(x)，它的否定为：xM,p(x).

99

所以命题“x0,x