河北省邢台市内丘中学等五校2025年数学高二上期末统考试题含解析

河北省邢台市内丘中学等五校2025年数学高二上期末统考试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知a、b是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若a∥α，a∥b，则b∥α B.若a∥α，a∥β，则α∥βC.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β D.若a⊥α，b⊥α，则a∥b2．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为A. B.C. D.3．已知点，和直线，若在坐标平面内存在一点P，使，且点P到直线l的距离为2，则点P的坐标为（）A.或 B.或C.或 D.或4．若数列是等差数列，其前n项和为，若，且，则等于（）A. B.C. D.5．在等比数列中，是和的等差中项，则公比的值为（）A.－2 B.1C.2或－1 D.－2或16．已知点为双曲线的左顶点，点和点在双曲线的右分支上，是等边三角形，则的面积是A. B.C. D.7．已知，，且，则向量与的夹角为（）A. B.C. D.8．已知数列中，且满足，则（）A.2 B.﹣1C. D.9．若是函数的一个极值点，则的极大值为（）A. B.C. D.10．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴广交会的四个不同地方服务，不同的分配方案有（）种A.· B.·C. D.11．函数，则不等式的解集是（）A. B.C. D.12．函数，则的值为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线与双曲线交于两点，则该双曲线的离心率的取值范围是______14．已知函数，若有两个零点，则的范围是______15．在等比数列中，已知，则__________16．若，，，四点中恰有三点在椭圆上，则椭圆C的方程为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，.（1）求点到直线的距离（2）求平面与平面夹角的余弦值.18．（12分）北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.19．（12分）已知椭圆过点，且离心率，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）判断是否存在直线，使得直线与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，且满足，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.20．（12分）如图，在长方体中，底面是正方形，O是的中点，（1）证明：（2）求直线与平面所成角的正弦值21．（12分）如图，在三棱锥中，已知△ABC和△PBC均为正三角形，D为BC的中点（1）求证：平面；（2）若，，求三棱锥的体积22．（10分）已知函数，且a0（1）当a=1时，求函数f(x)的单调区间；（2）记函数，若函数有两个零点，①求实数a的取值范围；②证明：

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据空间线、面的位置关系有关定理，对四个选项逐一分析排除，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，直线有可能平面内，故A选项错误.对于B选项，两个平面有可能相交，平行于它们的交线，故B选项错误.对于C选项，可能相交，故C选项错误.根据线面垂直的性质定理可知D选项正确.故选:D.2、B【解析】设，解集为所以二次函数图像开口向下，且与交点为，由韦达定理得所以的解集为，故选B.3、C【解析】设点的坐标为，根据，点到直线的距离为，联立方程组即可求解.【详解】解：设点的坐标为，线段的中点的坐标为，，∴的垂直平分线方程为，即，∵点在直线上，∴，又点到直线：的距离为，∴，即，联立可得、或、，∴所求点的坐标为或，故选：C4、B【解析】由等差数列的通项公式和前项和公式求出的首项和公差，即可求出.【详解】设等差数列的公差为，则解得：，所以.故选：B.5、D【解析】由题可得，即求.【详解】由题意，得，所以，因为，所以，解得或.故选：D.6、C【解析】设点在轴上方，由是等边三角形得直线斜率.又直线过点，故方程为.代入双曲线方程，得点的坐标为.同理可得，点的坐标为.故的面积为,选C.7、B【解析】先求出向量与的夹角的余弦值，即可求出与的夹角.【详解】，所以，∴，∴，∴，又∵，∴与的夹角为.故选：B.8、C【解析】首先根据数列的递推公式求出数列的前几项，即可得到数列的周期性，即可得解；【详解】解：因为且，所以，，，所以是周期为的周期数列，所以，故选：C9、D【解析】先对函数求导，由已知，先求出，再令，并判断函数在其左右两边的单调性，从而确定极大值点，然后带入原函数即可完成求解.【详解】因为，，所以，所以，，令，解得或，所以当，，单调递增；时，，单调递减；当，，单调递增，所以的极大值为故选：D10、B【解析】先按要求分为四组，再四个不同地方，四个组进行全排列.【详解】两个组各2人，两个组各1人，属于部分平均分组，要除以平均分组的组数的全排列，故分组方案有种，再将分得的4组，分配到四个不同地方服务，则不同的分配方案有种.故选：B11、A【解析】利用导数判断函数单调递增，然后进行求解.【详解】对函数进行求导：，因为，，所以，因为，所以f(x)是奇函数,所以在R上单调递增，又因为，所以的解集为.故选：A12、B【解析】求出函数的导数，代入求值即可.【详解】函数,故，所以，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析可知，由可求得结果.【详解】双曲线的渐近线方程为，由题意可知，.故答案为：.14、【解析】利用导数求出函数的最小值，结合函数的图象列式可求出结果.【详解】,当时，，在上为增函数，最多只有一个零点，不符合题意；当时，令，得，令，得，所以在上为减函数，在上为增函数，所以在时取得极小值为，也是最小值，因为当趋近于正负无穷时，都是趋近于正无穷，所以要使有两个零点，只要，即就可以了.所以的范围是故答案为：.15、32【解析】根据已知求出公比即可求出答案.【详解】设等比数列的公比为，则，则，所以.故答案为：32.16、【解析】由于，关于轴对称，故由题设知C经过，两点，C不经过点，然后求出a，b，即可得到椭圆的方程.【详解】解：由于，关于轴对称，故由题设知经过，两点，所以.又由知，不经过点，所以点在上，所以.因此，故方程为.故答案为：.【点睛】求椭圆的标准方程有两种方法：①定义法：根据椭圆的定义，确定，的值，结合焦点位置可写出椭圆方程②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出，；若焦点位置不明确，则需要分焦点在轴上和轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）由直棱柱的性质及勾股定理求出△各边长，应用余弦定理求，进而可得其正弦值，再求边上的高即可.（2）以为原点，，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，然后求出两个平面的法向量，然后可算出答案.【小问1详解】如图，连接，由题设，，，，由直棱柱性质及，在中，在中，在中，在中，所以在△中，，则，所以到直线的距离.【小问2详解】以为原点，，，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系易知：，，，则，因为平面，所以平面的一个法向量为设平面的法向量为，则，取，则，所以，即平面与平面的夹角的余弦值为18、（1）40；（2）a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.【解析】（1）设每件定价为x元,可得提高价格后的销售量，根据销售的总收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；（2）依题意，x>25时，不等式有解，等价于x>25时,有解,利用基本不等式,可以求得a.【详解】（1）设每件定价为t元,依题意得,整理得,解得：25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.（2）依题意知：当x>25时,不等式有解，等价于x>25时,有解.由于,当且仅当,即x=30时等号成立,所以a≥10.2.当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.19、（1）；（2）存在，方程为和.【解析】（1）根据椭圆上的点、离心率和关系可构造方程求得，由此可得椭圆方程；（2）设，与椭圆方程联立可得韦达定理形式，根据共线向量可得，代入韦达定理中可构造关于的方程，解方程可求得，进而得到直线方程.【小问1详解】由题意得：，解得：，椭圆的方程为；【小问2详解】由题意知：直线斜率存在且不为零，可设，，，由得：，则；，，，，，解得：，，满足条件的直线存在，方程为和.20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，令，可得的坐标，再求数量积可得答案；（2）求出平面的法向量、的坐标，由线面角的向量求法可得答案.【小问1详解】在长方体中，以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系不妨令，则，，因为，所以【小问2详解】由（1）可知，，，设平面的法向量，则令，得，设直线与平面所成的角，则.21、（1）证明见解析；（2）.【解析】【小问1详解】因为△ABC和△PBC为正三角形，D为BC的中点，所以,又,所以平面【小问2详解】因为△ABC和△PBC为正三角形，且，所以,又，所以正三角形的面积为，所以.22、（1）函数f(x)在区间(0，+)上单调递减（2）①；②证明见解析【解析】（1）求导，求解可得导函数恒小于等于0,即得证；（