河北省雄安新区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页河北省雄安新区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．椭圆的焦距为（

）A． B． C． D．2．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（

）A． B． C． D．3．已知，，则以线段为直径的圆的方程为（

）A． B．C． D．4．点为直线和直线的交点，为坐标原点，则直线的方程为（

）A． B． C． D．5．“曲线表示椭圆”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知点在平面内，向量为平面的一个法向量，则下列各点不在平面内的是（

）A． B． C． D．7．已知双曲线的虚半轴长为，为双曲线的左焦点，点为双曲线的右支上的动点，点的坐标为，则的最小值为（

）A．8 B．9 C． D．108．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，是的中点，是的中点，过，，三点的平面与相交于点，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知直线,则（

）A．直线的倾斜角为B．原点到直线的距离为C．直线不经过第一象限D．直线的一个方向向量的坐标为10．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面，则（

）

A．若直线是平面和平面的交线，则B．直线与所成角的余弦值为C．平面与平面的夹角的余弦值为D．点到平面的距离为11．已知椭圆的短轴长为，为椭圆的上顶点，过原点的直线与椭圆交于，两点（，不在坐标轴上），记直线，的斜率分别为，，则（

）A．B．C．记直线的斜率为，可得D．记椭圆的右焦点为，可得的周长的取值范围为三、填空题12．已知向量,,若,则.13．已知双曲线（，）的离心率为，则双曲线的离心率为.14．已知点是曲线上的动点，则的取值范围为.四、解答题15．已知直线的方程为.(1)若直线，且直线在轴上的截距为，求直线的方程；(2)若直线，且直线与直线之间的距离为3，求直线的方程.16．如图，在正方体中，是棱的中点，是棱的中点.

(1)证明：；(2)求与平面所成的角的正弦值.17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的点.(1)若点在第一象限内，且，求点的坐标；(2)若，求的面积.18．已知圆，半径为1的圆的圆心在第二象限，圆与两条坐标轴均相切.(1)求圆的标准方程；(2)求圆和圆的公切线的方程；(3)过点的直线与圆交于、两点，直线与圆交于、两点，证明：.19．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,点在双曲线上.(1)求双曲线的标准方程；(2)已知点为双曲线的左、右顶点，直线与双曲线交于两点，直线,分别与直线交于两点.（i）当时，求；（ii）求点与点的纵坐标的比值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《河北省雄安新区2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题》参考答案题号12345678910答案DCBBACBDBCABD题号11答案ACD1．D【分析】由椭圆方程求，即可求解焦距.【详解】由，，有，可得椭圆的焦距为.故选：D.2．C【分析】根据空间点关于坐标轴对称的点的坐标的特点，即可求解.【详解】点关于轴对称的点的坐标，其中横坐标不变，其他2个坐标变为原来的相反数，为.故选：C.3．B【分析】先求出圆心，再应用两点间距离公式得出直径，最后应用圆的标准方程求解.【详解】圆心的坐标为，又由，可得以线段为直径的圆的方程为.故选：B.4．B【分析】求出两条直线的交点后，与原点相连求出该正比例函数的斜率即可.【详解】联立方程,可得点的坐标为,可得直线的方程为.故选：B.5．A【分析】先根据方程是椭圆得出或，再应用充分必要条件定义判断求解.【详解】若曲线表示椭圆，有，可得或，“曲线表示椭圆”可以推出“”，“”不可以推出“曲线表示椭圆”，可得“曲线表示椭圆”是“”的充分不必要条件.故选:A.6．C【分析】设点为平面内任意一点，有，由题意可得，可得x，y，z的关系，将选项分别代入检验，即可得答案.【详解】设点为平面内任意一点，有，所以，可得.选项A：，故在平面内；选项B：，故在平面内；选项C：，故不在平面内；选项D：，故在平面内；故选：C7．B【分析】求出双曲线方程，利用双曲线的性质将转化即可求解.【详解】由双曲线的虚半轴长为，有，可得，可得双曲线的方程为，可得，实轴长为4，

设双曲线的右焦点为，又由双曲线的性质有，故的最小值为9.故选：B.8．D【分析】首先利用向量的线性运算，结合，，，四点共面，求得，再由基底表示，根据向量数量积公式求.【详解】设，由，有，有，有，又由，，，四点共面，有，可得.又由，又由，有.故选：D9．BC【分析】运用直线的倾斜角与斜率的关系，点到直线的距离公式，直线在平面直角坐标系中的位置，直线的方向向量等知识可以逐一解决.【详解】对于A：由直线的斜率为，可得直线的倾斜角为,故A选项错误；对于B：原点到直线的距离为,故B选项正确；对于C：由直线与轴和轴的交点分别为,,可知直线不经过第一象限，故C选项正确；对于D：由,可得向量不是直线的一个方向向量，故D选项错误.故选：BC.10．ABD【分析】应用线面平行判定定理判断A，先应用面面垂直性质定理建立空间直角坐标系，应用异面直线余弦公式计算判断B，应用二面角余弦公式计算判断C，应用点到平面距离计算判断D.【详解】如图，取的中点，连，，由为等边三角形，所以，底面是边长为2的菱形，，为等边三角形，所以，平面平面，平面平面，平面，可得底面，平面平面，平面平面，底面，可得平面.以为坐标原点，向量，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，有，，，，，.对于A选项，由，平面，平面，可得平面，又由平面平面，可得，故A选项正确；对于B选项，由，，有，可得直线与所成角的余弦值为，故B选项正确；对于C选项，设平面的法向量为，由，，有，取，，，可得平面的一个法向量为.设平面的法向量为，由，，有，取，，，可得平面的一个法向量为.可得平面与平面的夹角的余弦值为，故C选项错误；对于D选项，由，可得点到平面的距离为，故D选项正确.故选:ABD.

11．ACD【分析】根据短轴长直接求解判断A；设，，结合点P在椭圆上，利用斜率公式化简求值即可判断BC；记为椭圆的左焦点，连接，，由椭圆的对称性可得的周长的取值范围判断D.【详解】对于A选项，由，可得，故A选项正确；对于B选项，由，，两点关于原点对称，设，，有，可得，有，，有，故B选项错误；对于C选项，由，，有，故选项正确；对于D选项，记为椭圆的左焦点，连接，，由椭圆的对称性，有，又由，可得的周长的取值范围为，故D选项正确.

故选：ACD12．【分析】利用向量共线的性质解决即可.【详解】由,有,可得,,可得.故答案为：.13．【分析】根据离心率的定义，得到，再代入双曲线的离心率公式，即可求解.【详解】由双曲线的离心率为，有，可得，可得双曲线的离心率为故答案为：14．【分析】由题意可知曲线表示的是一个半圆，可表示为点与点两点间的直线的斜率，数形结合求得的取值范围.【详解】曲线可化为，可知曲线表示为以为圆心，1为半径在直线上方的半个圆，又由，可得表示点与点两点间的直线的斜率，当直线与曲线相切时，设直线的方程为，有，解得（舍去）或，设曲线与直线的一个交点为，因为点和点两点间的直线的斜率为，所以，由图形可知的取值范围为，可得的取值范围为.

故答案为：.15．(1)(2)或【分析】（1）由垂直关系可得直线的斜率，结合斜截式方程求解即可；（2）利用平行关系可设直线的方程为，由两条平行线之间的距离公式求解即可.【详解】（1）由直线的斜率为，又由，可得直线的斜率为，

又由直线在轴上的截距为，可得直线过点，

可得直线的方程为，整理为.故直线的方程为.（2）由直线，可设直线的方程为，

又由直线与直线之间的距离为3，有，解得或-16.

故直线的方程为或.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）以为坐标原点，向量，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标关系证明即可；（2）求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解.【详解】（1）不妨设，以为坐标原点，分别以，，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.

，，，，，，，

于是，，

因，

所以.（2）设平面的法向量为，，，则.

故可得.

又由，有，，，

设与平面所成的角为，则.

即与平面所成的角的正弦值为.

17．(1)(2)【分析】（1）设点的坐标为，根据得到，再根据求解即可.（2）根据得到，利用余弦定理得到，再利用三角形面积公式求面积即可.【详解】（1）设点的坐标为（其中，），由，，，可得，.

由，有，可得，

又由点在椭圆上，有.

联立方程解得，，故点的坐标为.（2）由椭圆的性质，有，

又由，可得.

又由，在中，有.

可得.

可得的面积为.18．(1)(2)或或或(3)证明见解析【分析】（1）根据题意可得圆的圆心坐标为，即可写出圆的标准方程；（2）先判断圆和圆相外离，可得圆和圆共有4条公切线，易得轴和轴与圆和圆均相切，再根据直线为圆外一点出发的圆的两条切线的角平分线，求另外两条公切线；（3）设过点的直线的方程为，利用几何法求弦长可证.【详解】（1）由圆与两条坐标轴均相切，圆的圆心在第二象限，半径为1，可得圆的圆心坐标为，故圆的标准方程为.（2）由，，有，又由，可得圆和圆相外离，可得圆和圆共有4条公切线，

又由，，圆和圆的半径分别为1，2，在平面直角坐标系中画出圆和圆的图象，可知轴和轴与圆和圆均相切，直线的方程为，整理为，可得直线与轴的交点为.设直线的倾斜角为，有，有，由于直线为圆外一点出发的圆的两条切线的角平分线，可得圆和圆的另一条公切线的斜率为，可得另一条公切线的方程为，整理为，轴与直线的交点为，可知点在圆和圆的另一条公切线上，设另一条公切线的方程为，整理为，有，解得.

可得另一条公切线方程为，整理为，故圆和圆的公切线的方程为或或或.（3）设过点的直线的方程为，整理为，

点到直线的距离为，点到直线的距离为，可得.

又由，，所以.19．(1)(2)（i）;（ii）【分析】（1）根据渐近线的倾斜角求出其斜率，得到的关系，再将点代入双曲线方程即可；（2）设出点,联立直线与双曲线,写出韦达定理.（i）将代入联立所得的韦达