青海省西宁二中教育集团2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页青海省西宁二中教育集团2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数（其中为虚数单位），则（

）A． B． C． D．2．已知集合，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．43．设，向量，且，则（

）A． B． C． D．4．已知公差不为0的等差数列中，且，则（

）A．30 B． C． D．405．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（

）A．156 B．210 C．211 D．2166．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（

）A． B． C． D．7．已知函数的图象向左平移后所得的函数为奇函数，则的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．88．已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，过作的垂线，并与椭圆交于点，且满足，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知的部分图象如图所示，则（

）A． B．在区间单调递减C．在区间的值域为 D．在区间有个极值点10．如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，设事件为奇数，事件，事件，则（

）

A． B．C． D．11．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论正确的是（

）A．的图象关于直线对称． B．的图象关于点对称．C． D．三、填空题12．若展开式中的常数项为，则实数.13．的内角的对边分别为，已知的周长，则的最大值为.14．已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围是．四、解答题15．某班统计了全班50名同学在某一周内到图书馆借阅次数的相关数据，结果如下表：借阅次数01234567合计男生人数2535512225女生人数4455321125合计人数69810833350若将该周内到图书馆借阅次数不少于3次的学生，称为“爱好阅读生”；少于3次的学生称为“一般阅读生”．(1)请完成以下列联表；问：能否有90％的把握认为爱好阅读与性别有关？性别阅读合计一般爱好男生女生合计附：，．0.10.050.01k2.7063.8416.635(2)班主任从该周内在图书馆借阅次数为0的同学中，一次性随机抽取3人了解有关情况，求抽到的男生人数的概率分布和数学期望．16．如图，在三棱柱中，平面平面，为的中点.(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.17．在等差数列中，；记为数列的前项和，且.(1)分别求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.18．设函数.(1)求的极值；(2)若对任意，有恒成立，求的最大值.19．已知椭圆的焦点为，左、右顶点分别为，点为椭圆上异于的动点，的周长为．(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线交直线于点，连接交椭圆于点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值；答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《青海省西宁二中教育集团2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷》参考答案题号12345678910答案CBDCDADCADABC题号11答案BD1．C【分析】借助复数运算法则结合模长定义计算即可得.【详解】，故.故选：C.2．B【分析】由，分析集合的端点值，知，求解即可【详解】由题意可得，且，解得．故选：B.3．D【分析】由向量垂直得，再利用向量夹角的坐标运算求解即可.【详解】因为，又，所以，得到，所以，得到，所以.故选：D4．C【分析】假设首项和公差，列等式即可求解，再用前n项和公式求解即可.【详解】假设等差数列的首项为，公差为，由且得，因为公差解，所以解得，所以，故选：C.5．D【分析】共有三种情况，3人站一个台阶，或2人站一个台阶另1人站另一个台阶，或3人各站一个台阶，然后根据分类计数加法原理即可求解．【详解】若三人站在一个台阶上，有种站法，若三人站在两个台阶上，有种站法，若三人站在三个台阶上，有种站法，所以，一共有种站法.故选：D.6．A【分析】先利用正弦定理求的外接圆半径，再求点到平面的距离，设三棱锥外接球半径为，根据勾股定理列方程求出，进一步计算球的表面积.【详解】如图：在中，，由余弦定理：,所以，所以外接圆半径为，即.在直角三角形中，，，所以.设棱锥外接球半径为，在直角三角形中，，解得：.所以球的表面积为：.故选：A7．D【分析】平移后的解析式为奇函数得到，求出的最小值.【详解】因为为奇函数，则，所以，又，所以，解得，因为，所以时，取得最小值，最小值为8.故选：D8．C【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合余弦定理求出离心率.【详解】设椭圆半焦距为，如图所示，，

设关于原点对称的点为，则为平行四边形，由，得三点共线，且，设，则，在中，，解得，而，在中，由余弦定理得，，解得，即，所以椭圆的离心率.故选：C9．AD【分析】根据图象求出函数解析式，赋值即可判断A选项，根据解析式求出函数的单调递减区间和值域，可判断B、C选项，借助换元思想可求出函数在区间内的极值点个数，进而判断D选项.【详解】对于A，由图象得，，则，故，此时，将代入函数解析式，得，故，，解得，，因为，所以，此时，则，选项A正确；对于B，令，，解得，，当时，，所以当时，单调递减，当时，单调递增，即在区间上不单调，选项B错误；对于选项C，当时，，所以，即，即在上的值域为，选项C错误；对于选项D，当时，，而，，，，易知在区间内无其他极值点，即当且仅当取时，取得极值，选项D正确.故选：AD.10．ABC【分析】对于AD：根据概率的性质结合古典概型分析求解；对于BC：根据概率性质结合条件概率分析求解.【详解】由题意可知：，可得.对于选项A：因为，则，所以，故A正确；对于选项B：因为，则，可得，所以，故B正确；对于选项C：因为，所以，故C正确；对于选项D：因为，所以，故D错误；故选：ABC.11．BD【分析】对于A，直接得到即可判断；对于B，由为偶函数，所以，求导可得即可判断；对于D，求出的周期为，再根据即可判断；对于C，由题意举出反例即可淘汰.【详解】对于A，因为为奇函数，所以，即，所以的图象关于中心对称，故A错误；对于B，由为偶函数，所以，所以，即，即，则，所以的图象关于中心对称，故B正确；对于D，由，，知，又，，所以，所以，即，所以为周期是的函数，即，故D正确.对于C，由题意及上述分析知是以为周期的函数，且，不妨设，所以，周期均为且，所以，所以C错误；故选：BD.【点睛】关键点点睛：对于选项C，通过举反例的形式淘汰答案，不妨设，所以，所以周期为，且，所以.12．1【分析】求得二项展开式的通项，结合通项求得的值，代入列出方程即可求解.【详解】由二项式展开式的通项为，令，可得，代入通项公式可得，解得.故答案为：1.13．【分析】根据数量积的定义可得，结合余弦定理和周长可得，即可根据基本不等式求解.【详解】，故，又余弦定理可得，因此，由于，故，故，当且仅当时，等号成立，结合，故，因此最大值为，故答案为：14．【分析】对不等式进行合理变形同构得，构造函数利用函数的单调性计算即可.【详解】易知，由可得，即，则有，设，则，所以在上单调递增，故，所以，即，设，令，，故在上单调递减，在上单调递增，所以，则有，解得．故答案为：.15．(1)列联表见解析，没有90％的把握认为喜爱阅读与性别有关(2)概率分布见解析，1【分析】（1）完成2×2列联表，计算出即可得出判断；（2）由题可知，随机变量服从超几何分布，由此求出的概率分布和数学期望．【详解】（1）列联表：性别阅读合计一般爱好男生101525女生131225合计232750提出假设：是否喜爱阅读与性别没有关系，根据列联表的数据，可以求得：，所以没有90％的把握认为喜爱阅读与性别有关．（2）随机变量服从超几何分布，可能取0，1，2，，，，则的分布列为：012所以，故抽取男生人数的数学期望为1．16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明，可证明结论；（2）如图建立空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，后由空间向量知识可得答案.【详解】（1）证明：因为为的中点，且，所以在中，有，且，又平面平面，且平面平面，所以平面，又平面，则，由，得，因为，所以由勾股定理，得，又平面，所以平面.（2）如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，可得，所以，设平面的法向量为，由，令，得，所以.由（1）知，平面，所以平面的一个法向量为，记平面与平面的夹角为则，所以平面与平面夹角的余弦值为.17．(1),(2)【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，利用的关系可得为等比数列求解，（2）利用错位相减法即可求解.【详解】（1）解：设数列的首项为，公差为d，，则，所以数列的通项公式为．因为，所以当时，，则．当时，，则，所以是以首项为，公比为2的等比数列，所以．（2）因为，设数列的前项和为，①②①-②得∴，则．18．(1)极小值，无极大值；(2).【分析】（1）求导，判断函数单调性即可确定极值;（2）分离参数并构造新函数，求导，判断函数单调性求出最小值即可求解.【详解】（1）.令，得，令，得.故在单调递减，在单调递增.在处取得极小值，无极大值.（2）对恒成立，即对恒成立.令，则只需即可