微积分-课件9微分方程与差分方程

（第二版）微积分普通高等院校数学类规划教材主编阎慧臻刘超刘燕9.1微分方程9.2一阶微分方程9.3一阶微分方程在经济学中的应用9.4可降阶的二阶微分方程第9章9.5二阶常系数线性微分方程9.6差分方程9.7一阶常系数线性差分方程微分方程与差分方程函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映,寻求函数关系在实践中具有重要意义.在许多科学技术和社会经济问题中,变量之间的函数关系往往不能直接建立,但能根据问题的具体含义和相关知识,得到待求函数及其导数(或微分)之间的关系式,这样的关系式就是所谓的微分方程.微分方程建立以后,通过研究,找出满足方程的未知函数,这就是解微分方程.但在经济管理和许多实际问题中,数据大多数是按等时间间隔周期统计,所涉及的变量是离散变化的,差分方程是研究离散型变量之间变化规律的有效工具.本章先介绍微分方程的有关概念,然后着重讲解几类微分方程的求解法,最后对差分方程作简单介绍.第9章9.1.1引例【例1】一曲线通过点(0,1),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求此曲线的方程.解设所求曲线的方程为y=y(x),由已知条件和导数的几何意义,可知函数y=y(x)应满足

(1)

(2)此外,未知函数y=y(x)还应满足下列条件:x=0时,y=1把条件“x=0时,y=1”代入式(3),得1=02+C得C=1,于是所求曲线的方程为y=x2+1

(4)

(3)式(1)是一个含有导数(或微分)的方程,要解出y(x),只需对式(1)两端积分,得其中C是任意常数.

【例2】(马尔萨斯(Malthus)人口模型)英国经济学家马尔萨斯1798年提出人口指数增长模型,基本假设是人口数量N(t)的增长速度与现有人口数量成正比,记此常数为r(生命系数),开始时(t=0)的人口数量为N0.于是,马尔萨斯人口模型可记为

(5)

(6)由方程(5),得(求解的一般方法将在下一节介绍)

(7)N(t)=Cert其中C为任意常数.将条件(6)代入式(7),得C=N0.故N(t)=N0ert

(8)式(8)就是马尔萨斯人口模型的解.下面通过真实数据来检验马尔萨斯人口模型的适用性.据统计,1961年世界人口总数为3.06×109

人,在1961年之后的10年中,人口以每年2%的速度增长.以年为间隔考察人口的变化情况.记t=0(1961年),t=1(1962年),…,已知条件可记为N(0)=3.06×109,r=0.02,代入式(8),可得

(9)N(t)=3.06×109e0.02t

现用式(9)来检验1961年~1980年的世界人口数量(表9-1).由此看出,式(9)做人口短期预测时比较准确.注意到式(9)表明人口以公比为e0.02的几何数列的速度增长,当t较大时,N(t)将是天文数字.比如,到2562年(t=601),世界人口数量为5.1×1014

人,由此可见,马尔萨斯人口模型做长期预测是不准确的,模型有待改进(见9.3节例1).9.1.2微分方程的基本概念上述三个例子中的关系式(1)、(5)、(11)都含有未知函数的导数,它们都是微分方程.一般地,凡表示未知函数、未知函数的导数(或微分)与自变量之间的关系的方程,叫作微分方程.未知函数是一元函数的方程叫作常微分方程;未知函数是多元函数的方程叫作偏微分方程.微分方程有时也简称方程.本章只讨论常微分方程.微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫作微分方程的阶.例如方程(1)和(5)是一阶微分方程,方程(11)是二阶微分方程.又如,方程x3y‴+x2y″-4xy'=3x2是三阶微分方程;方程(y(4))2-4y‴-12y″+10y'=sin2x是四阶微分方程.一般地,n阶微分方程的形式是

(16)F(x,y,y',…,y(n))=0其中x是自变量,y是x的未知函数.这里必须指出,在方程(16)中,y(n)必须出现,而x,y,y',…,y(n-1)则可以不出现.例如,n阶微分方程y(n)+1=0中,除y(n)外,其他变量都没有出现.而一阶微分方程的一般形式为F(x,y,y')=0或y'=f(x,y)二阶微分方程的一般形式为F(x,y,y',y″)=0或y″=f(x,y,y')由前面的例子我们看到,在研究某实际问题时,首先要建立微分方程,然后找出满足微分方程的函数(解微分方程).也就是说,要找出这样的函数,把这个函数代入微分方程能使该方程成为恒等式,这个函数就叫作该微分方程的解.例如,函数(3)和(4)是方程(1)的解;函数(7)和(8)是方程(5)的解;函数(14)和(15)是方程(11)的解.如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数(即它们不能合并而使得任意常数的个数减少),且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫作微分方程的通解.例如,函数(3)是方程(1)的解,它含有一个任意常数,而方程(1)是一阶的,所以函数(3)是方程(1)的通解.又如函数(14)是方程(11)的解,它含有两个任意常数,而方程(11)是二阶的,所以函数(14)是方程(11)的通解.由于通解中含有任意常数,所以它还不能完全确定地反映某一客观事物的规律性.要完全确定地反映客观事物的规律性,必须确定这些常数的值.为此,要根据问题的实际情况,提出确定这些常数的条件.例如,例1中的条件(2)、例3中的条件(12)就是这样的条件.设微分方程中的未知函数为y=y(x),如果微分方程是一阶的,通常用来确定任意常数的条件是其中x0,y0

都是给定的值;如果微分方程是二阶的,通常用来确定任意常数的条件是其中x0,y0,y1

都是给定的值.上述这种条件叫作初始条件.确定了通解中的任意常数以后,就得到微分方程的特解.例如,函数(8)是方程(5)满足条件(6)的特解,函数(15)是方程(11)满足条件(12)的特解.求微分方程y'=f(x,y)满足初始条件yx=x0=y0

的特解这样一个问题,叫作一阶微分方程的初值问题,记作

(17)微分方程的解的图形是一条曲线,叫作微分方程的积分曲线.初值问题(17)的几何意义是求微分方程通过点(x0,y0)的那条积分曲线.二阶微分方程的初值问题为它的几何意义是求微分方程通过点(x0,y0)且在该点处的切线斜率为y1

的那条积分曲线.

【例4】验证

(18)y=C1cosx+C2sinx+x是微分方程

(19)y″+y=x的解.解由于y'=-C1sinx+C2cosx+1y″=-C1cosx-C2sinx于是y″+y=-C1cosx-C2sinx+C1cosx+C2sinx+x=x函数(18)及其二阶导数代入(19)后成为一个恒等式,因此函数(18)是微分方程(19)的解.一阶微分方程的一般形式为

(1)F(x,y,y')=0

(2)如果式(1)中y'可解出,则方程可写成y'=f(x,y)一阶微分方程有时也写成如下的对称形式:

(3)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0在方程(3)中,变量x与y对称,既可看作x为自变量、y为未知函数的方程:这时Q(x,y)≠0.也可看作y为自变量、x为未知函数的方程:这时P(x,y)≠0.9.2.1可分离变量的一阶微分方程若一阶微分方程(2)中的f(x,y)可写成一个仅含x的函数和一个仅含y的函数的乘积,即形如

(4)我们称这类方程为可分离变量的微分方程.根据这一特点,方程(4)可以通过先分离变量再积分的方法来求解.设g(y)≠0,方程(4)可写成变量x和y分离在等号两端的形式:

(5)设f(x)和g(y)都是连续函数,对式(5)两端积分,得

(6)G(y)=F(x)+C其中C为任意常数.利用隐函数求导法则不难验证,当g(y)≠0时,由式(6)所确定的隐函数y=φ(x)是方程(5)的解;当f(x)≠0时,由式(6)所确定的隐函数x=ψ(y)也可以认为是方程(5)的解.式(6)叫作微分方程(5)的隐式解.又由于式(6)中含有任意常数,因此式(6)所确定的隐函数是方程(5)的通解.我们也把式(6)叫作微分方程(5)的隐式通解.若存在常数y0,使g(y0)=0,那么将y=y0

代入方程(4)中,等式两端均为零,这说明y=y0

也是方程(4)的一个解.在许多情况下,这个解可以包含在前面得到的通解中,即y=y0

可由式(6)中C取某特定值得到.【例1】求微分方程的通解.

解此方程是可分离变量方程.当y≠0时,分离变量后得两端积分,得从而故9.2.2齐次方程在一阶微分方程中,有些方程虽然不能直接分离变量,但可以通过适当的变量代换,化为可分离变量的方程,齐次方程就是其中的一种.如果一阶微分方程9.2.3一阶线性微分方程未知函数及其导数都是一次的一阶微分方程叫作一阶线性微分方程,它的一般形式是当Q(x)=0时,方程(12)变成

(12)

(13)方程(13)称为一阶齐次线性微分方程,而当Q(x)不恒等于零时,方程(12)称为一阶非齐次线性微分方程.1.一阶齐次线性微分方程的解法显然,一阶齐次线性微分方程(13)是一个可分离变量的方程.当y≠0时,分离变量后得两端积分,得即

(14)

y=0显然也是原方程的解,故齐次线性微分方程(13)的通解为

(15)其中C为任意常数.2.一阶非齐次线性微分方程的解法现在我们使用常数变量法求非齐次线性微分方程(12)的通解,方法是把方程(13)的通解(15)中的C换成x的未知函数u(x),即作变换假设式(16)是非齐次线性微分方程(12)的解,那么其中的未知函数u(x)应该是什么?为此,将式(16)对x求导,得

(17)

(16)将式(16)和(17)代入方程(12),得即两端积分,得把上式代入式(16),便得非齐次线性微分方程(12)的通解

(18)上式右端第一项是对应的齐次线性微分方程(13)的通解,第二项是非齐次线性微分方程(12)的一个特解.(在方程(12)的通解(18)中取C=0,便得到这个特解.)由此可知,一阶非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次微分方程的通解与非齐次线性微分方程的一个特解之和.*9.2.4伯努利方程形如

(21)的方程叫作伯努利(Bernoulli)方程.当n=0或n=1时,这个方程是线性微分方程;当n≠0,1时,这个方程不是线性的,但是通过变量代换,便可把它化为线性的.事实上,方程(21)两端同时除以yn,得

(22)这是一个线性微分方程,它的通解为以y-1

代替z,得到所求方程的通解为即这就是原方程的通解.此外,方程还有解y=0.在9.1节的例2中,我们已经建立了马尔萨斯模型解决人口问题.事实上,在经济学和管理科学中,为了研究经济变量的变化规律,常常建立包含某一经济函数及其导数(或微分)的关系式,并通过初始条件来确定该函数的表达式,这就是建立微分方程并求解微分方程,从而做出决策和预测分析.这一节讨论一阶微分方程在经济学中的应用实例.9.3.1改进的人口增长模型(阻滞增长模型)

9.1节已经介绍过马尔萨斯人口模型.实际上,随着人口的增长,人类生存空间及环境将对人口增长起阻滞作用,这里介绍改进的人口增长模型,也称阻滞增长模型(Logistic模型).从而得再将初始条件N(0)=N0代入上式,得9.3.2连续复利模型9.3.3供需平衡模型假设价格只由供给和需求决定,则S=D时,价格处于均衡.在上几节中,我们已经介绍了一阶微分方程及其在实际问题中的应用.然而,在众多的经济学和生产实践问题中,往往涉及未知函数的高阶导数.本节以二阶微分方程

(1)y″=f(x,y,y')为例,在一些情况下,可以通过适当的变量代换,将其化为一阶微分方程来求解.具有这种性质的方程称为可降阶的微分方程.下面介绍三种容易降阶的二阶微分方程.9.4.1y″=f(x)型的微分方程9.4.2y″=f(x,y')型的微分方程9.4.3y″=f(y,y')型的微分方程本节着重介绍二阶常系数线性微分方程的解法,它的一般形式是

(1)y″+py'+qy=f(x)这里,“线性”是指未知函数y及其导数y'、y″都是一次幂的,“常系数”是指p、q都是常数.当f(x)≢0时,称式(1)是非齐次的;当f(x)≡0时,称式(1)是齐次的,记为

(2)y″+py'+qy=09.5.1二阶常系数线性微分方程解的结构先讨论二阶常系数齐次线性微分方程(2).定理1如果函数y1(x)、y2(x)是方程(2)的两个解,那么

(3)y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程(2)的解,其中C1,C2

为任意常数.证明由式(3),得y'=C1y'1+C2y'2,y″=C1y″1+C2y″2代入方程(2)的左端,得(C1y″1+C2y″2)+p(C1y'1+C2y'2)+q(C1y1+C2y2)=C1(y″1+py'1+qy1)+C2(y″2+py'2+qy2)由于y1,y2

是方程(2)的解,因而上式右端恒等于零,所以式(3)是方程(2)的解.叠加起来的解(3)从形式上看含有C1

和C2

两个任意常数,但它不一定是方程(2)的通解.例如,设y1

是(2)的解,则y2=2y1

也是(2)的解,这时式(3)成为y=C1y1+2C2y1,可以把它改写成y=Cy1,其中C=C1+2C2.这显然不是方程(2)的通解.那么,在什么情况下(3)才是方程(2)的通解呢?y=C1y1+C2(ky1)=(C1+C2k)y19.5.2二阶常系数齐次线性微分方程先讨论二阶常系数齐次线性微分方程

(2)y″+py'+qy=0的通解.y'=rerx,y″=r2erx把y,y'和y″代入方程(2),得由于erx≠0,所以(r2+pr+q)erx=0

(2)r2+pr+q=0由此可见,只要r是代数方程(6)的根,函数y=erx

就是方程(2)的解,方程(6)称为常系数齐次线性微分方程(2)的特征方程.这样一来,求解方程(2)转化为求其特征方程(6).对比方程(2)和方程(6),容易看出,特征方程(6)是一个一元二次代数方程,其中r2,r的系数及常数项恰好依次是微分方程(2)中y″,y'及y的系数.9.5.3二阶常系数非齐次线性微分方程由定理3知,二阶常系数非齐次线性微分方程

(4)y″+py'+qy=f(x)的通解归结为求其对应的齐次方程的通解和非齐次线性微分方程(4)本身的一个特解.由于齐次方程的通解可用特征方程法求出,因此,要求非齐次方程的特解,关键在于寻找它的任意一个特解.求非齐次线性微分方程(4)的通解可按如下步骤进行:在经济与管理领域的实际问题中,许多变量往往是离散变化的.前面章节讨论的连续变量的性态是以微分(或微商)为工具,这一节讨论的差分方程是以差分(或差商)为工具来研究离散变量的性态.9.6.1差分的概念由例6,我们看出二次多项式的一阶差分是线性函数,二阶差分为常数,三阶以上差分均为零.一般地,对于k次多项式,它的k阶差分为常数,k+1阶以上的差分均为零.9.6.2差分方程的概念由前面的例7可以看到,在研究某个离散变量的实际问题时,首先建立差分方程,然后找到满足差分方程的函数.如果一个函数代入差分方程使方程成为恒等式,则称此函数为差分方程的解.若在差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同,则称为差分方程的通解.例如,容易验证yx=x2

是差分方程yx+1-yx=2x+1的解,而yx=x2+C(C为任意常数)为其通解.任意常数取确定的值的解称为特解,确定特解的条件称为初始条件.例如,函数(4)是差分方程(1)满足初始条件(2)的特解.9.6.3常系数线性差分方程解的结构差分方程和微分方程在解的结构上有相似之处,这里将给出常系数线性差分方程解的结构定理.下面出现的差分方程均以含有未知函数值的形式表示.如果方程中的未知函数值都是一次的,且未知函数值的系数都为常数,则称该方程为常系数线性差分方程.n阶常系数线性差分方程的一般形式为

(7)yx+n+a1yx+n-1+…+an-1yx+1+anyx=f(x)其中ai(i=1,2,…,n)为常数